固体物理习题ppt课件

E(k)m 22(a8 7co ks a8 1co 2ks)a
电子的有效质量
m*
2
/
2E k2
m* co skam1co s2ka
2 E(k)
ma2
87coks
a81(2co2ska1)
2
m2a2 14coks a22 14
能带底部 k 0
能带顶部 k a
有效质量 m*2m 有效质量 m* 2 m
5.1 设一维晶体的电子能带可以写成
E(k)m 22(a8 7co ks a8 1co 2ks)a
式中a为晶格常数。计算: 1）电子在波矢k的状态时的速度； 2）能带底部和能带顶部电子的有效质量
解：电子在波矢k状态时的速度
v(k) 1 dE(k) dk
v(k)(skina 1si2 nk)a ma 4
2q kF2
K为单价Bcc金属，n=N/V=2/a3，a=5.2Å，
kF
32
N 1/ 3
V
62 a3
1/ 3
3.9 5.21010
7.5109 m1
B 12kqF 2
21.61 019 1.0551 0347.521108
5.41 04T1
（2）由5.3题有k空间轨迹面积Sn与r空间轨迹面积关系
qB
( k2 m2
k3 m3
)
0
dk dt
2
qB
( k3 m3
k1 m1
)
0
dk dt
3
qB
( k1 m1
k2 m2
)
0
i
k
0 1
qB
m2
k
0 2
qB
m3
k
0 3
0
i
k
0 2
qB
m3
k
0 3wk.baidu.com
qB
m1
k
0 1
0
i
k
0 3
qB
m1
k
0 1
qB
m2
k
0 2
0
k10, k20, k30 有非零解，系数行列式为零
v
d d k t q B [ ( m k 1 1 k ˆ 1 m k 2 2 k ˆ 2 m k 3 3 k ˆ 3 ) ( k ˆ 1 k ˆ 2 k ˆ 3) ]
电子运动方程
dk dt
1
qB
( k2 m2
k3 m3
)
dk dt
2
qB ( k 3 m3
k1 ) m1
dk dt
i{ 2(q)2 B 2(q)2 B 2(q)2 B 2}0
m 2 m 3 m 1 m 2 m 1 m 3
0 无意义
3
qB
( k1 m1
k2 m2
)
dk dt
1
qB
( k2 m2
k3 m3
)
0
dk dt
2
qB
( k3 m3
k1 m1
)
0
dk
3
qB ( k 1
k2
)
0
dt
m1
m2
令 k 1 k 1 0 e i t,k 2 k 2 0 e i t,k 3 k 3 0 e i t
dk 1
dt
i
k
0 1
qB m2
k
0 2
qB m3
k
0 3
0
i
k
0 2
qB m3
k
0 3
qB m1
k
0 1
0
i
k
0 3
qB m1
k
0 1
qB m2
k
0 2
0
i
qB
m1
qB
m1
qB
m2
i
qB
m2
qB
m3
qB 0
m3
i
i{ 2(q)2 B 2(q)2 B 2(q)2 B 2}0
m 2 m 3 m 1 m 2 m 1 m 3
3
5.2 晶格常数为2.5 Å的一维晶格，当外加102 V/m和107 V/m
的电场时，分别估算电子自能带底运动到能带顶所需 要的时间。
解：电子倒空间里 k 方向上匀速运动
F dk eE dt
dk eE dt
能带底到能带顶 k 的变化为 /a，所需时间
E=100 V/m
E=107 V/m
t / dk / eE h a dt a 2aeE
1
6.62 1034
5 1010 1.6 1019 100
8.3 108 s
t h 2aeE
1 5 1010
6.62 1034 1.6 1019 107
8.3 1013 s
5.3 试证在磁场中运动的布洛赫电子，在k空间中轨迹 面积Sn和在r空间的轨迹面积An之间的关系为
解：（1）德﹒哈斯-范﹒阿尔芬效应的震荡周期为
1 2q B SF
SF为垂直于磁场方向和费米面的极值轨道面积
在自由电子模型下，费米面为球面，即
SF kF2
kF
32
N1/ 3 V
B 1 2 kq F 22m k 2F q 2/2mm q FE
kF
32
N 1/
V
3
1 B
vv(kv)h m k11kˆ1h m k22kˆ2h m k33kˆ3
B v B (k ˆ1 k ˆ2 k ˆ3 )
dkqv(k)B dt
应用关系 kˆ1 kˆ2 kˆ3 v
d d k t q B [ ( m k 1 1 k ˆ 1 m k 2 2 k ˆ 2 m k 3 3 k ˆ 3 ) ( k ˆ 1 k ˆ 2 k ˆ 3) ]
An
qB
2 Sn
kF7.5190m1
S n k F 2 7 . 5 1 9 1 . 7 0 1 2 7 m 2 0 0
则当B=1T，在真实空间中运动轨迹面积为
A n 1 1 ..6 0 1 5 1 1 0 5 9 3 0 1 42 1 .7 7 120 07 .5 9 1 1 0m 02
因而该效应只能在低温纯净样品中才可能观察到
5.5 设电子等能面为椭球
E(k )2k122k222k32 2m1 2m2 2m3
外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为 , ,
1) 写出电子的准经典运动方程
2) 证明电子绕磁场回转频率为 qB
m*
其中
m*
m1m2m3
m12m22m32
解 恒定磁场中电子运动的基本方程
An
c qB
2 Sn
An
qB
2 Sn
解：在磁场中电子运动方程为
SI制
dkqVBqdrB
dt
dt
d k q d B / r q/ B dr kq/B r
所以电子在k空间中轨迹面积Sn和在r空间的轨迹面积An
之间有如下关系
An
qB
2 Sn
5.4 （1）根据自由电子模型计算K的德﹒哈斯-范﹒阿 尔芬效应的周期(1/B) （2）对B=1T，在其实空间中电子运动轨迹的面积 有多大？
电子的速度 v(k)1kE(k)
hdkvqvv(kv)Bv dt
电子能量
E(k )2k122k222k32 2m1 2m2 2m3
kE(kv) k E 1kˆ1 k E 2kˆ2 k E 3kˆ3
kE(kv)hm 2k11kˆ1hm 2k22kˆ2hm 2k33kˆ3
电子的速度 磁感应强度 代入电子运动方程