函数极限的性质证明
1-3 函数的极限
则当0 x + 1 d 时,
x2 - 1 lim -2. x -1 x + 1
注意 : 该函数在 x -1 处没有定义 , 但 lim f ( x ) 存在. 返回 x -1
x x0
lim f ( x ) A e 0, d 0, 当0 x - x 0 d , 有 f ( x ) - A e
A-e
0
x0 - d
x0
x0 + d
x
返回
.
函数的极限
e 0, d 0, 当
x x
lim f ( x ) A 的几何解释
y f (x)
0 | x - x 0 | δ 时, 恒有 f ( x ) - A e .
A+e
A的e邻域, A x0的空心d 邻域, e
A-
e
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
例3 证
x2 - 1 证明 lim -2. x -1 x + 1
函数在点x = −1处没有定义.
x2 - 1 f ( x) - A - ( -2 ) x+1
x+1
只要取d e,
x2 - 1 就有 - ( -2) e , x -1
任给e 0, 要使 f ( x ) - A e ,
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
函数极限的性质
对固定的n，当x在（a,b）变动时，| f (n1) (x) | M (常数)
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ]. 皮亚诺余项
例4(P70) 证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
2 证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x (1,1)
f ( x)
1 ( 1 x2
1
1
x
2
)
0
f (x) C,
x (1,1)
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 即 C .
则(a,b)内至少存在一点,使得f ( ) 0”
证 f (x) C[a,b], f (x)在[a,b]取得最值M,m
(1)若M=m，则对x [a,b]有f(x)=M,
从而 (a,b),有f ( ) 0；
(2)若M>m，不妨设M f(a)（从而M f(b)）
则必有一点 (a,b),使f ( ) M，
闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,那末在(a, b)
内至少有一点 ，使 f (b) f (a) f ' ()(b a)
即：f (b) f (a) f ( ).
ba
y
C
y f (x)
M
B
在 AB 上至少有一点 C,
在该点切线平行于弦AB. A
N
D
弦AB：y
f (a)
f'
高数极限证明方法
高数极限证明方法在高等数学中，极限是一个十分重要的概念。
极限是函数趋于某个点或无穷时的一种特殊情况，它能够描述函数在该点的局部特性，如连续性、可导性等。
在证明高数极限的过程中，有一些基本的方法和原则可以被应用。
首先，我们先来看一下高数中的一些极限基本定理，它们是证明极限的基础：1.极限的唯一性定理：如果函数f(x)的极限存在，则该极限是唯一的。
也就是说，一个函数只能趋于一个极限。
2.有界收敛定理：如果一个函数在某个点a 的某个去心领域中有界且有极限，那么这个函数在该点必然有极限。
3.夹逼定理：如果对于所有的x∈X，都有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x)和h(x)的极限都为L，那么f(x)的极限也为L。
4.极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处有极限，那么它们的和、差、积以及商（只要g(a)≠0）在该点也有极限，并且极限值等于对应的运算。
掌握了以上基本定理后，我们可以运用以下几种证明方法来证明高数中的极限问题：1.ε-δ方法：这是一种直接证明的方法，通过选取合适的δ，使得当0<|x-a|<δ时，相应地有|f(x) - L| <ε，其中ε为一个正数。
该方法常用于连续函数的极限证明。
2.夹逼法：当无法直接计算函数的极限时，我们可以使用夹逼法来确定极限值。
夹逼法的关键是找到两个已知函数，使得它们的极限都等于L，并且函数f(x)一直被这两个函数夹在中间。
3.断点法：当函数在某个点a处无极限时，我们可以考虑将该点变成一个极限点，并引入无穷大或无穷小，从而计算出极限。
此时，我们需要观察并分析函数在该点的性质，如左极限和右极限是否存在。
4.局部性质法：当要证明函数在某个点a处有极限时，我们可以先观察该点的局部性质，如连续性、可导性等，然后利用这些性质推导出极限。
总结一下，证明高数极限时，我们可以采用ε-δ方法来直接证明，也可以用夹逼法来确定极限值，还可以使用断点法来处理无极限的情况，最后可以利用函数的局部性质来推导极限。
高数上1.4函数极限与性质
只要取 , 则当 0 x 1 时,
就有
x2 1 x1
2
,
lim x2 1 2. x1 x 1
此例说明函数 f (x) x2 1虽然在x 1处没有定义 , x 1
但它在x 1处存在极限。
这就是为什么在函数的 极限定义中要求要有
“0 x x0 ”这个作为条件的原因 ,因为在
| f (x) a | 的过程。方法如下：
对任给出的 0，将x限制在某一范围
0 | x x | c内讨论,适当放大 | f (x) a |, 使之 0
变形为| f (x) a | (x ) | x x |
0
0
取 min{c, / (x )},则当0 | x x | 时,此时
0
0
就有 | f (x) a | ，从而验证了极限的存在。
x x0
0, 0,
使当 0 | x x0 | 时, 恒有 | f ( x) A | .
