延期算术平均亚式期权价格的一个近似封闭公式

Ct = S t e h
i- n - rh
μ N
r-
μ + ν σ2 2
i - 2n
2 ν μ , exp π 2 ν 2
( 1. 6 )
m
[ i/2 ]
( 2n - 1) ! !
i
μ= ν=
∑∑
i =0 n =0
2n i! ( i - n + 1 )
σ2 n
K 2 exp ( - r +σ ) ( T - h - t) , St ( 1. 7 ) ( 1. 8 )
S
其中 , W 是风险中性概率测度 Q 下的标准 W iener过程 . 设延期算术平均价格亚式期权的平均价 [ 1, 4 ] 格计算是从时刻 ( T - h ) 起至结束日 ( T ) 止 ( h > 0 ) , 执行价格为 K (常数 ) , 则平均价格 S ave 如下 :
S ave =
Q
[ 3, 4 ]
第 46 卷 第 3期 2008 年 5 月
吉 林 大 学 学 报 (理 学 版 ) JOURNAL OF J I LI N UN I V ERSITY ( SC IENCE ED ITI ON )
Vol . 46 No. 3 M ay 2008
延期算术平均亚式期权价格的一个近似封闭公式
2 σ2 h K2 σ2 ) ( T - h - t) ] - K2 exp [ ( - 2 r + 2 σ2 ) ( T - h - t) ], + 2 exp [ ( - 2 r + 3 3 St St 其中 S t 为 t时刻标的资产价格 , 式中 [ a ]表示不超过 a 的最大整数 . 证明 : 在风险中性环境下 , t时刻延期算术平均价格亚式看涨期权价格为 + - r( T - t) Q Q 1 T Ct = e E E FT - h Ft = Su du - k
亚式期权
[ 1 ～3 ]
[4]
基金项目 : 国家自然科学基金 (批准号 : 10471043) 和上海高校选拔培养优秀青年教师科研专项基金 (批准号 : 563802) .
444
吉 林 大 学 学 报 (理 学 版 )
第 46 卷
由 B lack 2Scholes公式可以作一个简单的假设 , 即所有的投资者都是风险中性的 , 于是可以通过风险中 [ 3, 4 ] (或称精算定价 ) 对到期损益进行折现也即取期望值 . 本文考虑延期算术平均价格亚式期 性定价 权 , 得出了 m 阶近似的定价公式及理论证明 , 且对定价公式作了数值比较及精度检验 . 本文的数据计 算部分利用数学软件 M atlab 6. 5.
T
445
1
h
T- h
∫∑
m i =0 m i
r-
σ2 ( u - ( T - h ) ) +σ (W u - W T - h ) 2
i!
i
du -
K = ST - h
j
1
h ∑∑ i!
i =0 j =0 m i
1
i j
r-
σ2 2
i j r-
i- j
T- h
(u ∫
T
( T - h ) ) σ (W u - W T - h ) d u -
Ct = S t e
- rh
N
μ + ν
2 ν μ exp π 2 ν 2
,
( 1. 3 )
其中 S t 为 t时刻标的资产价格 ,
( σ /2) h K 2 μ=1 + rexp ( - r +σ ) ( T - h - t) , 2 St
2
( 1. 4 ) ( 1. 5 )
ν= 证明略 .
收稿日期 : 2007 2 09 2 24. 作者简介 : 张 东 ( 1980 ～) , 男 , 汉族 , 硕士 , 从事金融数学与概率统计的研究 , E 2 mail: zhangdong8@ gmail . com. 联系人 : 鹿长余
( 1962 ～) , 男 , 汉族 , 博士 , 教授 , 从事金融统计 、 随机控制与泛控制的研究 , E 2 mail: qwert . @126. com.
张 东 , 鹿长余 , 安玉娥
1 2 3
( 1. 上海理工大学 理学院 , 上海 200093; 2. 上海金融学院 金融研究中心 , 上海 201209; 3. 上海大学 理学院 , 上海 200466 )
摘要 : 在标的价格服从几何布朗运动 、 收益服从对数正态分布的前提下 , 通过风险中性定价 原理 , 对到期损益中的随机积分进行任意次 Taylor近似 , 并由级数定义将此连续问题离散化 , 给出了延期算术平均亚式期权封闭形式的解析定价公式 , 并与 Monte Carlo 模拟得到的价格 作为标尺对得到的公式进行精确性检验 , 结果表明 , 所得公式可以应用到金融实务中对此类 衍生品定价中 . 关键词 : 期权定价 ; 亚式期权 ; 延期 ; 风险中性 ; B lack 2Scholes模型 中图分类号 : O242. 2 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 2 5489 ( 2008 ) 03 2 0443 2 05
An Approx i m a te C lose2form Form ula of D eferred Ar ithm etic Average A sian O ption s
ZHANG Dong , LU Chang2yu , AN Yu 2e
1 2 3
( 1.wenku.baidu.comCollege of S cience, U n iversity of S hangha i for S cience and Technology, S hangha i 200093, Ch ina;
i- j
j
j
K ST - h
=
1
h
∑∑ i!
