1.1.2集合间的基本关系
1.1.2集合间的基本关系课件(人教版)
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
示例1：视察下面三个集合, 找出它们之 间的关系:
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中
练习1：视察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
A＝B
3.真子集
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
x∈A，称A是B的真子集.
记作AB，或BA.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？
A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
课堂小结
子集：AB任意x∈Ax∈B.
真子集：AB x∈A，x∈B，但存在
x0∈A且x0A. 集合相等：A＝BAB且BA. 空集：.
性质：②①AAA.，若③AA非B空，，B则CAA. C.
1.子 集
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.1.2集合间的基本关系
(2)对于集合A,B,C，若 A B 且 B C , 则 A C
2. 集合的相等
若A B且B A,
则A=B;反之,亦然.
3．空集
若 已 知 A B， 勿 忘 考 虑 A 时 的 情 况
3、能初步利用集合间的关系求参数范围
新课引入
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
② A为高一（2）班全体女生组成的集合 ，
B为这个班全体学生组成的 集合；
③ A={x| x是等边三角形} ． B={x | x是两边相等的三角形},
子集的概念
完成课本第7页：第2题和第3题
典例分析
例1 写出集合{a,b}的所有子集.
练习1:写出集合{a,b,c}的所有子集. 练习2:写出集合{a,b,c,d}的所有子集. 思考: 根据上面练习，能否得到{a,b,c,d,e}的子集的个 数，它与元素的个数有何联系？
重要结论
含n个元素的集合的所有子集的个数是2n 所有真子集的个数是2n-1（舍去本身）
复习回顾
1.集合、元素 2.集合的分类：有限集、无限集 3.集合元素的特性：确定性、互异性，无序性 3.集合的表示方法：列举法、描述法 4.常用数集: N , N * ( N ), Z , Q , R
1.1.2集合间的基本关系
学习目标 1、理解子集、真子集和空集的含义；
2、能够区别元素与集合、集合与集合关系;
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} (√ )
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ③A={0}, B={x|x2+2=0} ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}
1.1.2集合间的基本关系
任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集 合有包含关系。称集合A为集合B的子集（subset）。 记作合是它本身的子集，即Ａ Ａ
结论２ 若集合中的元素有n个，其子集个数 为2n，真子集个数为2n-1，非空真子 集个数为2n-2。
试一试
判断下列2个集合之间的关系
(1) A={1,2,4} B={X|X是8的约数}
(2) A={X|X=3k,k∊Z} B={X|X=6k,k∊Z} (3) A={X|X是4与10的公倍数,X∊N+} B={X|X=20m,m∊N+}
读作：“A含于B”（或B 包含A） 数学语言表示形式：
若对任意x∊A，有x ∊B，则 A⊆B。
A⊆B的图形语言
你能用图形形象地表示A⊆B？
用平面上封闭 的曲线的内部 代表集合，这 图叫Venn图
B
A
韦恩图
判断集合A是否为集合B的子集，若是则在 （ ）打√，若不是则在（ ）打×: ①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ③A={0}, B={x x2+2=0} ( ) )
把不含有任何元素的集合叫做空集(empty set)
记作∅。
规定：空集是任何集合的子集．
即对任何集合A, 都有： A
思考
{0} 与∅有什么区别？
写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些 是它的真子集。
1.1.2集合间的基本关系
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
1.1.2集合间的基本关系
课堂练习
设集合A={x|1≤x≤3} B={x|xA={x|1≤x≤3}， 1 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 的真子集，求实数a的取值范围。 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。 A={1，2}，B={x|x⊆A}， 2 设A={1，2}，B={x|x⊆A}，问A与B有什 么关系？并用列举法写出B 么关系？并用列举法写出B？
3.已知A = { x | −2 ≤ x ≤ 5}, B = { x | a + 1 ≤ x ≤ 2a − 1}, B ⊆ A, 求实数a的取值范围.
∵ 解： ∅ ⊆ A， 当B = ∅，有a + 1 > 2a − 1, 即a < 2 ∴ 2 a − 1 ≥ a + 1 当B ≠ ∅时，有a + 1 ≥ -2 2 a − 1 ≤ 5 ∴2 ≤ a ≤ 3 综上所述，a的取值范围a ≤ 3.