注意:
1. 函数极限与 f ( x)在点 x0 处是否有定义无关；
2. 与任意给定的正数 有关.
定义的几何解释:
当x在x0的去心邻域时,函数y f (x)
图形完全落在以直线y A为中心线,
X
ln
1
ln 2
,
则当
x X
时，
1 2
x
0
恒成立.
所以
lim x
1 2
x
0.
注 ：同理可证：当 0 q 1 时，lim q x 0. x
而当 q 1 时， lim q x 0. x
例3
证明
lim
x
1 x x1
1.
证
由
1 x x1
极限的性质和存在性的证明
极限的性质和存在性的证明极限是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
在数学中，极限可以精确地定义为当自变量趋于某个特定值时，函数取得的值趋于某个确定的值。
为了更深入理解极限的性质和存在性，我们将从两个方面展开讨论，分别是极限的性质和极限的存在性的证明。
一、极限的性质1. 有界性：如果函数在某个点附近具有极限，那么它在这个点附近必然是有界的。
具体而言，如果函数极限存在，则必然存在一个包含该点的区间，在这个区间内函数取值有上界和下界。
证明：设函数f(x)在点x=a处有极限L，即limₓ→a f(x) = L。
我们取一个正数ε，根据极限的定义，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
因此，当0<|x-a|<δ时，有 |f(x)| = |f(x)-L+L| ≤ |f(x)-L|+|L| < ε+|L|，所以函数在点x=a处有界。
2. 唯一性：如果函数在某个点附近具有极限，那么极限是唯一的。
换句话说，如果函数在点x=a处的两个极限存在并且不相等，那么这个函数在x=a处的极限不存在。
证明：假设函数f(x)在点x=a处有两个极限L₁和L₂，并且L₁≠L₂。
根据极限的定义，对于任意给定的正数ε₁和ε₂，存在正数δ₁和δ₂，使得当0<|x-a|<δ₁时，有|f(x)-L₁|<ε₁；当0<|x-a|<δ₂时，有|f(x)-L₂|<ε₂。
那么我们可以取一个正数δ=min(δ₁,δ₂)，则当0<|x-a|<δ时，上面两个不等式同时成立，即|f(x)-L₁|<ε₁且 |f(x)-L₂|<ε₂。
然而，这是不可能的，因为根据三角不等式，上述两个不等式的和不可能小于两个正数ε₁和ε₂之和。
因此，假设不成立，可得函数在x=a处的极限是唯一的。
二、极限的存在性的证明要证明一个函数在某个点处存在极限，有多种方法。
函数极限的性质
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。
取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
极限证明(精选多篇)
极限证明(精选多篇)第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。
an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。
证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。
?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。
证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。
§1.3.4-5函数极限的性质.ppt4
1 当 x < 0 时，1− x > x ⋅ ≥1 ， x
∵ lim 1= lim (1− x) =1 ，
x→0 x→0
1 ∴由夹逼定理可知 lim x ⋅ =1 。 x→0 x
基本初等函数
解： y = 2
sin 2 x
= 2 y= 2 u , u= v , = 由
复合而成. v = sin x 复合而成 .
（2） y = ln x 2 − 2
解 ： y = ln x 2 − 2 由
y=lnu, =
u= v , v = x 2 − 2 复合而成. = 复合而成.
