微分方程建模基本方法
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程建模基本方法
容器内含盐量为
x x (t )
,
x ( 0 ) 10
到
t dt
容器中的含盐量的改变量为
dx x 100 t 2 dt
dx
即
x x (t )
满足的微分方程为
2x dx 100 t dt x ( 0 ) 10
解之得
x 10
5 2
(100 t )
1 y'
这是不显含
的二阶微分方程，并有初值条件：
，y ( 0 ) 0
y (0 ) 0
解此初值问题，可得导弹运行的曲线方程为
y 5 8
4
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
5 24
当
x 1
时
y
5 24
，即当乙舰航行到点 (1 , 5 /24 )
处时被导弹击中。
解 设导弹的轨迹曲线为
导弹位于点
P ( x, y)
y y ( x ) ，并设经过时间 t
，乙舰位于点 Q (1, v t ) 。
0
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹 的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有
y' v0t y 1 x
亦即
v 0 t (1 x ) y ' y
（三）模拟近似法
例3 （给药方案）
给药方案：每次注射剂量多大，间隔时间多长
一室模型：将整个肌体看作一个房室，称中心室， 室内的血液浓度是均匀的。 问题：
设所研究药物的最小有效浓度 c
1
10
，最大治疗
浓度
c 2 25 ( g / ml )
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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网络资源
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城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
微分方程建模方法
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
一阶微分方程及其建模方法课件
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
3、一阶线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
随机微分方程建模及计算方法探究
随机微分方程建模及计算方法探究微分方程是数学中的一个重要分支，也是用于描述自然和社会现象中变化规律的数学工具。
随机微分方程是对微分方程进行扩展，考虑了随机变量的影响，使得模型更符合现实情况。
本文将介绍随机微分方程的基本概念和建模方法，并探究其计算方法。
首先，我们来了解一下随机微分方程的基本概念。
随机微分方程是一种包含随机变量的微分方程。
通常情况下，它可以表示为：dX(t) = f(X(t), t)dt + g(X(t), t)dW(t)其中，X(t)为随机过程，f(X(t), t)和g(X(t), t)为已知函数，dW(t)表示维纳过程（一种连续时间的随机过程）。
这个方程的意义是在给定初始条件X(t0)=X0的情况下，描述随机过程X(t)的变化规律。
接下来，我们将介绍随机微分方程的建模方法。
建模的关键是确定f(X(t), t)和g(X(t), t)函数的形式。
这一步通常需要根据具体问题的背景和需求进行选择。
一种常见的方法是利用统计数据分析来估计这两个函数，通过拟合实际观测值来确定参数。
另一种方法是利用经验公式或物理定律来确定函数的形式。
无论采用哪种方法，都需要综合考虑模型的可解性和适用性。
随机微分方程的计算方法包括数值解和解析解。
数值解是通过数值计算方法求取近似解，常用的方法有欧拉方法、改进的欧拉方法、隐式方法等。
这些方法的思想都是将微分方程离散化，得到差分方程，然后通过迭代计算逼近真实解。
数值解的优点是计算过程简单，并且可以适用于各种复杂模型。
然而，数值解也存在精度问题，需要适当选择步长和算法以减小误差。
解析解是通过数学方法求取精确解，通常需要利用一些特殊的函数或变换来求解。
然而，由于随机微分方程的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
即使得到解析解，由于随机变量的存在，也很难直观地解释和应用。
因此，在实际应用中，数值解往往更为常用。
随机微分方程的计算方法的选择要根据具体问题的需求和背景来决定。
如果需要精确解或者对模型的解释性有要求，可以尝试解析解。
微分方程与电路问题的建模与解法
微分方程与电路问题的建模与解法电路问题是现代科学与工程领域中常见的实际问题之一，而微分方程则是解决这些问题的重要工具之一。
本文将探讨微分方程与电路问题的建模与解法，并通过实例来说明其应用。
一、电路问题的建模电路问题通常涉及电流、电压、电阻等物理量之间的关系。
为了解决这些问题，我们需要将电路中的各个元件进行建模，并建立它们之间的数学关系。
微分方程提供了一种有效的建模方法。
以简单的电路为例，假设一个由电阻R、电感L和电容C组成的串联电路，电源为直流电源V(t)。
我们可以根据基尔霍夫定律建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri + q/C = V(t)其中，i是电流，q是电容器的电荷量。
这个微分方程描述了电感、电阻和电容之间的关系。
二、微分方程的解法解决微分方程可以采用不同的方法，如分离变量法、变量代换法、特解法等。
在电路问题中，我们通常使用拉普拉斯变换和复变函数等方法来求解微分方程。
以上述电路问题为例，我们可以通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电流i(t)和电荷量q(t)的表达式。
通过求解微分方程，我们可以获得电路中各个物理量随时间的变化规律。