例3、写出集合｛a, b｝的所有子集，并指出哪些是它 的真子集.
5.反馈演练 5.反馈演练
1、下列命题： 空集没有子集； 任何集合至少有两个 (1) (2) 子休； 空集是任何集合的真子集； 若∅ ⊂ A，则A ≠ (3) (4) ∅.其中正确的有( A.0个 ) D.3个 B.1个 C.2个
y-3 2.设x, y ∈ R，A = {(x, y) | y - 3 = x - 2}, B = {(x, y) | = 1}, x-2 则A，B的关系是______.
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; ⑵设A为新华中学高一 班女生的全体组成的集合 为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合 为新华中学高一 班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组成的集合 为这个班学生的全体组成的集合; 为这个班学生的全体组成的集合 是两条边相等的三角形}， ⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形 ，D={x|x是 ＝ 是两条边相等的三角形 是 等腰三角形}. 等腰三角形
1.1.2 集合的基本关系
由集合间关系求参
例5
已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B⫋A,
求m的值.
正解:A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵B⫋A,
∴可以分以下情形讨论:当B=⌀时,有m=0,符合题意.
由集合间关系求参
例5
已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B⫋A,
系数的关系,得b=-3,c=2.
答案:A
3.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的
是(
)
①S∈U;②F⊆T;③S⊆T;
④S⊆F;⑤S∈F;⑥F⊆U.
A.①③ B.②⑤C.③④D.③⑥
解析:元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错误;子集的区域要
被全部涵盖,故②④错误,③⑥正确.
答案:D
微思考
子集
(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
(2)符合“∈”与“⊆”有什么区别？
(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就
没有包含关系．
微思考
子集
(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
(2)符合“∈”与“⊆”有什么区别？
(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
例1
子集个数
集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为
(
)
A.4
B.7
C.8
D.16
解析:由题意,可得A={0,1,2},
其真子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.
1.1.2集合间的基本关系
1.1.2集合的基本关系一、教材1、教材的地位和作用本节主要学习内容是集合之间包含与相等的含义，子集、真子集的定义，以及识别给定集合的子集。
本节课是在学生学习了集合的含义与表示的基础上来进行的，为以后集合的基本运算做知识准备。
因此本节课在知识结构上起了承上启下的作用。
2、教学目标根据《课程标准》的要求以及结合学生的心理特点，我确定了以下目标：（1）知识与技能：理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集、空集的定义，能够识别给定集合的子集。
同时培养学生类比、分析、归纳的能力，能使用Venn图表达集合的关系。
（2）过程与方法: 通过类比元素与集合的从属关系，实数相等与不相等的关系，探究集合之间的包含与相等关系；初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识探索和发现的过程中，激发学生学习数学的兴趣。
3、教学重点、难点及确定依据根据《课程标准》的规定、上述教材的分析和学生已有知识的储备，本课的重点、难点如下：重点：集合之间包含与相等的含义，子集、真子集的概念，以及识别给定集合的子集.难点：识别给定集合的子集,子集和真子集之间的区别和联系。
二、学情学习的对象是高一学生，他们已具备一定的数学基础，对集合已经有了初步的认识，逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展。
高中生好奇心强，渴望明白原理、知道方法，同时他们也希望得到平等的交流研讨，厌烦空洞的说教。
三、教法学法1、教法根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
1.1.2 集合的基本关系
A B
1.1.2 集合的基本关系
练习1. 已知非空集合 A {x | a x 5} , B {x | x 2} 且满足 A B，求a的值。 B A
01234567
A B
2≤a＜5
1.1.2 集合的基本关系
练习2. 设集合
A {四边形}、B {平行四边形}、C {矩形}、D {正方形}
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例1. 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 子集：{a}，{b}，{a，b}，∅ 真子集：{a}，{b}，∅
集合A的子集中，除了本身A以外的子集都是真子集. 集合A有n个元素，其子集的个数2n，真子集的个数2n-1.
