《探索二次函数图像平移的规律》

《探索二次函数图像平移的规律》

发表时间：2012-01-12T08:44:18.537Z 来源：《教育学文摘》2012年01月总第47供稿作者：赵正杰

[导读] 本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的。

——数学兴趣活动教学设计

◆赵正杰陕西省洋县湑水初中723300

教材分析：本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的，目的是加强学生的动手操作能力，培养学生探索发现、归纳总结的数学素养，开拓学生的知识视野。学生前面已经学过二次函数图像的画法，它对解决本节课的问题有一定的帮助。虽然这些内容没有在教材中安排，但是它将来与高中数学知识相结合对培养学生数形结合数学思想的形成有很好的促进作用。通过让学生经历动手操作、合作交流、观察归纳的过程，总结出二次函数图像平移时解析式的变化规律，体验数学活动的乐趣与成功的快乐，从而促进学生对二次函数图像平移的理解，激发学生学习数学的兴趣。

教学目标：

1.知识与技能目标

（1）经历操作、观察、欣赏、合作交流的过程，逐步认识二次函数图像平移的存在与解析式之间的联系。

（2）经过操作、交流、探索、观察、归纳的过程，总结出二次函数图像平移过程中二次函数解析式的变化规律。

2.过程与方法目标

经历自己操作、探索、观察、归纳、概括等过程，以及同学间的交流与合作，进一步发展同学们的合作意识、空间观念，发现函数

y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律，从而了解数形结合的数学思想对学习数学的重要性。

3.情感与态度目标

（1）通过同学们的亲自操作与实践，感受“生活中处处有数学”，让学生乐学数学，激发他们学习数学的兴趣。

（2）通过同学们的操作实践、观察发现、概括归纳，体验数学的内在美，感受成功的快乐，培养学生的创新能力。

教学重点与难点：

重点：掌握函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。

难点：观察发现、概括归纳函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。

教学方法：采用引导发现法、实验探究法的教学方法，本着启发性、直观性的教学原则，体现以教师为主导、学生为主体的教学思想来完成教学目标。

学习方法：实验探究法、观察分析法、合作交流法、归纳总结法。

教学准备：

1.课前准备好一张八开的白纸，并在上面画好单位长度为一厘米的直角坐标系（也可直接用相同单位长度的坐标纸）。

2.一段平直的细铁丝（不能太硬）。

教学过程：

一、创设情境，引入课题

首先，请同学们六人一组，共分成八组，每组围成一圈进行活动。

提醒大家：前面我们在画二次函数图像时先把二次函数的解析式由一般式y=ax2+bx+c化为配方式y=a(x+h)2+k，这样从对称轴两边依次取值，不但方便好算，而且描点画出的图像在对称轴两边也是一样高的，比较美观。

师：请同学们拿出准备好的坐标纸、铅笔、尺子、练习本等（约二分钟）。

二、动手操作，课堂探究

1.先记录下这些二次函数的解析式：y=x2+1，y=(x+1)2+1，y=(x+2)2+1，y=(x+3)2+1，y=(x-1)2+1， y=(x-2)2+1,y=(x-3)2+1。

2.观察讨论这些函数解析式都有哪些特征？（约二分钟）

生：（1）二次项系数a的值都是1。

（2）它们都是配方式。

（3）配方后配方式中的k值都是1没变，只是h值发生了变化。

老师对同学们的回答表示肯定，也可能回答不全面，也可能有其他回答，老师加以引导。

师：请同学们在练习本上依次对以上7个二次函数进行列表。可两名同学分工合作，一名同学完成前4个，另一名同学完成后3个。（要求在对称轴两边各至少取三个值，约八分钟。）

师：请同学们按照前面的列表，依次在准备好的坐标纸上描点、连线，并一个一个地画出七个二次函数的图像（两名同学按照前面的分工一起合作完成），再在函数的图像边上标明它的解析式（提醒学生画完一个图像再画第二个，以免发生混淆，约八分钟）。

