关于高等数学教学的若干思考

关于1高等数学教学的若干思考

摘要：高等数学是经济管理类、理工类的一门重要基础课，其课程教学改革目前受到普遍的关注。本文从教学中注意概念、命题及定理的自然引出；利用好习题课与小结；注重培养学生的创造思维能力等三个方面对高等数学教学改革进行了研究和探讨。

关键词：高等数学；认知规律；创造思维

高等数学是理工类、经济管理类学生的基础课、必修课，为高等学校的一门重要基础课，这门课程学习的好坏,不仅仅影响到后续专业课程的学习，而且对学生素质、能力的培养起着举足轻重的作用。同时，数学作为基础性的学科，它在自然科学及工程技术领域发挥的作用也越来越重要，但是目前陈旧落后的教学方式无法满足现代社会对数学越来越高的要求，因此，高等数学课程的教学改革迫在眉睫。本文从几个具体的方面谈谈高等数学的教学改革。

一、教学中注意概念、命题及定理的自然引出

高等数学的理论性内容主要包括定理、性质等, 作为教材上的这些内容, 经过人们长期的提炼, 往往抹去了它们最初形成的痕迹, 使得逻辑关系十分严密, 对学习者的推理能力要求较高, 若教授不得法,不注意引导学生探究这些内容形成的前因后果, 照本宣科, 就会使学生感到枯燥无味. 对这部分内容的引入, 切忌突然搬出, 这样会使学生感到神秘莫测, 匪夷所思, 望而生畏, 应该根据已知知识与新内容之间的内在逻辑关系顺其自然地引入定理, 在分析定理条件与结论之间的联系时, 通过变更条件、提出相关问题, 使学生置身于定理出现前的情景, 再经过引导学员运用比较、分析、演绎、综合、归纳等方法, 弄清定理条件与结论的必然联系, 达到感知定理产生过程, 强化创造性思维能力训练的目的。

王梓坤说：“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性”。而数学中的概念都以定义的形式给出，其抽象精练准确的特性给教学带来一些困难，往往让学生难以理解和接受，但人们不能因为其抽象而降低其准确严谨的特性，因为数学概念是数学的基石，没有它，便无法去构筑理论体系，因而在数学教学中占有重要地位。

为此，我们应该尽可能避免直接拿出概念，因为在高等数学中，很多概念，比如导数、定积分等往往有一定的几何意义或者物理背景，在教学中应该充分注意到这些，几何意义有助于学生直观地认识概念，而物理背景有助于学生理解概念，通过深入浅出地讲解自然而然地引出相应的概念，这不仅仅能帮助学生记住概念，更为重要的是能帮助他们深刻理解概念的内涵，让他们认识到这些抽象的概念并不是无缘无故地从天上掉下来的，而是顺理成章地出现的。从而使学生看到数学概念的来龙去脉，体验到数学概念的形成过程。

作者简介：贺胜柏（1963-），湖南邵东人，中南财经政法大学信息学院副教授，理学硕士；

王怡（1980-），女，湖北武汉人，中南财经政法大学信息学院讲师，理学硕士；

吴亚豪（1978-），男，湖北黄冈人，华南理工大学理学院博士。

高等数学中的结论以命题或定理的形式给出，数学本身的特殊性要求它们必须经过严格的演绎论证，这种形式化、严谨的推理使得教材体系准确、精练、系统性强，但是它所表达的思维过程与实际发展是完全相反的,这不符合人们的认知规律，这给教学工作带来极大的困难，我们在讲授时要从问题出发，与教材行文相反，逆向地引导学生分析每一个环节，这样才符合人们认知事物的规律，也更容易让学生理解。