1.1.2 集合的基本关系
例2. 集合 A={x|x-3>2}，B={x|x≥ 5}，并表示A、B的关系； 经简化：集合 A={x|x>5}，B={x|x≥ 5} B A
试用Venn图表示它们之间的关系。 A
B DC
1.1.2 集合的基本关系
小结
包含: A B 相等: A B
子集： A B 真子集： A Ø B
空集：
必修1 选修1-1 选修4-4
必修2 选修1-2 选修4-5
必修3 选修2-1 数学全集
必修4 选修2-2
必修5 选修2-3
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记作： A B(或B A) 读作：A包含于B，或 B包含A
B
A
Venn图
1.1.2 集合的基本关系
“相等”关系 如果集合A包含于集合B（A B），且集合B包含于集合A （A B），我们说这两个集合相等. 记作： A B
1.1.2_集合间的基本关系_课件(人教A版必修1)
③从集合之间的关系看，Ø⊆{Ø}，Ø {Ø}． (2)分别写出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集， 通过子集个数你能得出一个规律吗？
提示：集合{a}的所有子集是Ø，{a}，共有2个子集； 集合{a，b}的所有子集是Ø，{a}，{b}，{a，b}，共 有4个，即22个子集； 集合{a，b，c}的所有子集可以分成四类：即Ø；含 一个元素的子集：{a}，{b}，{c}；含两个元素的子集{a， b}，{a，c}，{b，c}；含三个元素的子集{a，b，c}．共有 8个，即23个子集． 规律：集合{a1，a2，a3，…，an}的子集有2n个；真 子集有(2n－1)个；非空真子集有(2n－2)个．
图6 当a<1时，B＝Ф，此时B⊆A成立． 综述，当a≤2时，B⊆A.
• 类型三 集合相等及应用 • [例4] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}， 若A＝B，求c的值．
[解]
a＋b＝ac ①若 2 a＋2b＝ac
，消去b得a＋ac2－2ac
＝0，即a(c2－2c＋1)＝0， 当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集 合中元素的互异性， 故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1. 当c＝1时，集合B中的三个元素也相同， ∴c＝1舍去，即此时无解．
[例3]
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
－2≤m＋1 2m－1≤5
[错解] 欲使B⊆A，只需
⇒－
3≤m≤3. ∴m的取值范围是－3≤m≤3.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合 的子集，因此需要对B＝Ø与B≠Ø两种情况分别确 定m的取值范围．
3．对于A B可以分为两类去讨论： (1)A＝Ø，(2)A≠Ø，特别注意不要遗漏A＝Ø的 情况。在解决子集的有关问题时，常常需要数形结 合，借助于数轴，通过图示找到相应的关系式，从而 使问题获得解决．
1.1.2集合的基本关系
3x R4 02, x }x; 6. { ( 03, 0 ) }4. 0 } ; 7. {
基础训练
课本 P7 练习第 2 题和第 3 题
（1）
（ 2）
（5）
（ 6）
3.（ 1）
（ 2）
课堂小结
（ 3） （ 3）
（ 4）
课后作业
一、选择题
1．下列各式中，正确的个数是（
）
① ={0} ②
{0} ③ ∈ {0} ④ 0={0}
.
3.如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，我们称集合 A 是集合 B 的
，
记作
（或
）.
4.不含任何元素的集合叫做
，记作
.
5.
是任何集合的子集，
是任何非空集合的真子集 .
知识点一
写出给定集合的子集
例题 1（ 1）写出集合 {0,1,2} 的所有子集，并指出哪些是它的真子集
（2）填写下表，并回答问题
⑤ 0∈ {0}
2} {1 ， 2， 3} ⑧ {a ， b} {a ， b}
A.1
B.2
C.3
⑥ {1} ∈ {1 ， 2， 3} D.4
⑦ {1 ，
2．设集合 A={x|x ≤ 13 } ， a=2 3 ，那么下列关系正确的是（
）
A.a A
B.a∈ A
C.a A
D.{a} ∈ A
3．已知集合 M {2 ， 3， 5} ，且 M 中至少有一个奇数，则这样的集合 M 共有（
1.1 集合 1.1.2 集合间的基本关系
学习目标： 1.了解集合之间的包含、相等关系的含义；
2.理解子集和真子集的概念； 3.能利用 Venn 图表达集合之间的关系； 4.了解空集的含义 .
