2019年浙江宁波中考数学试题(解析版)

{来源}2019年宁波市中考数学

{适用范围:3．九年级}

{标题}宁波市二〇一九年初中学业水平考试

考试时间：120分钟满分：150分

{题型:1－选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．

{题目}1．(2019年宁波)－2的绝对值为( )

A．－1

2

B．2 C．

1

2

D．－2

{答案}B

{解析}本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值等于这个数在数轴上所表示的点到原点的距离，因为－2在数轴上所表示的点到原点的距离是2，因此本题选B．

{分值}4

{章节:[1－1－2－4]绝对值}

{考点:绝对值的意义}

{类别:常考题}

{难度:1－最简单}

{题目}2．(2019年宁波)下列计算正确的是( )

A．a3＋a2＝a5B．a3·a2＝a6C．(a2)3＝a5D．a6÷a2＝a4

{答案}D

{解析}本题考查了合并同类项和幂的运算，熟记合并同类项的法则与幂的运算性质是解决该类问题的关键．a3和a2不是同类项，故不能合并，选项A错误；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，a3·a2＝a5，选项B错误；幂的乘方，底数不变，指数相乘，(a2)3＝a6，选项C错误；同底数幂相除，底数不变，指数相减，a6÷a2＝a4，选项D正确．

{分值}4

{章节:[1－15－2－3]整数指数幂}

{考点:合并同类项}

{考点:同底数幂的乘法}

{考点:幂的乘方}

{考点:积的乘方}

{考点:同底数幂的除法}

{类别:常考题}

{难度:2－简单}

{题目}3．(2019年宁波)宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1526000000元人民币．数1526000000用科学记数法表示为( )

A．1.526×108B．15.26×108C．1.526×109D．1.526×1010

{答案}C

{解析}本题考查了科学记数法，1526000000＝1.526×109，因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1－1－5－2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:2－简单}

{题目}4．(2019年宁波)若分式

1

2

x-

有意义，则x的取值范围是( )

A．x﹥2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠－2

{答案}B

{解析}本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不能为零，得到x－2≠0，所以x≠2，因此本题选B．

{分值}4

{章节:[1－15－1]分式}

{考点:分式的意义}

{类别:常考题}

{难度:2－简单}

{题目}5．(2019年宁波)如图，下列关于物体的主视图画法正确的是( )

A．B．C．D．

{答案}C

{解析}本题考查了几何体的三视图，主视图是指从几何体的正面看到的平面图，该几何体从正面看，只有选项C正确，因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1－29－2]三视图}

{考点:几何体的三视图}

{类别:常考题}

{难度:2－简单}

{题目}6．(2019年宁波)不等式3

2

x

-

﹥x的解为( )

A．x﹤1 B．x﹤－1 C．x﹥1 D．x﹥－1

{答案}A

{解析}本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的解法，不等式的两边同乘以2，得3－x＞2x，再移项，合并同类项，得－3x＞－3，解得x＜1，因此本题选A．

{分值}4

{章节:[1－9－2]一元一次不等式}

{考点:解一元一次不等式}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:2－简单}

{题目}7．(2019年宁波)能说明命题“关于x的方程x2－4x＋m ＝0一定有实数根”是假命题的反例

为( )

A．m ＝－1 B．m ＝0 C．m ＝4 D．m ＝5

{答案}D

{解析}本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”的形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．说明命题“关于x的方程x2－4x＋m ＝0一定有实数根”是假命题，只要满足△＝16－4m＜0的解即可，即m＞4的值，因此本题选D．

{分值}4

{章节:[1－5－4] 命题、定理、证明}

{考点:根的判别式}

{考点:命题}

{考点:推理与证明}

{难度:3－中等难度}

{题目}8．(2019年宁波)去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x(单位：千克)及方差S2(单位：千克2)如下表所示：

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是( )