（ 3 ） y = tan 5 3 lg(arcsin x )
且 lim x n = xo ，有 lim f ( x n ) = A 。
n →∞ n →∞
①若存在 {xn }， xn ≠ xo ， lim x n = xo ，而
注意
n →∞
n →∞
lim f ( x n ) 不存在，则 lim f ( x) 不存在。
x → xo n →∞
′ ′′ ′ ′ ②若存在某两个数列 {x n }与 {x n }， x n ≠ xo ， lim xn = xo ，
∋ x ∈ N ( xo , δ) 时，恒有 f ( x) ≤ g ( x) ，则 A ≤ B 。
x → xo o
x → xo
海涅定理） 定理 3（海涅定理） 它给出了函数极限与数列极限的关系。 它给出了函数极限与数列极限的关系。
x → xo
lim f ( x) = A ⇔ 对任意数列 {xn } ， xn ≠ xo ，
2.3极限性质、法则
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
第2节函数极限的基本性质
0xnx0, 0 |xmx0|
|f(x n ) f(x m )| {f(xn)是 }Cau 列 .chy
ln i m f(xn)lx存.在 同理 ln i 存 m f(yn) 在 ly.
将 x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 , ,x n ,y n , 组 { z n }成 .
xn
4n
1
1
,
ln i mxn 0,
且xn0;
2
而lim sin1lim sin 0,
x n
n n
而 lim si1 nlim si4n n1 lim1 1,
n xn n
2
n
得证
定理4.4 ( 柯西收敛定理) 函f(数 x)定义 U 0(x0在 ),
2 0 , 当 0 | x x 0 | 2 时 , A h ( x ) A ;
取 m 1 ,2 ) i 当 0 , n |x x ( 0 | 时
A g ( x ) f ( x ) h ( x ) A ;
性质4.2.（局部有界性）
x l x i0f m (x )存 ,则 f 在 (x )在 x 0 的U 邻 o (x 0 )内 域 .有
证明： 取 1 ,0 当 0 ,|x x 0 | 时
|f(x ) A | 1.
| f ( x ) | | f ( x ) A A | | f ( x ) A | | A | 1|A |M .
所f(以 x )在 x 0 的U 邻 o(x 0)内 域.有界
性质4.3. (保序性)
极限的性质和极限存在性的证明方法
极限的性质和极限存在性的证明方法文章内容极限是微积分中非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一特定点的趋近情况。
通过研究函数的极限，我们可以揭示函数的特性和行为，从而在实际问题中应用这些性质。
本文将介绍极限的性质及其存在性的证明方法。
1. 极限的性质1.1 保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点的两侧也有定义，并且函数在该点的左侧小于等于右侧。
证明：假设函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且为 L，即lim┬(x→a)f(x) = L。
设ε > 0，存在δ₁ > 0，当 0 < |x - a| < δ₁时，有 |f(x) - L| < ε。
因此，当 a - δ₁ < x < a 时，有f(x) < L + ε，而当 a < x < a + δ₁时，有 f(x) > L - ε。
因此函数在 a 点的两侧也有定义，并且左侧小于等于右侧。
1.2 唯一性：如果函数在某一点的极限存在，那么这个极限是唯一的。
证明：假设极限lim┬(x→a)f(x) 同时存在且等于 L₁和 L₂。
设ε > 0，存在δ > 0，当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由于极限存在性可知，我们可以找到某个 N₁，使得当n > N₁时，有 |x - a| < δ₁，从而 |f(x) - L₁| < ε。
同理，我们可以找到另一个 N₂，使得当 n > N₂时，有 |x - a| < δ₂，从而 |f(x) -L₂| < ε。
取 N = max(N₁, N₂)，即可得到当 n > N 时，有 |f(x) -L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由此可知，L₁ = L₂，即极限是唯一的。
证明函数有界的方法
证明函数有界的方法要证明一个函数是有界的，我们需要找到一对常数M和N，使得函数的值永远都在这个区间内。
下面将介绍几种常见的方法来证明函数的有界性：1.利用数列的极限性质：对于序列{an}，如果能证明其极限为L，则可以得出函数的有界性。
具体而言，如果对于任意正实数ε，存在对应的整数N，使得当n>N时，an−L，<ε，那么函数f(x)在定义域上是有界的。
证明思路是找到足够大的N，使得函数在N之后的值都在一个有界的范围内。
2.用导数证明：如果一个函数在定义域上是单调递增（或单调递减）的，并且存在一个实数M，使得在其定义域上的导数，f'(x)，≤M，那么函数f(x)是有界的。
证明思路是通过导数的性质，证明f'(x)≤M，进而得出f(x)在定义域上是有界的。