1.1.2集合间的基本关系
1.1.2 习题课
A是B的子集 （ A B） A=B A是B的真子集（ A B ）
课本P7 练习 3、 P12 5
类型3. 由集合的关系求参数
例3.若A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1}， 且BA,求实数m的取值范围.
{m | m 1}
变式训练： 注意空集的特殊性
Venn图： 用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合
记作：AB (或BA) 读作：“A含于B”或“B包含A”
集 合 语 言
若对任意x∊A， 都有x ∊B,则 A⊆B 举例： N__Z,N__Q,R__Z,R__Q
图 形 语 言
A
B
图 形 语 言
(1)
Venn图 用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合
x 1 0 不等式组 的解集 x 1 0
结论3. 空集是任何非空集合的真子集.
课本P7 思考
注意：“包含关系”发生在两集合之间 “属于关系”发生在元素与集合之间 ⊆与∈的区别: 含于, 属于
a与{a}的区别: a表示一个元素,
{a}表示只含有一个元素a的一个集合.
课本P7 练习 2、3、
结论2.任何一个集合是它本身的子集
即A⊆A 类比: 实数 a≤ a
练习判断集合A是否为集合B的子集.
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( √ ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )
③A={0}, B={x|x2+1=0}
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}
课本P12 5
例3.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪 些是它的真子集．P7 练习 1
数学：1.1.2《集合间的基本关系》课件(北师大版必修1)
1.子集
定义： 任意 x A, 都有 x B
记作 A B (或B A) 读作 “A含于B”(或“B包含A” )
韦恩图
B
A
数轴
子集的有关性质
（ 1 ）任何一个集合是它本 身的子集，即 A A （2）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 AC （子集的传递性） .
9 9 例2：A x N | N , B N | x N 9 x 9 x
； / 微信刷票
心情舒畅的他，立即又变得极为不满起来。好你个年氏，居然敢私下偷偷打探爷的喜好！哼，只怕你是机关算尽壹场空！别说你是这么 壹个惹爷厌烦的人，就算是最受爷宠爱的淑清，她能有几个胆子敢私自打探爷的喜好！小小年纪就这般诡计多端！幸亏今日这个宫宴， 让爷见识到了你的手段，否则指不定哪壹天，后院都火上房了，爷还不知道是被哪个诸人害惨的呢！冰凝主仆三人在爷刚壹进屋的时候 都极为规矩地行了请安礼，可是行礼之后过去很长壹段时间了，怎么还是听不到爷叫起的声音？爷没有叫起，三个人谁也不敢轻举妄动。 而此时他的脑海中正信马由缰、海阔天空地任意驰骋，哪里还想得起来这里有三个人等着他的发话呢。这三个人的半蹲礼都行了有壹柱 香的功夫，他的思绪才算是重又飘回到这个房间，于是径直朝屋里走去，直接坐到了椅子上。