三、实例分析为了更好地理解微分方程与电路问题的应用，我们来看一个实际的例子。
假设有一个由电阻R和电感L组成的串联电路，电源为交流电源V(t) = V0 sin(ωt)。
我们希望求解电路中的电流i(t)。
根据基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri = V0 sin(ωt)通过拉普拉斯变换，我们可以将上述微分方程转化为代数方程：(sL + R)I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)]其中，I(s)是电流的拉普拉斯变换，s是复变函数。
通过求解代数方程，我们可以得到电流的拉普拉斯变换表达式：I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)(sL + R)]然后，我们可以通过拉普拉斯逆变换将I(s)转化为时间域的电流i(t)。
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
常微分方程建模方法
常微分方程建模方法常微分方程建模方法可以分为定性分析和定量分析两个阶段。
定性分析是通过分析问题的物理背景和现象特征，确定微分方程的类型和形式。
而定量分析则是通过对微分方程进行求解，得到具体的解析解或数值解，来揭示问题的本质。
1.理解问题背景：了解问题的物理背景、现象特征、变量之间的关系等，分析问题的要素和限制条件。
2.建立数学模型：根据问题的特征和变量关系，建立微分方程模型。
通常可以利用物理定律、守恒定律、动力学方程等来描述问题的变化规律。
3.确定初始条件和边界条件：对于初值问题，需要确定初始条件；对于边值问题，需要确定边界条件。
这些条件是求解微分方程的前提。
4.分析微分方程：对建立的微分方程进行分析，研究方程的特性和性质。
可以利用变量分离、线性化、换元等方法来化简和求解方程。
5.求解微分方程：根据微分方程的类型和性质，选择合适的求解方法。
可以将高阶微分方程化简为一阶微分方程，然后利用解析解或数值解的方法求解。
6.模型验证和优化：对求解得到的解析解或数值解进行验证，检验模型的合理性和准确性。
如果模型不准确，需要进行调整和优化。
7.结果解释和应用：根据求解得到的结果，解释模型的含义和意义，并将模型应用到实际问题中，得出结论和预测。
常微分方程建模方法可以应用于各个领域，如物理学、生物学、工程学、经济学等。
例如，通过建立流体力学方程，可以研究流体的流动和扩散过程；通过建立生态学方程，可以研究生物种群的数量和分布变化；通过建立经济学方程，可以研究经济增长和波动。
总之，常微分方程建模方法是将实际问题抽象成数学模型的过程，通过求解微分方程来揭示问题的本质和规律。
建模过程需要充分理解问题的背景和特征，合理选择合适的数学工具和求解方法，最终得到有实际应用价值的结论和预测。
精品课件资料数学建模第四章(1)(微分方程)
limW
t
(t
)
0．要导致死亡．
3. 只吃不活动也不行，因为这时b=0，W (t) W0 at, limW (t) . 说明要得肥胖症，很危险，也要导致
t
死亡（当然体重不会无限变大）．
4. 举重运动员控制体重数学问题：已知 W0，要
达到的值为 W1 ，其期限为t，求a，b的最佳组合，
使
W1
a b
即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食 物，如糖、冰淇淋等）
(2)增大 b C . 即增加运动量可减轻体重．
D
反之，通过增大 a 或减小b 可达增肥目的．即 “多吃少动，易肥胖”．
美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥．
2. 只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不
行的，因为A=B使得a=0，
V[x(t t) x(t)] (Km r)t
t t
Kx(s)ds
t
x(0) x0
于是，令 t 0 得
dx a bx, t 0 dt
x(0) x0
其中，a Km r ,b K 解为
V
V
x(t)
a b
(x0
a )ebt b
Km
r
x0
(Km
r)
Kt
eV
K
K
这就是t时刻空气中含CO2的百分比。 通常
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似．
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
微分方程建模
的数学模型为
vR g， r
（6.3）
取 R 6400km，r R 600km，代入上式，得 v 7.6km/s，
即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭 的末速度最低应为 7.6km/s。
2 火箭推进力及升空速度
火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组 成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一 个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地 球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为 使问题简化，假设
设地球半径为 R，质量为 M ；卫星轨道半径为r ，
卫星质量为 m 。
根据假设（2）和（3），卫星只受到地球的引力，
由牛顿万有引力定律可知其引力大小为
F
GMm r2
，
其中G 为引力常数。
（6.1）
为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（6.1）
式得
mg
GMm R2
再代入（6.1）式，得
或 GM R2g，
由上式可得理想火箭的数学模型为
m(t) dv(t) (1 ) dm u，
dt
dt
及
解之得
v(0) 0，m(0) m0，
v(t) (1 )uln m0 .
