数列知识点复习

称b为a、c的等比中项 即：b ac
2、等比数列的通项公式：an a1 qn1(n N *)
即：an am q(nm) (n, m N * )
3、等比数列an：若项数m,l, p, q满足：
m l p q 则：
am al a p aq
特别地：m l时，m l p q l p q 2
也是等差数列 .
若数列{an }是等比数列，则
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
也是等比数列 .
4.等差数列与等比数列的联系
（1）“{an }为等比数列”是“{logm an }为
等差数列”的 __必__要__不__充__分____ 条件。
（2）“{an }为等差数列”是“{man }(m 0,
说明：
▪ 等差数列的项可以为0，公差也可以是0 ▪ 等比数列的项不可以为0，公比也不可以
是0
常数数列c,c,c,…是等差数列还是等比数列
三一、、等直接差或数间列接和运等用比公数式列法的求和公式：
等差数列的求和公式：
Sn

n(a1an ) 2

na1

n(n1) 2
d
等比数列的求和公式：
Sn


5， 4
猜测：an

n 1（n n
N *）
然后用数学归纳法证明
应用问题：
解有关等差、等比数列的实际问题应注意: (1)分清等差数列与等比数列 (2) 分清首项,项数(及年份)
(3)分清an与Sn
五、常用数列极限
1 (1) lim 0
n n
(3)当 q 1时, lim qn 0 n
的值.
n
bn 2
2.判断：
123
n
lim(
n
n2
n2

n2
L

n2
)
1
2
3
n

lim
n
n2

lim
n
n2

lim
n
n2
L

lim
n
n2
0 0 0 0 ... 0 0
项数是无限的，所以是不可以直接用性质的
lim
n

1 n2

2 n2
na1 a1 (1
qn)
1 q
q q

1 1

na1 a1 anq 1 q
q 1 q 1
还有一些常用公式：
12
22

32

n2

n(n1)(2n1) 6
例.数列an的前n项和为Sn 3n a,当常数a满足 什么条件时, 数列an 为等比数列?
wk.baidu.com
3
,求lnim(3an
4bn ).
改题：若lim n
(5an

4bn
)

7,
lnim(7an

2bn
)

5
则lnim(6an bn )等于多少？
分析： lnim(6an bn ) lnimA5an 4bn B7an 2bn
5A 7B 6 4A 2B 1
an 3
数列an 是等比数列, 公比q

2 3
首项a1

S1

2

2a1

a1

2 3

an


2 3
n (n N *)
归纳法
7、已知数列an 中，a1

2，an1

2

1（n an
N *）,
求数列an的通项公式.
解 ；a1

2

12，a2

3 2
，a3

43，a4
（4）看前n项和法：
Sn A Aqn( A 0,q 0,q 1 )
四、数列求通项公式的几种方法：
构造等差数列
1.数列an中, an 0
a1 3
(n N*)
an1 an 3
2.数列an中, an 0
a1 an1
(2)limC C (C是常数) n
讨论数列 q n 的极限
0
解：lim
qn


1
n
不存在
-1 q 1
q 1 q 1或q 1
若 lim (1 x )n n x

0，则x的取值范围是(
B)
A.
x1 2
B.
x
1 2
C.x 1
D.x 0
六、数列极限的四则运算：有极限
如果
lim
n
an

a,
lim
n
bn
b 那么
lim
n
(an

bn )

a
b
lim
n
(an
bn
)

a
b
lim an a (b 0)
b n n
b
lim (C
n

an
)

C

a
注：上述法则可推广到有限个数列的加和乘
例、已知lim n
an

5,
lim
n
bn
且m 1）为等比数列”的 ___充__要_____ 条件。
5.已知an

n n

97（n 98

N），则在数列an

的前30项中最大项和最小项分别是 _a_1_0_和__a__9

lim
n
1 qn q5 qn
1 当0 q 1时
原式＝ 1 q5
2当 q 1时
原式＝lim n
1 qn q5 qn

lim
n
1 qn
1
q5

1 qn
1
1
3当q 1时, 极限不存在 综上：。。。
七、无穷递缩等比数列各项和
对一般的无穷等比数列a1, a1q, a1q2 , , a1qn1, 0 q 1
S

lim
n
Sn

lim
n
a1( 1 qn 1q
)

a1 1q
定义：我们把
lim
n
Sn
叫做这个无穷等比数列
(0 q 1) 各项的和，记作S
注意：S与
Sn
的不同
S

lim
n
Sn
S a1 a2 a3 ... an ...

