导数的计算习题课

知新益能
1．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝ c f(x)＝xn(n∈Q*) 导函数 f′(x)＝___ 0 f′(x)＝______ nxn－1
f(x)＝sinx
f(x)＝cosx f(x)＝ax(a＞0)
cosx f′(x)＝_____
f′(x)＝_______ －sinx
a lna(a＞0) f′(x)＝___________
⑵ y cos(2 x
n

解: y 2sin(2 x
) 3
3
)
n (1 x ) (1 x ) (1 x ) (1 x ) (ln x ) x (ln x ) ( x ) 解: y 解: y (1 x)2 2 x n 1 n nx (1 x ) (1 x ) 1 ln x 2 2 (1 x ) x 1 nx n1 (n 1) x n (1 x )2 n
导数计算习题课
课前自主学案
夯实基础
求函数导数的一般步骤
f(x＋Δx)－f(x) ； (1)求函数的增量 Δy＝_______________ fx＋Δx－fx Δy Δx (2)求平均变化率 ＝_____________ ； Δx Δy lim (3)取极限，得导数 f′(x)＝___________. Δx→0 Δx
3.复合函数求导法则
复合函数y f ( g ( x))的导数和函数 y f (u ),u g ( x)的导数间的关系为 yx ' yu 'ux '
课堂互动讲练
考点突破 求函数的导数
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构 特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求 导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算， 在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少 运算量 , 对于复合函数应先弄清楚它是由哪些简单 函数复合而成，然后遵循复合函数求导法则求导。
a＝3， 解得b＝－11， c＝9.
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
小结
• 会利用导数公式和导数运算法则求导数 • 会求简单的复合函数的导数 • 会利用导数解决简单的曲线的额切线问题
作业 1.求下列函数的导数 ⑴ y x sin x
解: y 1 cos x
3 2
6
y '
1 x
2
1
Байду номын сангаас
x
2
1'
2 x 2 x 1
7 y ' e
0.5e
0.5 x 1
0.5x 1 '
0.5 x 1
8 y ' 2 x ' s in 2 x 5 2 x s in 2 x 5 ' 2 s in 2 x 5 2 x c o s 2 x 5 2 x 5 ' 2 s in 2 x 5 4 x c o s 2 x 5
x
原函数 f (x )＝ ex f (x )＝ logax (a＞ 0 且 a≠ 1) f (x )＝ln x
导函数 ex f ′ (x )＝____
1 f ′(x )＝ _______( xlna a＞0 且 a≠1)
f ′(x )＝
1 x
2.导数的运算法则
f′ (x)± g′ (x) ； (1)[f(x)± g(x)]′＝_______________
ln x ⑶y x
1 x ⑷y (n N * ) 1 x
作业 2. ⑴ 垂 直 于 直 线 2x 6 y 1 0 且 与 曲 线
3x y 2 0 y x 3 x 1 相切的直线方程为 ______.
3 2
⑵ 在曲线 y x 3 x 6 x 10 的切线 中斜率最小 3 x y 11 0 的切线方程是_________________.
独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c
的值．
【解】 因为 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)， 所以 a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b， 曲线在点(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， 由4a＋b＝1， 4a＋2b＋c＝－1，
已知导数值求参数值
由函数f(x)的导数值确定其参数值，要正确求解f(x)
的导数，利用其他条件列出等式关系，再求解．
x e 例2 若函数 f(x)＝ 在 x＝c 处的导数值与函数值互 x 为相反数，求 c 的值．
【思路点拨】
由题意建立导数值与函数值互为
相反数的关系式，即可求出c的值．
ex ec 【解】 由于 f(x)＝ ，∴f(c)＝ ， x c ex· x－ex exx－1 又 f′(x) ＝ ＝ ，∴ f′(c)＝ 2 2 x x ecc－1 . c2 c c e c－1 e 依题意知 f(c)＋f′(c)＝0，∴ ＋ ＝ 2 c c 0， 1 ∴2c－1＝0 得 c＝ . 2
曲线的切线方程 利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断 已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点处 的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是 切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率 公式进行求解．
例3
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在
点 (2 ，－ 1) 处与直线 y ＝ x － 3 相切，求 a 、 b 、 c 的 值． 【思路点拨】 题中涉及三个未知量，已知三个
【解】 (1)y′＝(x －3x －5x ＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .
5
3
2
(2)法一：y ′＝(2x 2 ＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋(2x 2 ＋3)·3 ＝18x 2 －8x ＋9. 法二：∵y＝(2x 2 ＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2 ＋9x －6， ∴y′＝18x 2 －8x ＋9.
例1
求下列函数的导数：
(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y＝(2x 2＋3)(3x －2)； x －1 lgx (3)y ＝ ；(4)y＝x ·tanx ；(5)y＝ . x x ＋1
( 6)
ye
0 . 5 x 3
(7 )
y ln( x 1)
2
(8) f ( x) 2 x sin(2 x 5)
f′ (x)g(x)＋ f(x) g′ (x) ； (2)[f(x)· g(x)]′＝_______________________
f′xgx－fxg′x 2 fx [ g x ] (3)[ ]′＝____________________ (g(x)≠0)．
g x 由(2)可得出：[cf(x)]′＝cf′(x)(c 为常数)．
xsinx (4)y′＝(x· tanx)′＝( )′ cosx xsinx′cosx－xsinxcosx′ ＝ 2 cos x 2 sinx＋xcosxcosx＋xsin x ＝ 2 cos x sinxcosx＋x ＝ . 2 cos x
lgx′x－lgx· x′ lgx (5)y′＝ ( )′＝ 2 x x 1 · x－ lgx xln10 ＝ 2 x 1－ ln10· lgx ＝ 2 . x· ln10
x－ 1 (3)法一：y′＝( )′ x＋ 1 x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ 2 x＋1 x＋1－x－1 2 ＝ ＝ 2 2. x＋1 x＋1
x－1 x＋1－2 2 法二：∵y＝ ＝ ＝ 1－ ， x＋1 x＋1 x＋1 2 ∴y′＝(1－ )′ x＋1 2 ＝(－ )′ x＋1 2′x＋1－2x＋1′ ＝－ x＋12 2 ＝ 2. x＋1