m(t)
（6.10） （6.11）
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便
只剩卫星质量m p，从而最终速度的数学模型为
（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法 自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的 微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能 直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式， 而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自 变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取 极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取 积分的方法来建立微分方程。
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(1)
即血药浓度 c(t ) 按指数规律下降。
2．给药方案设计 简单实用的给药方案是，每隔一定时间 ，重复
注入固定剂量 D ，使血药浓度 c(t ) 成周期性变化，
并保持在 c1 ~ c2 之间 。为此初次剂量需加大到 D0 ，
由（1）式容易得到
D0 Vc2
D V (c2 c1 ) ， ln 2 ， k c1
设位于坐标原点的甲舰向位于 x 轴上点A(1,0)
处的乙舰发射制导导弹，导弹头始终对准乙舰． 如果乙舰以最大的速度 v0（ v0 是常数）沿平行于 y 轴的直线行驶，导弹的速度是 5v0 ，求导弹运行 曲线方程及乙舰行驶多远时，它将被导弹击中？
解 设导弹的轨迹曲线为 y y(x)，并设经过时间 t
一、微分方程建模方法简介
• 元素法 • 机理分析法 • 模拟近似法
（一）元素法 例1 容器内有100升盐水，含10千克盐。现在以每 秒3升的均匀速率往容器内注入净水（假定净水与 盐水立即调和），又以每秒2升的均匀速率从容器 中抽出盐水，问60秒后容器内盐水的含盐量是多 少？ 解：设时刻 t 容器内含盐量为 x x(t ) , x(0) 10 从 t 到 t dt 容器中的含盐量的改变量为 dx 则
x dx 2dt 100 t
即
x x(t ) 满足的微分方程为
dx 2 x 100 t dt x(0) 10
解之得
105 x (100 t ) 2
于是 x(60) 3.9
练习 传染病传播的数学模型
人口增长数学模型
（二）机理分析法 例2 （目标跟踪问题）
（2）中心室血液容积为常数V , t 0 瞬时注入
药物的剂量为 d ，血药浓度即为
d 。 V
由假设（1）可得中心室的血药浓度 c(t ) 满足 微分方程，由假设（2）可得方程的初始条件。
于是所求微分方程模型为
dc kc dt c(0) d V
解之得
d kt c(t ) e V
1
c
3．参数估计
d kt c(t ) e V
(1)
d 两边取对数得 ln c ln kt V d 记 y ln c, a1 k , a2 ln V
问题化为由数据
ti , yi (i 1,2,,8) 拟合直线
y a1t a2
用Matlab作线性最小二乘拟合，得到
a1 0.2347, a2 2.9943
由试验数据 d 300 算出 k 0.2347,V 15.02
进而得到给药方案：
D0 375, D 225, 4
参考程序
t=[0.25,0.5,1,1.5,2,3,4,6,8]; c=[19.21,18.15,15.36,14.10,12.89,9.32,7.45,5.24,3.01];
y=log(c);
a=polyfit(t,y,1);
a1=a(1)
a2=a(2)
血药浓度 c(t ) 的测试数据 t 0.25 0.5 1 15.36 1.5 14.10 2 3 4 6 8
c 19.21 18.15
12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
试设计合理的给药方案。
1．建模，确定血药浓度的变化规律 假设： （1）药物向体外排除的速率与中心室的血药浓度 成正比，比例系数为 k 0 称排除速率；
导弹位于点 P( x, y) ，乙舰位于点 Q (1, v0t ) 。 由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹 的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有
y' v0 t y 1 x
亦即
v0t (1 x) y ' y
（1）
又根据题意，弧OP的长度为|AQ| 的5倍，即
x
0
1 y '2 dx 5v0t
解此初值问题，可得导弹运行的曲线方程为
5 5 5 5 5 y (1 x) (1 x) 8 12 24
4 6
当 x 1 时 y
5 ，即当乙舰航行到点 (1 , 5 /24 ) 24
处时被导弹击中。
练习 放射性废物的处理问题
（三）模拟近似法
例3 （给药方案）
给药方案：每次注射剂量多大，间隔时间多长
(2) 得 (3)Fra bibliotek由（1）与（2）式消去 v0 t
1 x (1 x) y ' y 1 y '2 dx 5 0
将（3）式两端对 x 求导并整理，得
1 1 y '2 (4) 5 这是不显含 y 的二阶微分方程，并有初值条件： (1 x) y"
y(0) 0 ， y(0) 0
一室模型：将整个肌体看作一个房室，称中心室， 室内的血液浓度是均匀的。 问题：
设所研究药物的最小有效浓度 c1 10，最大治疗
浓度 c2 25(g / ml) 下表是对某人用快速静脉注射
t 方式一次注入药物300 g 后，在一定时刻 （小时）
采集血样，测得血药浓度 c(g / ml ) 。