A．甲B．乙C．丙D．丁

{答案}B

{解析}本题考查平均数和方差．比较四个品种的平均数可得，甲品种和乙品种的产量更好，而甲的方差＞乙的方差，所以乙品种的产量更稳定些，因此本题选B．

{分值}4

{章节:[1－20－2－1]方差}

{考点:算术平均数}

{考点:方差}

{考点:方差的性质}

{考点:方差的实际应用}

{考点:数据分析综合题}

{类别:常考题}

{难度:3－中等难度}

{题目}9．(2019年宁波)已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为( )

A．60°B．65°C．70°D．75°

n

(第9题图)

{答案}C

{解析}本题考查了平行线的性质和三角形的外角的性质．如图，∵△ABC 是含45°的等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，∴∠3＝∠B ＋∠1＝45°＋25°＝70°，∵m

∥n ，∴∠2＝∠3＝70°，因此本题选C ． {分值}4

{章节:[1－5－3]平行线的性质}

{考点:角的计算} {考点:三角形的外角} {考点:两直线平行同位角相等}

{类别:常考题}

{难度:3－中等难度}

{题目}10．(2019年宁波)如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( ) A ．3.5cm

B ．4cm

C ．4.5cm

D ．

5cm

(第10题图)

{答案}B

{解析}本题考查了圆锥的性质．根据题意，当裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面时，扇形的弧长等于圆周长．欲从矩形CDEF 中裁出最大的圆，矩形的两条边CD 、EF 恰好与圆相切，即DE 长是圆的直径，不妨设AB ＝x ，则扇形弧长为90180x p 白°，圆的周长为()6x p -，得

90180x

p 白°

＝()

6x p -，所以x ＝4，因此本题选B ． {分值}4

{章节:[1－24－4]弧长和扇形面积} {考点:弧长的计算} {考点:圆锥侧面展开图} {考点:直线与圆的位置关系}

{考点:一元一次方程的应用(几何图形)} {类别:常考题}

{难度:3－中等难度}

n （第9题解）

{题目}11．(2019年宁波)小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下( ) A．31元B．30元C．25元D．19元

{答案}A

{解析}本题考查了代数式的概念，二元一次方程的性质以及整体思想．不妨设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据题意可列出方程：5x＋3y＋10＝3x＋5y－4，得x－y＝－7，若小慧只买8支玫瑰，则她剩下的钱可以用代数式表示为(5x＋3y＋10)－8x，即－3(x－y)＋10，将“x－y＝－7”整体代入可得解是31，因此本题选A．

{分值}4

{章节:[1－8－1]二元一次方程组}

{考点:代数式}

{考点:二元一次方程的解}

{类别:思想方法}

{类别:易错题}

{难度:4－较高难度}

{题目}12．(2019年宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )

A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积

C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和

图1 图2

(第12题图)

{答案}C

{解析}本题考查了图形的面积计算和勾股定理的应用．不妨设图中所给直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c，则a2＋b2＝c2．将图中阴影部分分离出来，其每条边长如图所示，利用图形面积的和差关系可知阴影部分面积可以表示为c(c－b)－a(a－b)，又因为a2＋b2＝c2，即阴影

部分可表示为b(a＋b－c)．直角三角形的面积是1

2

ab，选项A错误；最大正方形的面积为c2，选项

B错误；最大正方形和直角三角形的面积和是c2＋1

2

ab，选项D错误；用排除法易得选项C正确．事

实上，较小两个正方形重叠部分是以b为长，(a＋b－c)为宽的矩形，所以面积是b(a＋b－c)，选项C正确，因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1－17－1]勾股定理}

{考点:代数式}

{考点:列代数式}

{考点:勾股定理}

{考点:勾股定理的应用}

{考点:几何选择压轴}

{类别:思想方法}

{类别:数学文化}

{类别:发现探究}

{难度:4－较高难度}

{题型:2－填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

{题目}13．(2019年宁波)请写出一个小于4的无理数：．

{答案}p(答案不唯一)