二、利用好习题课与小结

每上完若干课题或是一个章节，一定要抽出一定的时间给学生上习题课，而在上习题课之前，最好将这一阶段所学习过的知识进行小结。小结就是把所学过的课题、章节的有关知识进行梳理，通过比较异同和寻找相互联系，提炼出实质性的东西，例如定义、定理、公式、法则等等。把它们用简明的文字概括起来或是用图表示意，使之条理化、系统化。杨乐院士介绍学习方法的时候说过“在理解的基础上多积累”。这一条理化、系统化的过程，实际上就是一个积累的过程，它既能加深学生对知识的理解，又能促进对知识的积累和记忆。

小结能让前后的知识相互响应,使学习过的数学概念、理论和方法条理化、系统化，又可使学生进一步理解本章的内容, 以系统的观点对本章所学内容有一个更为清晰的框架, 加深对各部分内容之间关系的理解. 它不是仅仅将所学的课程内容简单地重复罗列一遍，而是发动学生积极参与，通过章节小结，提示有关数学理论知识的内在结构和各有关部分之间的逻辑联系。小结的形式可以多种多样，可以是教师引导学生画知识结构图。如在讲完中值定理与导数应用这一章之后, 可以引导学生把四个中值定理之间的关系自己找出来,使学生抓住中值定理的核心内容[1]，也可以是教师指导学生分析本章节内容的重点、难点以及如何抓住重点，突破难点。在讲授总结课时要求学生注重前后知识的联系与发展，善于运用类比的方法将所学的知识归类整理，使之系统化。

图一四个中值定理关系示意图

当然，这种做法也可以跨章进行, 比如在讲完所有积分之后, 把各类积分之间的关系用图表给学生作以交待, 如图2所示。使学生头脑中对积分问题有一个总体的认识。当学生明白所有积分最终都要化为定积分来计算，相信他们对复杂的多重积分以及空间曲线积分和曲面积分有一个更清晰的认识。事实上，如果一堂习题课和小结课能够给学生一种三伏天饮冰水的那种解渴的感觉，那么学生一定从中收获到不少知识。[1]

图二高等数学中各类积分的关系示意图

三、注重培养学生的创造思维能力

高等数学在现代科学中的基础性地位，对其他学科的影响, 与其他学科知识的融合性,是其他学科知识所无法替代的。很多科技领域无法绕过高等数学而独立、深入地进行研究。学习高等数学的目的，不仅仅要学到一些数学的概念、公式和结论，更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质，掌握高等数学的精髓，获得理性的逻辑思维和创新的实践能力。

数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容，在完全作出详细证明之前，先得推测证明的思路，先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。而培养和煅炼学生的创造思维能力的一个最有效的途径就是数学建模。

使学生学好现代科学技术所必需的基础知识和基本技能, 培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力, 以逐步形成运用数学知识来分析问题和解决实际问题的能力，这是数学的学习目的。但是传统的数学教学体系和内容都侧重于理论, 而真正的实际运用训练则远远不够, 这使得本来比较枯燥乏味的数学让许多人望而却步。为解决好这一难题, 数学建模恰好起到了其他课程不能替代的作用, 数学建模课程及活动就是培养学生用数学来解决实际问题的最好的训练。特别是计算机技术和数学软件的不断发展, 为数学建模提供了非常好的平台, 它可以使学生不仅能利用其强大的运算功能去比较算法、分析结果, 而且还能通过几何图形来帮助我们去联想, 类比和发现问题的线索, 找出规律的结果。这样既让学生动手、动脑，又让学生更有效, 更主动地学好数学。

不同的现实问题, 往往有不同的数学模型；即使对同一现实问题, 也可能从不同的角度或根据不同精度的要求而归结出不相同的数学模型。另一方面, 同一个数学模型又往往可同时用来描述表面上看来毫无关联的自然现象和社会规律。但对于归结数学模型的方法, 应根据不同的自然现象和问题, 建立不同的数学模型, 以达到解决实际问题之目的。尽管如此, 人们在用数学工具解决各种各样实际问题的过程中, 通过大量归结数学模型的实践, 逐步发现和总结一些建立数学模型的规律, 数学模型这一新的学科分支以及相应的课程设置便因此应运