运筹学考试练习题(天津大学)

07级工管运筹学期末习题课

max z CX

、考虑线性规划问题(P ) AX b

X 0

若X i ,X 2均为(P )的可行解， [0,i]，证明X i (i )X 2也是(P )

的可行解；

写出(P )的对偶模型(仍用矩阵式表示)。

有三个线性规划:

要求：1

.确疋 C i , C 2, C 3 ,b i ,b 2, a ii , a i2, a i3, a 2i , a 22, a 23 的值；

2. 当t 2 = 0时，t i 在什么范围内变化上述最优解不变;

3. 当t i = 0时，t 2在什么范围内变化上述最优基不变。

当

t 1

三、已知线性规划问题

(1) [Mi n] z=CX

(I ) 约束条件AX=b

XD

已知X 是(I )的最优解, 偶

问题的最优解，

(n ) [Min] z=CX

约束条件AX=b

X0 X 是(n)的最优解,

(m) [Min] Z =CX

约束条件AX=b

X0

X 是(m )的最优解，丫是(I )的对

试证：(1) (C C) (X

(2) C (X

X ) Y (b b)。

四、某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产 A 、B 、C 、D 四种型号的产品, 每一单位产品对各原料的消耗系数、价格系数及原料成本等已知条件如下表：

1. 为解决“在现有原料量限制下，如何安排 A B C D 四种产品的产量, 使总利润

（这里利润简化为销售收入与原料成本之差）最大”这一问题，可建立

一线性规划模型，令X 1、沁、X 3、X 4依次表示各型号产品的计划产量，试列出这 个模型，并记该模型为模型1；

2. 利用一解线性规划的程序解上述问题（模型 1），得到的部分结果如下：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

VARIABLE X1 X2 X3 X4

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED

根据以上计算结果，分析并回答以下问题：

（1） 最优生产方案和最大总利润是什么按此方案生产，现有的原料是否还 有剩余哪一种有剩余余多少

（2） 如果市场上甲原料的价格为（百元/公斤），那么从市场上购得1000公 斤的甲原料扩大生产是否合算（即总利润是否增加）为什么

（3） 若D 产品的价格系数增大到34 （百元/公斤），原最优解会否发生变化 为什么

（4） 在原考虑的A 、B 、C 、D 四种型号产品基础上，如果又提出产品 E ,它 对甲、乙、丙的消耗系数分别为 5、6、2,价格系数为74 （百元/公斤），那么原

VALUE

REDUCED COST ROW

SLACK OR SURPLUS

DUAL P RICES

ROW

RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE

RHS INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

最优方案是否要改变，为什么

（5）若在本题已有已知条件基础上，还要考虑各产品的生产准备费用（视 为固定成本），其中A 产品的生产准备费为1000 （百元），B 产品的生产准备费 为800 （百元），C 产品的生产准备费为950 （百元），D 产品的生产准备费为750 （百元），而且由于某些原因，A 、B 、C 三种产品至多生产其中的两种。写出考 虑这些新增条件下（不考虑产品 E ）,使生产利润最大的生产计划模型（不解）。

五、某化学制药厂有m 种有害副产品，它们的数量为 bi （i=1,…,m ）。按照规 定，必须经过处理，制成n 种无害物后才能废弃。设aij 为每制成一单位第j （j=1,・・

n ） 种无害物可以处理掉第i 种有害物的数量，cj 为制成一单位第j 种无害物的费用。

1.

欲求各无害物的产量xj 以使总的处理费用为最小，请写出此问题的线 性规划模型；

2•写出此问题的对偶规划模型，并解释对偶规划模型的经济意义。

六、一复合系统的结构如下图示意，它由4个部件串联组成。第k 个部件的 功能由该部件专用的元件E k 完成，为提高系统的可靠性，第 k 个部件可由x k 个 相同的元件&并联构成，若每个元件的可靠度为 p k ，则第k 个部件的可靠度为 r k 1 （1 P k ）X

k

。

已知4种元件的可靠度及价格见下表:

要求设计中所用元件的总费用不超过 150元，又因空间限制，第3、4个部件最 多由3个元件并联，应如何设计使整个串联系统的总可靠性最大要求：

1. 以恐（k=1,2,3,4）为变量，列出该问题的数学规划模型。

2. 若用动态规划方法求解，选取状态变量 s k 为安排至第k 个部件前的总可 用费

用，乂为决策变量，写出以下表达式：

（1）第1阶段状态集合S i ；

■H

I

E

1

E i

E 3

E 4

(4)

第3阶段状态为S 3时的允许决策集合D 3（S 3）; 状态转移方程； 阶段指标V k （S k ，X k ）；

3. 按动态规划方法计算第3阶段状态为75时的最优指标函数f 3（ 75）和最 优决

策X *3（75）。

七、某投资者拟对A 与B 两种基金进行投资，投资期限5年。该投资的收 益有两部分：一是长期的至第5年末的红利收入，年利率分别为1人=和|B =，计复 利且5年间利率不变（例如，第1年初投入A 基金1元，5年后红利收入（1+5元）; 二是短期的每年利息收入，两种基金在不同年份的利率

i Ak 和i Bk 见下表（例如，

第1年初投入A 基金1元，除5年后的红利收入外，一年后还有元的利息收入）。

该投资者第1年初投入资金50000元，以后第2至5年初每年还再投入10000 元（不包括已投资的利息收入），收益计算方法相同（如第2年初投入A 基金1 元，第5年末红利收入（1+4元，同时第2至5年末还有年利息）。所有投入基金 的资金（包括年利息）在第5年末之前不得支取。现投资者需决定每年初的资金 （当年投入资金加已投资金的短期年利息）对基金 A 和B 的分配额，以使第5 年末总收入最大。

八、某汽车公司有两家汽车配件制造厂 A 和B ，负责向两个服务配送中心 C 和D 供应汽车配件。运送的道路网络及各路段的允许通过容量

(5) 递推方程（逆序递推，含终端条件）。

D 的供应量最大的运送方案和相应的最