{解析}本题考查了实数的大小比较和无理数的概念．本题答案不唯一，p

{分值}4

{章节:[1－6－3]实数}

{考点:实数的大小比较}

{考点:无理数的估值}

{类别:常考题}

{难度:1－最简单}

{题目}14．(2019年宁波)分解因式：x2＋xy ＝．

{答案}x(x＋y)

{解析}本题考查了因式分解——提取公因式．原式＝x(x＋y)．

{分值}4

{章节:[1－14－3]因式分解}

{考点:公因式}

{考点:因式分解－提公因式法}

{类别:常考题}

{难度:1－最简单}

{题目}15．(2019年宁波)袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球．从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为．

{答案}5 8

{解析}本题考查概率的基本计算．用红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．因为一共有8个

球，其中5个红球，所以从袋中任意摸出1个球是红球的概率是5

8

．

{分值}4

{章节:[1－25－1－2]概率}

{考点:可能性的大小}

{考点:概率的意义}

{考点:一步事件的概率}

{类别:常考题}

{难度:1－最简单}

{题目}16．(2019年宁波)如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘

船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为 米．(精确到1

≈1.414

1.732)

东

A

(第16题图)

{答案}566

{解析}本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识．如图，在Rt △ACO 中，∠ACO ＝90°，AO ＝400

，∠AOC ＝45°，∴CO ＝AO ·cos45°＝Rt △BCO 中，∠BCO ＝90°，∠COB ＝

60°，∴OB ＝

cos60CO

°

＝．

{分值}4

{章节:[1－28－1－2]解直角三角形} {考点:解直角三角形－方位角} {类别:常考题} {类别:易错题}

{难度:3－中等难度}

{题目}17．(2019年宁波)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，点D 在边BC 上，CD ＝5，BD ＝13．点P 是线段AD 上一动点，当半径为6的⊙P 与△ABC 的一边相切时，AP 的长为 ．

(

第17题图)

{答案}

13

2

或 {解析}本题考查了直线和圆的相切，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想．在Rt △ACD 中，∠C ＝90°，AC ＝12，CD ＝5，由勾股定理得AD ＝13．如图，点P 到AC 的最远距离是5，又因为⊙P 的半径为6，所以当点P 在线段AD 上运动时，⊙P 不可能与AC 相切，有可能与BC ，AB 相切．当⊙P 与BC 相切时，作PE ⊥BC 于点E (如图(1)所示)，此时PE ＝6，∵∠PED ＝∠ACD ＝90°，∠PDE ＝∠ADC ，∴△PDE ∽△ADC ，∴

PD AD ＝PE AC ，即13PD ＝6

12

，得：PD ＝6.5，∴AP ＝AD －PD ＝6.5；当⊙P 与AB 相切时，作PF ⊥AB 于点F (如图(2)所示)，DQ ⊥AB 于点Q ，在Rt △ABC 中，

（第16题解）

东

A

∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，由勾股定理得AB

＝AD＝BD＝13，DQ⊥AB，∴AQ＝1

2 AB

＝

∴DQ

＝AFP＝∠AQD＝90°，∠P AF＝∠DAQ，∴△APF∽△ADQ，

∴AP

AD

＝

PF

DQ

，即

13

AP

，得：AP

＝AP的值为

13

2

或．

图(1) 图(2)

(第17题解)

{分值}4

{章节:[1－24－2－2]直线和圆的位置关系} {考点:直线与圆的位置关系}

{考点:切线的性质}

{考点:三线合一}

{考点:勾股定理}

{考点:相似三角形的判定(两角相等)}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:几何填空压轴}

{类别:思想方法}

{类别:易错题}

{难度:4－较高难度}

{题目}18．(2019年宁波)如图，过原点的直线与反比例函数y ＝k

x

(k﹥0)的图象交于A，B两点，点

A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为S，则k的值为．

(第18题图)

