通信原理随机过程

R ( 0)
1 ∞ P = ω ) dω ( ξ ∫ 2π −∞
∫
∞
−∞
P ξ ( f ) df
平均功率
2.2 平稳随机过程
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= ξ (t ) 【例】某随机相位余弦波
A cos (ωc t + θ ) ，其中
A 和 ωc 是常数， θ 在 ( 0, 2π ) 内均匀分布。 ξ ( t ) 是否是平稳随机过程？ （1 ） （2）求 ξ ( t ) 的功率谱密度和平均功率。
二、统计特性
1.分布函数和概率密度函数 2.数字特征
2.2 平稳随机过程
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一、定义
1.狭义平稳
∀n, h
f n ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )
f n ( x1 , x2 , , xn ; t1 + h, t2 + h, , tn + h )
3.频谱特性
Pf (ω ) = lim FT (ω ) T
2 T →∞
2 E FT (ω ) Pξ (ω ) E P lim ω = = ( ) f T →∞ T
任一实现的功率谱
f (t)
O
t
f T(t)
T − 2
O
T 2
t
截短函数
2.2 平稳随机过程
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含义：任意n维分布与时间起点无关
一维分布与时间t无关 二维分布只与时间间隔τ有关
2.2 平稳随机过程
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狭义平稳过程的数字特征：
E [ξ (t ) ] = ∫ x1 f1 ( x1 )dx1 = a = 常数 −∞
∞
= D[ξ (t )] E [ξ (t )] − a =
R( = t1 , t2 ) R ( t1 , t1 + τ )
自相关函数是t1和τ的函数
（5）互协方差函数
B ξη ( t1 , t2 ) = E ξ ( t1 ) − aξ ( t1 ) η ( t2 ) − aη ( t2 )
{
}
（6）互相关函数
R ξη ( t1 , t2 ) = E ξ ( t1 )η ( t2 )
2.2 平稳随机过程
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= 解： (1) E ξ ( t )
E A cos (ωc t + θ )
A cos ωc tE [ cos θ ] − A sin ωc tE [sin θ ] 2π 1 2π 1 = A cos ωc t ∫ ⋅ cos θ dθ − A sin ωct ∫ ⋅ sin = θ dθ 0 0 2π 0 2π
∫
∞
−∞
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2
二者关系：B = ( t1 , t2 ) R ( t1 , t2 ) − a ( t1 ) a ( t2 )
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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若 t2
> t1 ，令 t2= t1 + τ
{
}
t1 = t2 ?
=
∫ ∫
−∞
∞
∞
−∞
x1 − a ( t1 ) x2 − a ( t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2
（4）自相关函数
R ( t1 , t2 ) = E ξ ( t1 ) ξ ( t2 )
=∫
∞ −∞
（3）自相关函数
R ( t1 , t2 ) = E ξ ( t2 ) ξ ( t1 )= R ( t1 , t1 + τ )
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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一、基本概念
随机过程的两个属性： ξ ( t ) 是时间函数；
ξ ( t1 ) 是随机变量。 任一时刻t1，
{
}
A2 A2 = cos ωc= cos ωcτ ( t1 − t2 ) 2 2
平稳
2.2 平稳随机过程
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= ξ (t ) 【例】某随机相位余弦波
A cos (ωc t + θ ) ，其中
A 和 ωc 是常数， θ 在 ( 0, 2π ) 内均匀分布。 ξ ( t ) 是否是平稳随机过程？ （1 ） （2）求 ξ ( t ) 的功率谱密度和平均功率。
2 2
σ= 常数
2
∞ ∞ −∞ −∞
R(t1= , t1 + τ ) E[ξ (t1 )ξ (= t1 + τ )]
∫ ∫
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ;τ )dx1dx2
= R(τ )
2.2 平稳随机过程
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2.广义平稳：二阶矩过程均值为常数，自相关函 数仅与τ有关。
{
2
}
= E ξ
2
2 = σ − t a t (t ) ( ) ( )
2
对均值的偏离程度
2 a ( t ) = 0：σ 2 ( t ) = E ξ ( t )
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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（3）自协方差函数
B ( t1 , t2 ) = E ξ ( t1 ) − a ( t1 ) ξ ( t2 ) − a ( t2 )
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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n维分布函数：
Fn ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) =P {ξ ( t1 ) ≤ x1 , ξ ( t2 ) ≤ x2 , , ξ ( tn ) ≤ xn }
n维概率密度函数：
∂ n Fn ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) f n ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) = ∂x1 ⋅∂x2 ∂xn
则 ξ ( t ) 具有各态历经性。
意义：时间平均代替统计平均
2.2 平稳随机过程
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2.自相关函数的性质 = R (τ ) E ξ ( t ) ξ ( t + τ )
2 = = S ≥0 1 R 0 E ξ () ( ) ( t )
平均功率 直流功率
∂F1 ( x1 , t1 ) 一维概率密度函数： f1 ( x1 , t1 ) = ∂x1
二维分布函数：
