必修五 不等式与基本不等式知识点总结及经典题型
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不等式与基本不等式
【知识点梳理】
1. 不等式的基本性质：
（1）a b b a >⇔<（对称性）.
（2）,a b b c a c >>⇒>（传递性）.
（3）a b a c b c >⇒+>+；,a b c d a c b d >>⇒+>+.
（4）,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；0,0a b c d ac bd >>>>⇒>.
（5）11,0a b ab a b >>⇒
<；0,0a b a b c d c d >><<⇒<. （6）0(1)n n a b a b n Z n >>⇒>∈>且.
（7
）01)a b n Z n >>⇒
>∈>且.
2.基本不等式： （1）若,a b R ∈，则2
2222
()2,2a b a b ab a b ++≥+≥，当且仅当a b =时取“等号”. （2）若,a b R +∈
，则2
a b +≥，当且仅当a b =时取“等号”. “和定积最大，积定和最小”
（3）若,,a b c R ∈，则2222222,3()()a b c ab bc ca a b c a b c ++≥++++≥++.
（4）若0a b c ++≥，则3333a b c abc ++≥.
（5）若,,a b c R +∈
，则3
a b c ++≥a b c ==时取“等号”. （6）若,,a b c R +
∈，
则31113a b c a b c ++≤≤≤++. 【例题讲解】
例1. 求函数1()(,0)f x x x R x x
=+
∈≠的值域.
例2. 若x y ∈+R ，，且14=+y x ，求xy 的最大值.
例3. 已知00x y >>、，且
191x y
+=，求x y +的最小值．
例4. 已知+∈R y x 、，082=-+xy y x ，求y x +的最小值.
例5. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.
例6. 设k 为常数，求函数2
()f x =
.
例7. 当0>x 时，求
432+x x 的最大值.
例8. 若,x y 是正数，求22)21()21(x y y x +++
的最小值.