吟雪偷眼望去，只见爷已经自己落了座， 心中更是拿不定主意：这是应该自行起身先去奉茶，还是继续蹲在这里等待爷的吩咐呢？正犹豫不决之间，忽然听到爷发话叫起。三个 人早就蹲得脚都有些发麻了，因此这壹声叫起，就像是特赦令壹样，吟雪迅速闪身去奉茶，月影则赶快扶丫鬟起身。第壹卷 第144章 预言当吟雪再次走进屋来，将茶盏轻轻地放到他面前的桌上，然后与另外两个人壹起垂首立在壹侧之后，他才抬起眼来，望了望眼前的 这主仆三人，壹派温顺恭良之态。因此他也没有再说壹句话，而是就着桌前的烛光，自顾自地看起书来。屋子里静悄悄地，除了他翻书 的声音，壹丁点儿声响也没有。那主仆三人壹见这个情形，心中自知大事不好，只是她们谁也猜想不出来，爷会从哪里下手。特别是吟 雪和月影，前些日子刚刚被罚了跪佛堂，切肤之痛、心有余悸，因此她们更是焦急万分：这壹次仍是她们两个奴才替丫鬟受过？还是真 如丫鬟刚刚所说的那样，就是轮，也要轮她这个主子的头上了？如果真是丫鬟的话，那么瘦弱的身子，哪儿遭得了这么大的罪呢？他哪 里是在看书，他这是在暗地里仔细地盘算着怎么惩治冰凝呢！今天这个黄毛丫头可是把他惹翻了，他早已经没有耐心再假借福晋之手， 他已经被气得怒不可遏，必须亲自出面才能壹解心中的愤怒。可是玉盈姑娘！那个“紧箍咒”又是壹个多么现实的问题！刚刚吟雪和月 影接到秦公公传的口信，说爷过壹会儿要来怡然居，两个人激动得几乎异口同声地对秦顺儿千恩万谢！这可是自新婚之后，王爷第壹次 踏进怡然居的院子。小心恭送走了秦公公，两人立即转身冲进屋里，兴奋地对冰凝说道：“丫鬟，丫鬟 ，太好了，太好了，爷马上要 过来了。”“爷要过来？爷壹过来，咱们怡然居可就是要大祸临头了！你们俩个赶快收拾收拾，千万不要被爷
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
1.1.2集合间的关系
(3)方法一:对于集合M,其组成元素是 n ,分子部分表示
2
所有的整数;
1 2n 1 而对于集合N,其组成元素是 n＝ 分子部分表示 ， 2 2
所有的奇数. 由真子集的概念知,N M.
方法二:用列举法表示集合如下:
3 1 1 3 5 M＝， ， 1， ， 0， ， 1， ，， 2 ， ， 2 2 2 2 2 3 1 1 3 5 N＝， ， ，，，， ， 2 2 2 2 2
类型三
由集合间的包含关系求参数
【典例】已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1), 且B⊆A,则实数m的取值范围是________ .
【解题探究】本例中应如何分析连续数集之间的包含 关系? 提示:对于两个连续数集可用数轴分析法通过画数轴来 分析它们之间的包含关系.
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4, 又m>1,所以1<m≤4.
C.7个
【解析】选D.因为A={-1,0,1}共3个元素,故集合A共 有23=8个子集.
2.(2016·钦州高一检测)集合S={a,b},含有元素a的S 的子集共有 A.1个 ( ) C.3个 D.4个
B.2个
【解析】选B.集合S={a,b}的子集共有∅,{a},{b}, {a,b}4个,含有元素a的有2个.
【补偿训练】已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有 4个子集,则实数m=________. 【解题指南】根据题意,由集合的子集与其元素数目的 关系,可得M中有2个元素,结合题意,由M中元素的特点, 可得m的值,即可得答案.