i =0 m j =0 [ i/ 2 ]
1 1
i j i
σ2 2
K σ j lim ∑ui- j E [ (W u k - W 0 ) j F0 ] = Δuk - E δl→ 0 k = 1 ST - h
i - 2n
1
h
∞
0
∑∑ i!
i =0 n =0
2n
作为一类功能强大的新型期权 在国外金融市场上发挥着越来越重要的作用 . 亚式 [ 2, 3 ] 期权可以分为两种类型 : ( 1 ) 平均价格亚式期权 , 到期时的损益状态为 max ( 0, ω ( S ave - X ) ) , ω∈{ - 1, 1 } , ω = 1 代表相应的看涨期权 , ω = - 1 代表相应的看跌期权 ; ( 2 ) 平均执行价格亚式期 [ 2 ～4 ] [1] 权 , 收益为 m ax ( 0,ω ( S - S ave ) ) . Bouaziz等人 提供了求解延期平均执行价格亚式期权的近似封 闭解定价模型 , 对随机积分进行了一阶 Taylor近似 , 得到了具有一定精度的定价公式 . 对一个收敛域 [5] 内的常函数展开式的阶数越高精度相应越高 , 但股票价格作为一个随机函数 并不具备这个特性 , 而
r-
σ2 2
σ2 n ・
0
∫
u
2
h
i- 2 n
2
n
π
Γ n + 1 un d u 2
∫ S
K
1
T- h
π σ T - h - tS T - h 2
exp -
[ ln S T - h - ( ln S t + ( r - σ / 2 ) ( T - h - t) ) ]
2
σ2 ( T - h - t) 2
i- j
j
K , ST - h
( 1. 10 )
Q + 其中“• ” 用到 n 阶近似 . 下面求解条件期望 E ( X FT - h ) . 变量 X 的数学期望
E ( X FT - h ) = E
1
m
h ∑∑ i!
i =0 i j =0
1
r-
σ2 2
i- j
i- j
T- h
(u ∫
l
T
( T - h ) ) σ (W u - W T - h ) d u - E
2. F inancia l R esea rch Cen ter, S hangha i F inance U n iversity, S hangha i 201209, Ch ina; 3. College of S ciences, S hangha i U n iversity, S hangha i 200466, Ch ina)
e e
- r( T - t)
E
Q
E
Q
∫ 1 S h ∫
h
T- h T T- h +
T- h
exp
r-
σ2 ( u - ( T - h ) ) +σ (W u - W T - h ) d u - k 2
+
FT - h
Ft
=
- r( T - t)
E { ST - h E [ ( X )
Q
Q
FT - h ] Ft } ,
Q
( 1. 9 )
其中 Ft 为 σ代数域流 σ ( S u ; u ≤ t) , E 表示在等价鞅测度 Q 下的数学期望 .
X =
1
h
T- h
∫
T
exp
r-
K σ2 ( u - ( T - h ) ) +σ (W u - W T - h ) d u • S 2 T- h
第 3期
张 东 , 等 : 延期算术平均亚式期权价格的一个近似封闭公式
Ab s tra c t: It was supposed that the dynam ic moving p rocess of the stock p rice and the return was driven by Geometry B rownian Motion and the lognormal distribution respectively . Taking into account the risk 2neutral environm ent, we got a closed 2form analytical formula for deferred arithm etic asian op tions by the m ethod of Taylor expansion of the stochastic integral for m ula w ithin the ter m inal payoff . Furthermore, w ith the series definition of the definite integral, we transferred the continuous p roblem into a discrete one which is simp le enough to figure out . M eanwhile we tested the accuracy of the formula w ith the Monte Carlo sim ulation as a benchmark and the result show s that the for m ula can be utilized to p rice the related financial derivatives . Ke y wo rd s: op tion p ricing; asian op tions; deferred; risk neutral; B lack 2Scholes model
1 定价模型
延期亚式期权的平均价格是契约生效后某一时刻 ( T - h ) 开始至结束日 ( T ) 的平均标的价格 . 本文 [ 3, 4, 6, 7〗 仍采用 B lack 2Scholes的经济环境 , 标的价格的变动过程为 It^ o 过程 : dS Q ( 1. 1 ) = rd t +σdW ,
1
h
T- h
S d u. ∫
u
T
( 1. 2 )
理论上需要求解在时刻 ( T - h ) 以前及 ( T - h ) 以后两种不同的定价模型 , 这里只考虑前者 , 即只考虑 在观察时刻 t∈ [ 0, T - h ) 时的价格 , 而后者类似 . 定理 1. 1 (一阶近似 ) 当 0 ≤ t < T - h 时 , 延期平均价格亚式看涨期权 t时刻价格一阶近似计算公 式为
2 σ2 h K2 σ2 ) ( T - h - t) ] - K2 exp [ ( - 2 r + 2 σ2 ) ( T - h - t) ]. + 2 exp [ ( - 2 r + 3 3 St St
定理 1. 2( m 阶近似 ) 当 0 ≤ t < T - h 时 , 延期平均价格亚式看涨期权 t时刻价格 m 阶近似计算公 式为