流体力学第二章(基本方程) 2011年

于是，上式可以改写为：
pn nx px ny py nz pz
将其在直角坐标系中展开，则有：

pnx
nx pxx
ny pyx
nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy

pnz

nx
pxz
ny
pyz
nz pzz
24

15
（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面 力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相 互作用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现 出来。 （2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消 的。 （3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。
16
定义单位面积上的表面力为：
单位质量流体在 x 方向的运动方程
39
同理可得：
dv dt

Fy

1


pxy x

p yy y

pzy z

单位质量流体在 y 方向的运动方程
dw dt

Fz

1


pxz x

p yz y

pzz z

单位质量流体在 z 方向的运动方程
40
流体运动方程的普遍形式
33
一、流体的运动方程
在运动流体中选取一小六面体体元，
其边长分别为：x,y,z
z
根据牛顿第二定律：
r
x y z dV =质量力+表面力
dt
x
z y
x
y
为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。
34
x 方向质量力分析
x方向的质量力 Fx m Fx x y z
36
37
右左侧面：

pyx

p yx y
y
xz
上下侧面：

pzx

pzx z
z xy

p yxxz
pzxxy
因此，周围流体通过六个侧面作用于小体元沿x方向的
表面力合力为：

pxx x

p yx y

pzx z
xyz
43
定义 / 流体运动学粘性系数，记作 。
对于不可压流体 divV 0
N-S方程简化为：dV

F
其中
p
pr

lim
0
pr
是作用于某个流体面积上


的表面力
17
质量力和表面力的比较
质量力和表面力有着本质的差别。
矢量 F 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函
数，因而构成了一个矢量场。
而矢量 p 为流体的应力矢，它不但是时间和空间点 的。函所数以，要并确且定在应空力间矢每p一点，还必随须着考受虑力点面的元矢的径取向r不同、而该变点化受 力切面地元说的应方力向矢（是或两者个说矢面量元（的r法、向n 单）位和矢一个n标）量以的及函时数间t。t。确
25
应力分量 pij 的物理含义：
¤¤对应力分量的下标作如下规定：第一个下标表示面
积元的外法向（且规定应力为外法向流体对另一部分 流体的作用）；第二个下标表示应力所投影的方向。
例2-2-1 说明应力 pyx 0、 pxx 0表示的物理含义。
26
法应力和切应力
通常应力矢量也可以表示为：
pn

n
不可压流体
n 2A n
31
n

2A
n
2 3

divVI

n
给定流体的粘性系数和流体运动流速场，根据牛顿粘性 假设，就可以计算得到流体的粘性应力。
牛顿粘性流体的概念： 满足牛顿广义粘性假设的流体。
32
第三节 运动方程
•流体的运动方程 （普遍形式） •纳维-斯托克斯（N-S）方程（具体形式） •欧拉方程（理想流体的运动方程） •静力方程 （最简单情形的运动方程）
zx


du dz
其中 为反映流体粘性的粘性系数或内摩擦系数；
而流体与其他物体的粘性系数则称为外摩擦系数。
牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系。
29
广义牛顿粘性假设
牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系， 但它的不足在于仅仅适用与流体直线运动。
牛顿将以上的粘性应力与形变率的关系推广到任意 粘性流体运动，即广义牛顿粘性假设：
h •
r hV
0
t

h
r V
• h

h
r •V

0
t
水
h
欧拉型连续方程
•
r
V
0
t
空 气
11
第二节 作用于流体的力、应力张量
1、作用于流体的力
分析对象：
流体中以界面 包围的体积为 的流体块
流体的作用力
质量力 表面力
12
质量力
13

如果 F 表示单Fr位质lm量im的0 流Fmr体 的质量力，规定其为：

其不中难看F出，是F作可用以在看质做量力为的m分布的密流度体。块上的质量力。
例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度 或者说单位质量的流体的质量力就是重力加速度 g 。
14
表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。 如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
t

r
• V

单位体积的流体质量通量
(1)
•
r V

0

有流体净流出


/

t

0

流体局地密度减小；
r
(2) • V 0 有流体净流入 / t 0 流体局地密度增大；
r
(3) • V 0 流体无净流出或净流入 / t 0 流体局地密度不变。

pnn n
pn
法应力 切应力
pnn

pn
•
n
27
习题
0 a 2a
习题2-2-1已知流体中某点的应力张量为 a
2a
0

2a 0 a
试求作用于通过该点，方程为 x 3 y z 1 的平面上
的法应力。
28
3、应力张量与流体运动状态间的关系
牛顿粘性假设
18
2、应力张量
取如图所示的流体四面体元，分析其受力情况。
质量为 m
r
质量力为 F m
表面力？？？
z
C n
y
M
A
z
n pn
x
By
x
19
说明：应力矢的下标 取其作用面元的外法 向，并且规定为外法 向流体对另一部分流 体的作用应力。
z
C n
y
M
A
z
35
x 方向表面力分析
周围流体对小体元的六个表面有表面力的作用，而通过六个
侧面作用于小体元沿 x 方向的表面力分别为：
x
yz
x ?
p xx
p xx
前后侧面：