3.利用中值定理：如果一个函数f(x)在一个闭区间[a,b]上是连续的，并且在开区间(a,b)上可导，如果存在一个实数M，使得，f'(x)，≤M，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上是有界的。
证明思路是使用中值定理将函数变形，并结合导数的性质，证明，f(x)，≤M。
4.利用有界闭区间上的连续函数的性质：如果一个函数在一个有界闭区间上是连续的，则它在这个区间上是有界的。
这是因为有界闭区间上的连续函数的值不会无限制地逼近无穷大或无穷小，而是在一定范围内浮动。
5.利用函数的周期性：如果一个函数是周期函数，并且在一个周期内是有界的，那么函数在整个定义域上也是有界的。
证明思路是通过周期性，将函数的定义域分解为多个周期，每个周期内都是有界的。
以上是一些常见的证明函数有界性的方法，具体的证明需要根据具体的函数和题目情况来选择合适的方法。
需要注意，在证明过程中需要合理运用数学定义和性质，严密推理，确保证明的正确性。
函数极限的证明(精选多篇)
函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
函数极限的证明方法
函数极限的证明方法
求函数极限的证明方法如下：
1. 用数列逼近法证明：
- 证明极限存在：首先构造一个收敛于极限点的数列，然后利用极限的性质推导出函数极限存在。
- 证明极限值：利用序列极限的唯一性，将函数极限值与数列极限连接起来。
2. 用ε-δ定义证明：
- 采用ε-δ定义，给定一个ε>0，通过构造一个δ>0的范围，使得当x在δ范围内时，函数f(x)与极限L的误差小于ε。
- 利用函数与极限的收敛性质和函数的某些性质，推导出δ的表达式。
3. 利用函数收敛的性质证明：
- 利用函数极限的性质进行推导，例如函数的有界性、单调性等，推导出函数极限的存在和值。
4. 利用洛必达法则证明：
- 当函数存在形如0/0、∞/∞、∞-∞等形式的不定式时，可以利用洛必达法则将该不定式化为0/0形式，然后对该不定式进行求导，最后再次应用洛必达法则来推导出极限存在。
5. 利用函数级数证明：
- 将函数展开成级数形式，然后利用级数的性质将函数极限与级数极限进行连接。
在具体的数学问题中，可以根据题目和函数性质选择合适的证明方法来求函数的极限。
函数极限的性质
x2
小结: 1. 设 f ( x) = a0 x n + a1 x n-1 + + an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
=
a0
(
lim
x x0
x)n
+
a1
(
lim
x x0
x)n-1
+ + an
= a0 x0n + a1 x0n-1 + + an = f ( x0 ).
2. 设
f (x) =
证明 设A> 0,"r(0,1),取e = A-r,则$d > 0,使得"xU(x0;d)
有 f (x) > A - e = r.
对于r < 0的情形类似可证. •推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0), 而且
f(x)A(xx0), 那么A0(或A0)
4 保不等式 定理3.5(函数极限的保不等式性)
1
0
1
$d 2
> 0,当0 <
x- x0
< d2时有 f (x) - B
<e,
(2)
取d = min(d ,d ),则当0 < x - x < d时(1),(2)同时成立，故有
12
0
A- B = ( f (x) - A) - ( f (x) - B) f (x) - A + f (x) - B < 2e.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
已证明过以下几个极限：
lim C = C,
xx0
1 lim = 0, x x
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函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会
|Xn+1-A|<|Xn-A|/A
以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ;
|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;
……
|X2-A|<|X1-A|/A;
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)
2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)
=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，
设x(k)<4，则
x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim[1/(n的平方)]=0
n→∞
(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2
n→∞
(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞ n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。
Lim就省略不打了。