【解析】根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素, 又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等 于m的全部整数,则m=2. 答案:2
1.1.2集合间的基本关系
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
1如有帮助欢迎下载支持【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能求给定集合的子集，能判断集合间的关系.2了解空集的含义，能使用Venn 图表示集合间的关系，培养学生体会从具体到抽象的思维过程，体会数形结合的思想.【学习重点】理解集合间包含（子集、真子集）、相等的含义.【学习难点】理解空集的含义.【使用说明及学法指导】带着教材助读设置的问题，阅读并探究课本76-P P 的内容（15min ），完成学案自主学习部分（15min ）.将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处.自主学习一、教材助读（问题形式）问题1：两个集合之间具有哪些关系？用符号如何表示？问题2：如何判断两个集合之间的关系？ 问题3：什么样的集合称为空集？问题4：如何求给定集合的子集、真子集、非空真子集的个数？写出集合{}c b a ,,的子集、真子集、非空真子集？二、自学检测1．有下列命题：① {}{}B A c a B d c b a A ⊆==则若,,,,,,; ②;φφ⊆③φ;φ④若φA ，则A φ≠；其中正确的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．设集合A=}{,20|N x x x ∈≤≤且则集合A中的元素有 ，其子集的个数是 ，真子集的个数是 ，非空真子集个数是 .3．判断如下集合A 与B 之间有怎样的关系？ ⑴A={N x x x ∈<≤,41|}，B={}023-|2=+x x x . ⑵A=},2|{Z m m x x ∈=，}.4|{Z n n x x B ∈==.合作探究基础知识梳理（以填空形式呈现）1.集合间的基本关系 名 称自然语言描述符号语言表示Venn 图表示子 集如果集合A 中 都是集合B 中的元素，则称集合A 为 集合B 的子集B A ⊆或真 子 集 如果集合B A ⊆，但存 在元素a B ，但 a B ，则称集合A为集合B 的真子集集 合 相 等集合A 与集合B 中 ，则称集合 A 与集合B 相等 A=B2.空集： ，记为 ，并规定空集是任何集合的 .3.任何一个集是它本身的 ，即 .我的疑问：24.对于集合A ，B,C,如果B A ⊆，且C B ⊆，那么.5.集合A 中有n 个元素，则它的子集个数为 ， 真子集个数为 ，非空真子集个数为 .探究一下列表示或说法正确的是 ①{1,2}⊆{1,2}；②{0}∈{{0}，{1}}；③满足A ⊆{a,b}的集合A 有4个;④集合{x |}2x y ==}|{2x y y =.规律方法总结：探究二已知集A=}5|{<x x ,B=}|{a x x <，若,A B ⊆求a 的取值范围.规律方法总结： 探究三含有三个实数的集合可表示为}1,,{aba ，也可表示为}0,,{2b a a +，求+++32a a a …+20112010a a +的值.规律方法总结： 当堂检测：（见多媒体课件） 反馈练习1.下列表述正确的是（ ）A ．}0{=φB ．}0{⊆φC ．}0{⊇φD ．}0{∈φ2.满足}2,1{}4,3,2,1{⊆A 的集合A 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.已知集合A=}12,3,1{--m ，集合B=},3{2m ，若A B ⊆，则实数m=4.已知集合A=}4,2,0{，集合B={,|ab x x =且},,b a A b A a ≠∈∈，则集合B 的子集个数是（ ）A ．4B ．8C ．2D ．165.已知集合P=}06|{2=-+=x x x ，集合Q=}01|{=+ax x ,且P Q ⊆，求实数a 的取值构成的集合A.课堂小结：。
1.1.2集合间的基本关系课件人教新课标
解：∵A = {0，- 4}，B A，于是可分类处理. (1)当A = B时，B = {0，- 4}. 由此知：0，- 4是方程x2 + 2(a + 1)x + a2 - 1 = 0的两根， 所以将0，- 4代入方程得：
a2 - 8a + 7 = 0 a2 - 1 = 0 解得 a = 1
(2)当B A时，又可分为： (a) B≠时，即B = {0}，或B = {-4}， Δ = 4(a + 1)2 - 4(a2 - 1) = 0, 解得a = -1 B = {0}满足条件；
(b)B = 时，Δ = 4(a + 1)2 - 4(a2 - 1) < 0, 解得a < -1 综合(1)、(2)知，所求实数a的值a -1, 或a = 1.
例 写出集合｛a, b｝的所有子集，并指出哪些是它的
真子集.
解：集合{a,b}的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}.
真子集为 ,{a},{b}.
思考5
如果一个集合中有三个元素，则其子集有多少个？ 真子集有多少个？
例如：集合{a,b,c}，则其子集为
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, 共8=个23。
1.1.2 集合间的 基本关系
AB
回顾旧知
1.集合元素的特征有哪些? 确定性、互异性、无序性
2.元素与集合之间的关系是什么?如何表示? 或
3.集合的表示法有哪些? 列举法、描述法、文氏图法、 大写字母法
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【议一议★深化概念】
1.包含关系{a} A与属于关系a A有什么区别？
2.集合A B与集合A B有什么区别？
3. 0, {0},与四者之间有什么关系？
4.试讨论类比法在本节课是如何应用的？
【听一听★更上一层】
例1.写出集合a, b的所有子集，并指出哪
些是它的真子集.
