运动学和动力学第1章

② t 2min 120s v 2 (15m s) 2 an 0.281m s 2 R 800m
a a a 0.308m s
2 t 2 n
2
例3 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。 解：由点M的运动方程，得
dx vx dt
dz vz dt
dy vy dt
速度大小
速度方向
3、用直角坐标表示点的加速度 加速度
dv y dv dvx dvz a i j k axi a y j az k dt dt dt dt
dvx d x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt
x x(t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标形式的运动方程
消去时间t
Байду номын сангаас
轨迹方程
2、用直角坐标表示点的速度 直角坐标与矢径坐标之间的关系
r xt i y(t ) j z (t )k
dr dx dy dz 速度 v i j k vxi v y j vz k dt dt dt dt
2
dvz d z az 2 dt dt
2
加速度大小
加速度方向
特例： 当点作直线运动时
（1）运动方程： 可由沿该直线的一个坐标表示，如 （2）速度： 当 当 ， 沿 正向； ， 沿 负向； 即
x = x(t )
所以可由代数量表示速度， （3）加 速度：
同理
可由代数量表示加速度，即 ，
4-3
（3）可用弧长随时间变化的规律来描述点的运动。
当点运动时，弧坐标随时间t变化，是时间t的函数。
s f (t )
称为弧坐标形式的运动方程
自然轴系
切线方向单位矢量 ：
沿切线t—t，指向弧坐标正向。 法线方向单位矢量 ：
沿主法线n — n，指向轨迹在M点 的曲率中心。
2、自然法表示的速度
同理，速度可用代数量表示为：
自然法
1、自然法表示点的运动方程
如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点 在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。
在轨迹上选一点作为原点，并人为规定弧长的正负， 称为弧坐标，用s表示。如图所示。
弧坐标具有以下要素：
（1）有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为
坐标原点)； （2）有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；
学习本问题的目的
写出运动方程
2、描述物体的运动量有哪些？如何求这些运动量？

运动学中的几个基本概念
1、参考体与参考系
2、时间：瞬时t；
时间间隔：Δ t
3、力学模型：点、刚体
第四章 点的运动学
点的运动学部分主要研究如下三个问题：
1、如何确定点在任一瞬时的位置？ 2、点的运动的轨迹 3、描述点的运动量有哪些？如何求这些运动量？ 描述点的运动量有速度、加速度。
y l a 2 sin t ay v y
2 x 2 y 2
a a a
2 2
2 l a 4 cos2 t (l a） 4 sin 2 t
l a 2al cos 2t ay (l a) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y vz 4, a 0 j z
z
从而 v v v v 80m s , a a a a 32m s
l a 2al cos 2 t
2 2
vx (l a) sin t cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2t
cos(v , j )
vy v

(l a) cos t
2
l a 2al cos 2t
2
加速度
x l a 2 cos t ax v x
3、自然法表示的加速度
dv dv d 加速度 a v dt dt dt
切向加速度 （1）切向加速度
法向加速度
切向加速度记作
，
可用代数量表示为：
切向加速度沿轨迹切线。
（2）法向加速度
法向加速度记作 可以证明 ，
可用代数量表示为：
法向加速度沿轨迹主法线，指向曲率中心。
（3）全加速度
2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z
2
dv 而 at 0, an a 32m s 2 dt v2 故 2.5m an
课堂练习
1、曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。 当曲柄OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直 线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度 绕O轴转 动，即 ＝ t ， 连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、 速度和加速度。
§4-1
矢量法
M
r
o
运动方程 r r t
矢端曲线＝ 点的运动轨迹
速度定义
dr v dt
速度沿矢径矢端曲线切线，并始终指向点前进的一方。
如图所示。
v
dv d 2 r 加速度(定义) a 2 dt dt
a
加速度沿速度矢端曲线的切线方向。
§4-2
直角坐标法
1、直角坐标形式的运动方程
全加速度为 全加速度在密切面内。 大小
方向
讨论： （1）当点作直线运动时，=∞
于是
（2）当点作曲线运动时， 有两种可能性：
v=0 瞬时（运动开始、运动结束）
= 瞬时（曲线拐点处）
除此之外，恒an>0，也即
始终指向曲率中心。
所以，全加速度 即
与
的夹角为锐角。
始终指向曲线内凹的一侧。
如
可能运动 不可能运动 与 与
（6）当 =常数时，点作圆弧曲线运动 。
有关点的运动学的常见题型： （1）点作匀速运动或匀变速运动，可直接代公式求解。 （2）已知运动规律，写出运动方程，代公式得速度、加 速度。 求导运算 （3）已知速度、加速度，求运动规律、运动轨迹等 积分运算
例1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A、B 两端 分别在相互垂直的滑槽中运动。
运动学
运动学是从几何学的角度研究点和刚体的运动，不 涉及运动变化的原因。
运动学部分主要研究如下两个问题：
1、如何确定物体在任一瞬时的位置？ 物体的位置描述首先要选取参考系，当物体运 动时，物体的位置坐标是时间t的函数，若能写出这 一函数，物体在任一瞬时的位置就完全确定了。我 们把这一函数称为运动方程。
t2 soc la2 2 a 2 l t nis )a l( a x ) j , a (soc a
例2 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运 动。如初速度为零，经过2min后，速度到达
54km/h。求列车起点和未点的加速度。 已知：R=800m=常数， a 常数,
已知：OC AC BC l , MC a, t
求：① M 点的运动方程
② 轨迹
③ 速度
④ 加速度
解：点M作曲线运动，取坐标系xoy 运动方程
x (OC CM ) cos (l a)t cos t
y AM sin (l a) sin t
（3）当 与 方向一致时，点作加速运动，此时 夹角成锐角。 当 与 方向相反时，点作减速运动，此时 夹角成钝角。
（4）当a=常数时，点作匀变速运动 。
由
由
得，
得，
所以，点作匀变速运动时可直接代公式求解。 （5）当v=常数时，点作匀速运动 。 此时a 0，
由
得，
所以，点作匀速运动时也可直接代公式求解。

A l
O

C x
a
B
x
课堂练习：
2、已知，点在xy面运动，x轴与y轴垂直，某瞬时，
v a vx=4m/s，y=4m/s，x=4m/s2，ay=0，
则点在此瞬时轨迹的曲率半径为 。
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l a） (l a)
速度
vx x l a sin t
v y y (l a) cos t
v vx v y (l a) sin t (l a) cos t
2 2 2 2 2 2 2 2
v t 0 v0 0
v 2min 54km h
求：a t 0 , a t 2min
解：1 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图
2 由 at 常数, v0 0
v at t
v 15m s at 0.125m s 2 t 120s
① t 0, an 0
a at 0.125m s 2