{答案}6

{解析}本题考查了反比例函数，相似三角形，角平分线等知识．如图，连结OE，作AM⊥x轴，AN⊥x

轴，垂足分别为点M，N．∵过原点的直线与反比例函数y＝k

x

(k﹥0)的图象交于A，B两点，∴AO

＝BO，又∵AE⊥BE，∴OE＝AO，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AC，∴S△OAD＝S△EAD＝8，∵S四边形OADN＝S△OAM＋S四边形AMND＝S△ODN＋

S△OAD，又∵点A、D均在反比例函数y＝k

x

的图象上，∴S△OAM＝S△ODN＝

2

k

，∴S四边形AMND ＝S△OAD

＝8．∵AM⊥x轴，AN⊥x轴，∴AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴DN

AM

＝

CD

CA

＝

3

CD

CD

＝

1

3

，不

妨设DN＝a，AM＝3a，∵点A、D均在反比例函数y＝k

x

的图象上，∴OM＝

3

k

a

，ON＝

k

a

，∴MN

＝OM－ON＝2

3

k

a

，∴S四边形AMND＝

1

2

(AM＋DN)·MN＝

4

3

k＝8

{分值}4

{章节:[1－27－1－3]相似三角形应用举例}

{考点:等边对等角}

{考点:平行线的性质与判定}

{考点:由平行判定相似}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:代数填空压轴}

{考点:几何填空压轴}

{类别:易错题}

{难度:5－高难度}

{题型:3－解答题}三、解答题：本大题有8小题，共78分．

{题目}19．(2019年宁波)先化简，再求值：

(x－2)(x＋2)－x(x－1)，其中x ＝3．

{解析}本题考查了整式的乘法和代数式求值．首先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．

{答案}解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4

当x＝3时，原式＝3－4＝－1．

{分值}6

{章节:[1－14－1]整式的乘法}

{难度:2－简单}

{类别:常考题}

{考点:合并同类项}

{考点:代数式求值}

{考点:去括号}

{考点:整式加减}

{考点:整式化简求值}

{考点:单项式乘以多项式}

{考点:多项式乘以多项式}

{考点:平方差公式}

{题目}20．(2019年宁波)图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：

(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

(2)使得6一个中心对称图形．

(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)

图1 图2

(第20题图)

{解析}本题考查了轴对称图形和中心对称图形的作图，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．

{答案}解：(1)画出下列其中一种即可．

(2)画出下列其中一种即可．

{分值}8

{章节:[1－23－3]课题学习图案设计}

{难度:2－简单}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:作图－轴对称}

{考点:利用轴对称设计图案}

{考点:中心对称图形}

{题目}21．(2019年宁波)今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试(测试满分100分，得分均为整数)，并根据这100人的测试

成绩，制作了如下统计图表．

(第21题图)

由图表中给出的信息回答下列问题：

(1)m＝，并补全频数直方图；

(2)小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由；

(3)如果80分以上(包括80分)为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．

{解析}本题考查了频数表，频数直方图，中位数，用样本估计总体．明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合思想解析问题．

{答案}解：(1)20．

补全频数直方图：

(2)不一定是，

理由：将100名学生知识测试成绩从小到大排列，第50名与第51名的成绩都在分数段80≤a＜90中，但它们的平均数不一定是85分．

(3)4015

100

+

×1200＝660(人)．

答：全校1200名学生中，成绩优秀的约有660人．{分值}8

{章节:[1－10－2]直方图}

{难度:3－中等难度} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:抽样调查}

{考点:总体、个体、样本、样本容量} {考点:样本的代表性} {考点:用样本估计总体} {考点:频数(率)分布表} {考点:频数(率)分布直方图} {考点:统计的应用问题}

{题目}22．(2019年宁波)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3)． (1)求a 的值和图象的顶点坐标． (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；

②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围． {解析}本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离问题． 在第(2)题的第②小题中先确定到y 轴的距离等于2的x 的值，再利用 数形结合思想确定n 的取值范围是解此题的关键．