pxx

pxx x
x
yz

p xxyz
小体元所受的x方向的表面力 = 前后侧面之和： pxx xyz x
9
3、具有自由表面的流体连续方程
通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。
实际物理现象：
空气
交界面
水 当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之， 当该处有水向四周流散开时，将使得那里的水面降低。
这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中 称之为自由表面。
10
具有自由表面的流体连续方程
pnx

nx pxx
ny
pyx
nz
pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy

pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
引进应力张量：
pxx pxy pxz
P


pyx pyy pyz pzx pzy pzz

rr pn ngP
u xt 2y (1) v xt2 yt

u y2 2xz
(2) v 2yz xy2z
w

1
x2z2

x3
y4
2
6
2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程
z
单位时间内经左侧面流进
控制体的质量 uyz
u
单位时间内经右侧面流出
y
控制体的质量
流体运动方程的普遍形式 广义牛顿粘性假设
纳维-斯托克斯方程
42
dV

F

1

•
P
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流体运动方程的普遍形式
P

2A

(
p

2

divV )I
3
广义牛顿粘性假设
dV

F
1
p
1

graddivV

2V
dt
3

这就是适合牛顿粘性假设的流体运动N-S方程。
z
y
x
d( m) 0
dt
拉格郎日型连续方程
d

r
V

0
dt
4
Lagrange 观点下连续方程的物理意义
d


•V
0
dt
？



r (1) •V 0
r (2) •V 0
r (3) •V 0
5
▪ 不可压缩流体
d 0
dt r V 0
例2-1-1 判断下列流体运动是否为不可压缩？
P

2A

(
p

2

divV )
I
3
1 0 0 I 0 1 0
0 0 1
30
P

2A

(
p

2

divV )I
3
说明：根据广义牛顿粘性假设的应力张量计算得到的应
力包含了流体压力和流体粘性力两部分即：
pn pnn
n

2A
n
2 3

divVI
第二章 基本方程
流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循质量 守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。 本章将介绍描述流体运动的连续方程、运动方程 和能量方程。
1
第二章 基本方程
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
连续方程 作用于流体的力、应力张量 运动方程 能量方程 简单情况下的N-S方程的准确解
2
第一节 连续方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，流体 运动的连续方程，反映流体运动和质量分布 的关系，它是质量守恒定律在流体力学中的 应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
3
1、拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程
Lagrange 观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在 运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质 量是守恒不变的。
38
x 方向合力分析
据牛顿运动定律：小体元受力等于其质量与加速度的乘积：
du dt
xyz

Fx xyz


pxx x

p yx y

pzx z
xyz
方程可以简化为：
du dt

Fx

1


pxx x

p yx y

pzx z

x
uyz (uyz) •x
x
欧拉型连续方程
•
r
V
0
t
7
欧拉(Euler)观点下的流体连续方程
拉格郎日型连续方程
d


•V
0
dt
d



V •
dt t
欧拉型连续方程
•
r
V
0
t
8
欧拉型连续方程的物理意义
z
C
y n
M
x
A
z
n
P x
M P n
y
K
B A
x
考虑面元间的关系：


x y
n n
cosn, cosn,
x y
nx n n y n
z n cosn, z nzn
23
pn n px x py y pz z
质量力（又称为体力）：是指作用于所有流体质点的力。 如重力、万有引力等。
（1）质量力是长程力：它随相互作用的元素之间的距离 的增加而减小，对于一般流体的特征运动距离而言，均能 显示出来。 （2）它是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流 体块所受的质量力与其周围有无其他流体存在并无关系。
通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。
m


Fm

pn
n

px
x

py
y

pz
z
21

dV m
dt


Fm

pn
n

px
x

py
y

pz
z
四面体体积取极限时：
pn n px x py y pz z
上式为作用于流体微元的应力矢之间的相互关系。
22
矢量形式
dV dt

F
1


px x
py y
pz z

或者：
dV

F

1

•
P
dt


•
P


x
y


z


pxx
pyx

pzx
pxy pyy pzy
pxz

pyz
pzz

41
二、纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程
n pn
x
By
x
ddVt按照m牛顿F第二m定律p，n可得n ：px x

p
y

y

pz
z
20

dV m
dt


Fm

pn
n

p
x
x

p
y
y

p
z
z
根据作用力与反作用力原理，方程可以写成如下形式：

dV dt