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) =P {ξ ( t1 ) ≤ x1 , ξ ( t2 ) ≤ x2 }
∂ 2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 二维概率密度函数：f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) = ∂x1 ⋅ ∂x2
P (ω ) = ∞ R (τ ) e − jωτ dτ ∫−∞ ξ 维纳-辛钦关系 1 ∞ jωτ R (τ ) = P e dω ω ξ ( ) ∫ −∞ 2π ∞ 1 ∞ R ( 0) = P P 平均功率 ξ (ω ) d ω ξ ( f ) df ∫ ∫ −∞ −∞ 2π
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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2. 数字特征 (1)数学期望 E ξ ( t ) = a (t ) (2)方差
D ξ ( t ) = E ξ
2 2 − t a t σ = ( ) ( ) (t ) 2
2 a ( t ) = 0：σ ( t ) = E ξ ( t ) 2
功率谱密度的性质： Pξ (ω ) Pξ (ω ) ≥ 0 Pξ ( −ω ) = 单边功率谱密度
2 P ξ (ω ) P ξ1 (ω ) = 0
ω≥0
ω<0
2.2 平稳随机过程
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一、定义
1.狭义平稳
∀n, h
f n ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )
R [t1 , t2 ] = E ξ ( t1 ) ξ ( t2 ) = E A cos (ωc t1 + θ ) ⋅ A cos (ωc t2 + θ )
A2 E cos ωc ( t1 − t2 ) + cos = ωc ( t1 + t2 ) + 2θ 2
注：n越大，描述越充分，也越复杂
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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2.数字特征 (1)数学期望 ∞ E ξ ( t ) = ∫−∞ xf1 ( x, t ) dx = a ( t ) 样本函数曲线的摆动中心 (2)方差
= D E ξ ( t ) − a ( t ) ξ ( t )
t
x2(t)
t
ξ (t )
xn(t)
t1
t
随机过程的两个属性： ξ ( t ) 是时间函数
ξ ( t1 ) 是随机变量 任一时刻t1，
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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二、统计特性
1.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：
F1 ( x1 , t1 ) P {ξ ( t1 ) ≤ x1 } =
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现代通信原理
张会宁 hnzhang@xidian.edu.cn
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http://www.icourses.cn/coursestatic/course_6642.html
第2章 随机过程
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本章主要内容
随机过程的基本概念和统计特性 平稳随机过程的定义和性质 高斯随机过程的定义和性质 随机过程通过线性系统 窄带高斯过程的统计特性 正弦波加窄带高斯噪声的统计特性 本章作业：1，5，7，8，9，10，14，20
R (τ ) ( 4 ) R ( −τ ) =
( 5) R (τ ) ≤ R ( 0 )
2.2 平稳随机过程
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3.频谱特性
P (ω ) = ∞ R (τ ) e − jωτ dτ ∫−∞ ξ 1 ∞ jωτ R (τ ) = P ω e dω ( ) ξ ∫ −∞ 2π
2 2 2 = R ∞ E = ξ t a ( ) ( ) ( )
σ2 ( 3) R ( 0 ) − R ( ∞ ) =
R (τ ) ( 4 ) R ( −τ ) =
交流功率，方差 偶函数 上界
( 5) R (τ ) ≤ R ( 0 )
2.2 平稳随机过程
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2.2 平稳随机过程
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A2 ( 2 ) R (τ ) = cos ωcτ 2
f n ( x1 , x2 , , xn ; t1 + h, t2 + h, , tn + h )
2.广义平稳： E ξ ( t ) =a R (τ ) R (t1 , t1 + τ ) = 狭义平稳 均方值有界 广义平稳 不一定
2.2 平稳随机过程
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二、性质
1.各态历经性（遍历性） 2.自相关函数的性质
2 = = S ≥0 1 R 0 E ξ () ( ) ( t )
平均功率 直流功率
2 2 = ∞ = 2 R E ξ t a ( ) ( ) ( )
2 3 R 0 − R ∞ = σ ( ) ( ) ( )
交流功率，方差 偶函数 上界
E ξ ( t ) =a R (τ ) R (t1 , t1 + τ ) =
关系：
狭义平稳 均方值有界 广义平稳 不一定
2.2 平稳随机过程
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二、性质
1.各态历经性（遍历性） 设 x ( t ) 是平稳过程 ξ ( t ) 的任一实现，若
1 T /2 x(t ) lim = x(t )d t a T →∞ T ∫−T / 2 1 T /2 = x(t ) x(t + τ ) lim ∫ = x(t ) x(t + τ )d t R (τ ) T →∞ T −T / 2
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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一、基本概念
确定性过程：变化过程有确定的变化规律，可用 时间t的确定函数描述。
随机过程：变化过程没有确定的变化规律，不能 用时间t的确定函数来描述。
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
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x1(t)
样本函数