{答案}解：(1)把P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2． ∵ y ＝x 2＋2x ＋

3＝(x ＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)．

(2)①把x ＝2代入y ＝x 2＋2

x ＋3，求得y ＝11，

∴当m ＝2时，n ＝11．

②2≤n ＜11．

{分值}10

{章节:[1－22－1－4]二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和性质} {难度:3－中等难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:易错题}

{考点:二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的性质} {考点:抛物线与不等式(组)}

{题目}23．(2019年宁波)如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD 的对角线BD 上． (1)求证：BG ＝DE ；

(2)若E 为AD 的中点，FH ＝2，求菱形ABCD 的周长．

{解析}本题考查了矩形、菱形的性质，全等三角形的判定和性质， 平行四边形的判定和性质．根据矩形和菱形的相关性质得到判定 三角形全等的条件，进而得出边相等．利用中点的定义进行边的

（第22题图）

（第23题图）

等量转化，判定四边形ABGE是平行四边形，再利用矩形的对角

线相等这一性质进行边的转化，求出菱形ABCD周长．

{答案}解：(1)在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥FG．

∴∠GFH＝∠EHF．Array

∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，

∴∠BFG＝∠DHE．

在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH．

∴△BGF≌△DEH(AAS)．∴BG＝DE．

(2)如图，连结EG．

（第23题解）

在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．

∵E为AD中点，∴AE＝ED，又∵BG＝DE，

∴AE∥BG，且AE＝BG．

∴四边形ABGE为平行四边形．

∴AB＝EG．

在矩形EFGH中，EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形的周长为8．

{分值}10

{章节:[1－18－2－2]菱形}

{难度:3－中等难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:平行四边形边的性质}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}

{考点:矩形的性质}

{考点:与矩形菱形有关的综合题}

{题目}24．(2019年宁波)某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿

该公路开往草甸，途中停靠塔林(上下车时间忽略不计)．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7︰40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示．

(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式．

(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．

(3)小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到

草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？(假设每一班车速度均相同，小聪步行

速度不变)

(第24题图)

{解析}本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的生活应用，一元一次不等式，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题．在第(1)小题中，根据(20，0)，(38，2700)这两个特殊点，利用待定系数法可以求出y 关于x 的函数关系式．在第(2)小题中，已知函数值求自变量．第(3)小题中，利用一元一次不等式求出最早可以坐的班车，进而求出时差． {答案}解：(1)由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)． 把(20，0)，(38，2700)代入y ＝kx ＋b ，得020270038k b k b ì=+?í

=+??，解得150

3000

k b ì=?í=-??．

∴第一班车离入口处的路程y (米)与时间x (分)的函数表达式为 y ＝150x －3000(20≤x ≤38)．(注：x 的取值范围可省略不写) (2)把y ＝1500代入，解得x ＝30，则30－20＝10(分)． ∴第一班车到塔林所需时间10分钟． (3)设小聪坐上第n 班车．

30－25＋10(n －1)≥40，解得n ≥4.5， ∴小聪最早坐上第5班车．

等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：1200÷150＝8(分)， 步行所需时间：1200÷(1500÷25)＝20(分)，20－(8＋5)＝7(分)． ∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟． {分值}10

{章节:[1－19－3]一次函数与方程、不等式} {难度:3－中等难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:易错题}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:一次函数与一元一次方程}

图2

图1

{考点:一次函数与一元一次不等式}

{考点:方案比较}

{考点:一次函数与行程问题}

{题目}25．(2019年宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．

(2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．

(3)如图3，在(1)的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

B

图1 图2 图3

(第25题图)

{解析}本题综合考查了直角三角形，等腰三角形，相似三角形的知识．根据邻余四边形的定义判定四边形ABEF是邻余四边形，利用直角三角形的两锐角互余画出图形，利用等腰三角形，相似三角形的判定和性质求出AB长．

{答案}解：(1)∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°，

∴∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形．

(2)如图所示(答案不唯一)

