2017-2018学年高三数学苏教版必修4学案：2.2.3 向量的数乘

2.2.3向量的数乘

1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)

2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．

3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

[基础·初探]

教材整理1向量的数乘定义

阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题．

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a ＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.

实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)λa＝0，则λ＝0.()

(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．()

(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．()

【解析】(1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0，(1)错误．

(2)正确．

(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确．

【答案】(1)×(2)√(3)√

教材整理2向量数乘的运算律

阅读教材P68倒数第2自然段，完成下列问题．

1．λ(μa)＝(λμ)a；

2．(λ＋μ)a＝λa＋μa；

3．λ(a＋b)＝λa＋λb.

1．5×(－4a)＝________.

【解析】5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a.

【答案】－20a

2．a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________.

【解析】a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1.

【答案】4e1

教材整理3向量共线定理

阅读教材P70，完成下列问题．

如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b 与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

1．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是________．

①a＝2e1，b＝2e2；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

③a＝4e1－2

5e2，b＝e1－

1

10e2；

④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.

【解析】∵e1与e2不共线，∴①不正确；

对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．

【答案】 ②③

2．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )． 则AB →与BD →

________.

【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →

， ∴BD →与AB →

共线． 【答案】 共线

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；

(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．

【精彩点拨】 利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．

【自主解答】 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .

(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －23a －b －761

2a ＋37b ＋12a

＝32a ＋b －13a －12b －712a －12b －7

12a ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝6a ＋2b .

向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.

[再练一题]

1．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝________.

【解析】 原式＝1

3a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－11

3a －b

＝－11

3(3i －4j )－(5i ＋4j ) ＝(－11－5)i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

443－4j

＝－16i ＋32

3j . 【答案】 －16i ＋32

3j

已知非零向量e 1，e 2不共线.

(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →

＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．

(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．

【精彩点拨】 对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →

＝λAB →

即可；对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．

【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →

＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →

，

∴AB →，BD →

共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，

∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，

由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧

k －λ＝0，

λk －1＝0，

∴k ＝±1.

1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．

2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →

在同一直线上，因此必定存