lim
n
a1
a2
（2） 当q ≠ 1时
S3 =
a1（1 – q3） 1 -q
=
3a3
∴ a1 . (1 + q + q2 ) = 3 a1 q2
∵ a1 ≠ 0 ∴ 2 q2 - q -1= 0
解得 q =
-
1 2
或 q = 1（舍去）
综上所述： q = 1
或q=-
1 2
▪ 等差数列判定方法：
（1）定义法： an1 an 常数
等差数列an的通项公式可表示为：an pn q
注： 其中p,q均是常数
当d>0时，数列{an}是递增数列 当d<0时，数列{an}是递减数列
P为公差 首项为p+q
当d=0时，数列{an}是常数列
二、等比数列的通项公式：
1、如果a,b,c成等比数列： b c ab
那么：a,b,c成等比数列 b2 ac
例、已知数列an 为等比数列，公比是q，
求 lim a1 a2 L an 的值. n a6 a7 L an
解：1、当q
1时，原式＝lim n
na1
n 5a1
1
2、当q

1时，原式＝lim n
a1 a1q5
1 qn 1 qn5
al2 ap aq
等比数列单调性：
步骤：
1写出通项公式an a1 qn1
2找到对应的函数
指数函数
(3)结合指数函数的单调性进行研究
结论：
1a1 0,q 1递增 2a1 0,q 1递减
a1 0,0 q 1递增 a1 0,0 q 1递减
（2）递推公式法： 2an an1 an1
（3）看通项法：
an kn （b 其中k,b为常数）
（4）看前n项和法：
Sn An2 Bn(A、B为常数)
▪ 等比数列判定方法：
（1）定义法： an1 常数 0 an
（2）递推公式法：an2 an1 an1
（3）看通项法：an kqn (k 0, q 0)
n
1 1

a a
n n
(a 0 )
解
:
(1)当a 1
a 0

0

a
1时,原式

1 1
0 0
1
(2)当a 1时, 原式 1 1 0
(3)当a a
1
0

a
11
1时,原式
lim
n
1 an 1 an
1 1
0 1 1 0 1
m l p q 则：
am al a p aq
特别地：m l时，m l p q l p q 2
2al ap aq
二、证明一些数列是等差数列
例、已知数列an的通项公式是an 4n 3,判断 数列an 是否是等差数列，如果是，求出公差和首项
数列复习
一、等差数列等比数列的通项公式：
1、如果a,b,c成等差数列，则称b为a、c的等差中项
a,b,c成等差数列 2b a c
即：b a c 2
2、等差数列通项公式： an a1 (n 1)d an am (n m)d (n, m N *)
3、等差数列an：若项数m,l, p, q满足：
注:
q 1时
Sn

a1(1 qn ) 1 q
Sn

a1 1 q
a1 1 q
qn
Sn= A _ A qn
例、在等比数列{ an }中，它的前项和是sn ，
当s3 = 3a3时，求公比 q 的值
注意特别考虑
解：（1）当q = 1 时
q=1的情况
{ an }为常数列，∴ s3 =3a3=3a1恒成立
AB1 2
lnim(6an

bn
)

lim
n

1 2
5an

4bn

1 2
7an

2bn


1 2
lim
n
5an

4bn


lim
n
7an
2bn
有理型极限：
1、 已知 lim(2n an2 2n 1) 1，求常数 a、b

3 n2

4 n2

...
n n2

1 2 3L n
lim( n
n2
)

lim
n
n(n 2n2
1)

lim
n
n2 n 2n2
1 2
无理型极限：
1
lim( n2 1 n ) lim(
)0
n
n n2 1 n
指数型极限
例、求
lim
1 2

1
an 2an
(n

N
*
)
2
an 3n 3 3
1 an 2n
构造等比数列
3、已知数列an中，a1 1，an1 3an 1,求：an
解：设an1 k （3 an k） L L（）
迭加法
得an1

1 2

（3 an

1） 2
4、已知数列an 中，a1
知识点: 等差数列(1)d<0时,数列单调递减.
(2)d>0时,数列单调递增. (3)d=0时,数列为常数列.
3.一等等比差数列前n项和为30，前项2n和为100，
则它的前3n项和为 ____2_17_09_0____
知识点:
3
若数列 {an } 是等差数列, 则
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
a3
... an

lim
n
Sn
1.数列an前n项之和Sn b2n （1 b 0），
则数列an是（ D ）数列
（A）等差 数列 （B）等比数列 （C）常数数列 （D）等差或等比数列
此题应注意分类讨论
2.等差数列an中，前n项和为Sn，
a3 a9 ，公差d 0,则n为 _5_或__6__ 时, Sn最大.
an n (n N *)
由an Sn Sn1(n 2)得到
6、已知Sn为数列an的前n项和,且Sn 2 2an 求: 数列an的通项公式
解
:
S S
n1 n 2
2 2an1 2an
(n

N
*
)

Sn1
Sn

2an
2an1
3an1 2an an1 2 (n N *)

1 2
，an1
an

n,求：an
解：a2 a1 1
a3 a2 2
a4 a3 3

+ an an1 n 1
迭乘法
5、已知数列an 中，a1
1，an1 an

n
n
1
,
求：an
解：a2 a3 a4 ... an 2 3 4 n 1 n a1 a2 a3 an1 1 2 3 n 2 n 1