学生完成后，请同学们拿出细铁丝，在其中一个函数的图像上慢慢地弯成抛物线状，然后又移动到其它函数的图像上比一比，再与同组同学的交流一下，共同议一议。

师：（1）你发现了什么？

（2）想一想，上面的7个二次函数的解析式恢复成一般式后， a、h、k中只有谁没有发生变化？你能用自己的语言把探索出的结论说一下吗？（讨论后再回答）

生：我们所画的函数图像都是相同的。

生：当解析式变成一般式后，只有二次项系数a=1没有变。所以能够确定，当二次项系数a=1时抛物线的形状是相同的，与h、k的值无关。

师：同学们的发现很正确。那么a都是2或a都是3……抛物线的形状又将如何呢（请同学们课后探索。）

师：请同学们再把铁丝弯成的抛物线放到函数y=x2+1的图像上，先把抛物线水平向左平移一个单位，观察一下，得到了谁的图像？再

向左平移一个单位又得到了谁的图像？你观察到两次平移过程中解析式中的谁发生了变化？怎样变化的？反方向平移呢？相互交流。

生：（1）平移时第一次得到了y=(x+1)2+1的图像，第二次得到了y=(x+2）2+1的图像。

（2）解析式中只有h发生了变化，k没有变化。

（3）每向左平移一个单位h就增加了1，反之就减少1。

（4）我发现水平移动抛物线时，解析式的变化只与h有关，左移就加，右移就减。

（5）要想知道水平移动后抛物线的解析式得先把一般式化为配方式。

师：同学们发现的规律很棒（若不全面老师加以引导）。请同学们把刚才发现的抛物线水平移动时h的变化规律（左加右减相同个单位）记录在笔记本上。

师：请同学们再在练习本上对函数y=(x-1)2+2、y=(x-1)2+3、y=(x-1)2-1、y=(x-1)2-2进行列表（两名同学合作，每人完成两个，约四分钟，老师巡察）。

学生在已用过的坐标纸上，两人合作按以前的方法分别画出四个二次函数的图像（约六分钟）。

师：请同学们拿出抛物线状的铁丝放到函数y=(x-1)2+1的图像上，先向上移动一个单位，再向上移动一个单位。

问题：（1）你发现了什么？

（2）向上或向下移动时解析式y=(x-1)2+1中，什么发生了变化？什么没有发生变化？你想到了什么？

（3）你能用自己的话把上面的规律总结一下吗？（交流后回答。）生：（1）上、下平移时抛物线的形状是相同的。

（2）上、下平移抛物线时，解析式中y=(x-1)2部分没有变化，只是后面的1发生了变化。

（3）每向上平移一个单位，后边的1就增加1，相反就减少1。

（4）这个结论只有在配方式中才能看到。

（5）上、下平移时，先把解析式化为配方式y=a(x+h)2+k，h不变，只对k进行上加下减相同个单位就可以了。

老师对学生的回答充分肯定并不断鼓励，也可能回答的不全面，老师进行引导就行了。

师：根据刚才的探索，你对抛物线平移时解析式的变化规律有何认识？一般步骤是什么？

三、交流探讨，归纳总结

1.先把一般式y=ax2+bx+c化成配方式y=a(x+h)2+k的形式。

2.配方式中，水平移动几个单位就对h左加右减几；上下移动n个单位时，只对k上加下减几就可以了。

3.再把变化后的配方式化成一般式。

四、实践练习

1.函数y=-2x2、y=-2(x+3)2-1、y=-2x2+7x+1的图像形状相同吗？

2.把函数y=-2x2+4x-1的图像先向上平移3个单位，再向右平移3个单位，则函数的解析式应是什么？

五、布置作业

1.这次活动你学到了什么？

2.继续按前面的探索思路，探讨二次项系数不为1时，这个规律是否成立。

课后反思：

我认为这节课的成功之处是： 1.教学环节设置比较合理，知识间的衔接过渡比较自然。2.强调了学生动手操作与合作交流，课堂气氛活跃，突出了教师的主导作用与学生的主体作用，让学生亲身经历了操作、实践、探究、观察归纳的过程。3.建立了民主、平等、和谐的师生关系。4.作为兴趣活动，调动学生学习数学的积极性。

不足之处：

1.如果设计上再用多媒体进行演示，效果会更好。

2.学生的练习偏少一些。