B

四边形ABEF即为所求．

(3)∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD＋DE＝5BE．∵∠EDF＝90°，M是EF中点，

∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，

∴QB

NC

＝

BD

CE

＝

3

5

．

∵QB＝3，∴NC＝5，又∵AN＝CN，

∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．

{分值}12

{章节:[1－27－1－3]相似三角形应用举例}

{难度:4－较高难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{类别:新定义}

{考点:三线合一}

{考点:直角三角形两锐角互余}

{考点:相似三角形的判定(两角相等)}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:新定义}

{考点:几何综合}

{题目}26．(2019年宁波)如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C(圆心O在△ABC内)，分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．

(1)求证：BD＝BE．

(2)当AF︰EF＝3︰2，AC＝6时，求AE的长．

(3)设AF

EF

＝x，tan∠DAE＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

图1 图2

(第26题图)

{解析}本题综合考查了圆，等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质．第(1)小题中利用同弧所对的圆周角相等，等角对等边推出两边相等．第(2)小题中利用等边△ABC的性质求出相关边长，再利用相似三角形对应边成比例求出EG长，然后由勾股定理求出AE．第(3)小题中通过构造直角三角形，有效利用tan∠DAE，找出y与x之间的函数关系；通过设参数a表示相关线段长，由面积关系找出等量关系，既而求出y值．

{答案}解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，

∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，

∴∠DEB＝∠D，∴BD＝BE．

(2)如图，过点A作AG⊥EC于点G，

∵△ABC是等边三角形，AC＝6，

∴BG＝1

2

BC＝

1

2

AC＝3，

∴在Rt△ABG中，AG

＝

∵BF⊥EC，∴BF∥AG，∴AF

EF

＝

BG

EB

，

∵AF︰EF＝3︰2，∴BE＝2

3

BG＝2，∴EG＝BE＋BG＝3＋2＝5，

∴在Rt△AEG中，AE

(3)①如图，过点E作EH⊥AD于点H．

∵∠EBD＝∠ABC＝60°，

∴在Rt△BEH中，EH

BE

＝sin60

∴EH

＝

2

BE，BH＝

1

2

BE，

∵BG

EB

＝

AF

EF

＝x，∴BG＝xBE，

∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，

∴AH＝AB＋BH＝2xBE＋1

2

BE＝(2x＋

1

2

)BE，

∴在Rt△AHE中，tan∠EAD＝EH

AH

＝

2

1

(2)

2

BE

x BE

+

∴y．

（第26题第（2）题解）

②如图，过点O 作OM ⊥EC 于点M ，设BE ＝a ， ∵

BG EB ＝AF

EF

＝x ，∴CG ＝BG ＝xBE ＝ax ， ∴EC ＝CG ＋BG ＋BE ＝a ＋2ax ， ∴EM ＝

12EC ＝1

2

a ＋ax ， ∴BM ＝EM －BE ＝ax －

1

2

a ， ∵BF ∥AG ，∴△EBF ∽△EGA ， ∴

BF AG ＝BE EG ＝a a ax +＝1

1x

+． ∵AG

，∴BF ＝

1

1x

+AG

，

∴△OFB 的面积＝

2BF BM ×＝12

×1x +(ax －1

2

a )，

∴△AEC 的面积＝

2EC AG ×＝1

2

(a ＋2ax )， ∵△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍， ∴

12

(a ＋2ax )＝10×12

×1x +(ax －1

2

a )，

∴ 2x 2－7x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝

3

2

，∴ y

{分值}14

{章节:[1－27－1－3]相似三角形应用举例} {难度:5－高难度} {类别:易错题} {考点:圆周角定理} {考点:等角对等边}

{考点:平行线分线段成比例} {考点:勾股定理} {考点:正弦}

{考点:由平行判定相似} {考点:正切}

{考点:圆与相似的综合}

{考点:一元一次方程的应用(几何图形)} {考点:几何综合}

（第26题第（3）②题解）