解 : 集合{a, b}的所有子集为：
，{a}, {b}, {a, b} 真子集为：，{a}, {b}
【听一听★更上一层】
变式 写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
解 : 没有元素的子集：; 有1个元素的子集 : {a}, {b}, {c}; 有2个元素的子集 : {a,b}, {a,c},{b,c}; 有3个元素的子集 : {a, b, c}.
1.1.2 集合间的基本关系
山东省单县第一中学
【三维目标】
一、知识与技能 1. 了解集合间包含关系的意义； 2. 理解子集、真子集的概念和意义； 3. 理解空集的定义； 4. 会判断简单集合的包含关系. 二、过程与方法 1.类比实数间的关系,联想集合间的关系； 2.分别能用自然语言、符号语言、图形语言描述子集的概念. 三、情感、态度与价值观 1.培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式; 2.个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系; 3.发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辨证的观点.
集合{a, b, c}的所有子集为： ，{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}，{a, b, c}.
集合{a, b, c}的所有真子集为： ，{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}.
【听一听★更上一层】
例2.集合M { x | x k 1 , k Z}, N { x | x k 1 , k Z }.
当k Z时，2k 1为奇数，k 2为整数，因为奇数都
是整数，且整数不都是奇数.
M N，故选C.
【练一练★巩固提高】
1、2题见课本第7页练习第2、3题
3. x、y是实数，集合M { x, y ,1}, N { x2 , x y, 0}, x
若M N，则x2008 y2008 ( A ).
A.1
B. 1
C .0
D. 1
设A {a, b}, B { x | x A}.请问A与B之间的
关系是什么？
AB
【总一总★成竹在胸】
一.本节课的知识网络：
相等
子集 AB
空集
AB
真子集 A B
（）
二.本节课主要的思想方法：
性质
性质
类比法 分类讨论思想
【号一号★课下习之】
作业：P12 A 5；B 2.
A B (或B A )
读作：“A含于B”(或“B包含A”)
符号语言： 任意x A，有x B,则 A B
【说一说★本节新知】
Venn图表示集合的包含关系
在数学中，我们经常用平面上封闭的曲 线的内部表示集合，这种图称为Venn图.
A B
BA
【说一说★本节新知】
2.集合相等
如果集合A是集合B的子集(即A B)，且集合B 是集合 A的子集(即B A),此时集合A与集合B中的 元素是一样的，我们称集合A与集合B相等.
记作：A B.
符号语言：若A B, B A，则A B
【说一说★本节新知】
3.真子集
如果集合A B, 但存在元素x B,且x A, 我们称集合A是集合B的真子集.
记作：A B ( 或B A ).
读作：“A真含于B”（或“B真包含 A”)
【说一说★本节新知】
4.空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为. 规定：空集是任何集合的子集，即 A.
【引一引★温故知新】
集合与集合 之间呢？
实数有相等关系 如：5=5
实数有大小关系
如：5<7,5>3
【集的性质
【说一说★本节新知】
1.子集
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集 合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：
空集是任何非空集合的真子集. 即： B. (B )
【说一说★本节新知】
5.子集的有关性质
(1).任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2).对于集合A、B、C，如果A B且B C那么A C. (3).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (4).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (5).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (6).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C.
M N ，故选C.
【听一听★更上一层】
例2.集合M {x | x k 1 , k Z}, N {x | x k 1 , k Z}.
24
42
则（ ）.
A.M N B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
分析：M { x | x 2k 1 , k Z }, 4
N { x | x k 2 , k Z}. 4
24
42
则（ ）.
A.M N B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
分析：令k ,1, 0, 1, 2, 3, 得：
M { , 1 , 1 , 3 , 5 , 7 , } 4 44 4 4
令k 3， 2,1, 0, 1, 2, 3, 4，5 得：
N { , 1 , 0, 1 , 1 , 3 , 1, 5 , 3 , 7 , } 4 42 4 424