1-电磁场的数学、物理基础知识.

ez
z
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▽：哈密尔顿算符(del)
哈密尔顿算符
ex x e y
y
ez
z
——是一个兼有微分运算和矢量运算双重性质的运算符
源自文库
矢量 ——服从矢量运算的规则； ▽ 算子 ——代表一种微分运算，服从微分运算规则。
① ▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量 函数时才代表一种运算。 A A ②只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的 位置。
eC e A e B
ec为垂直于A、B平面的单位矢量，A、B、C服从右手螺旋法则。
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3.矢量的混合积
C • ( A×B)=|C| • |A×B|cosθ ⑴转换性 C • ( A×B ) = A• ( B×C ) = B• ( C×A ) ⑵坐标表示式
Cx Cy C z C • ( A× B ) = Ax Ay A z Bx By B z
第一章 电磁场的数学、 物理基础知识
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第一章 电磁场的数学、物理基础知识
1-1 电磁场与矢量代数 1-2 正交曲面坐标系 1-3 标量场及其梯度 1-4 矢量场的通量、散度与高斯散度定理 1-5 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 1-6 亥姆赫兹定理 1-7 电磁场麦克斯韦方程组 1-8 矢量场惟一性定理
ex e y ez A dl Ax Ay Az 0 dx dy dz
dx dy dz Ax Ay Az
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矢量场的描述
无旋场
有旋场
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矢量场的通量
Ψ

S
Ad S
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矢量场的散度(divergence)
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1-1 电磁场与矢量代数
1.1.1矢量及其表示方法 1.1.2矢量相加(叠加)
1.1.3矢量的乘积运算
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1.1.1 矢量及其表示方法
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
A Ae A
，
A Axex Ay e y Az ez Ae A
A
矢量线元
d l d l1e1 d l2e2 d l3e3
把长度元与坐标元之比定义为拉梅(Lame)系数
d li hi d ui
(i 1,2,3)
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直角坐标系
ex e y ez
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hx hy hz 1
ex e y ez
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1-6 矢量场中的常用定理
1. 梯度场、散度场和旋度场的关系定理
2. 矢量场的积分定理
3. 矢量场唯一性定理
4. 亥姆霍兹定理
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1.
梯度场、散度场和旋度场 的关系定理
⑴ 标量场的梯度为无旋场; 0 ⑵ 矢量场的旋度为无源(散)场; A 0 ⑶ 无旋场必可表示为标量场的梯度； F 0 如 ，则必存在某一标量场ψ，使 得 F 。 ⑷ 无源场必可表示为另一矢量场的旋度； 如 F 0 ，则必存在某一矢量场 A ，使 得 F A 。
l lim
P
(P) (P)
Δl
x y z l x y z
x
Δl0
( P ) ( P )
(ex
x
ey
y
ez z ) ex
ey
y
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梯度的展开式 P8
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1-4 矢量场的通量与散度
矢量场 A 矢量线——曲线上任一点处场的矢量都沿着（位于） 该点的切线方向 A Ax e x Ay e y Az ez A dl 0 A d l dl dxe x dye y dze z
，
1.矢量的标量积

dot product
A•B=ABcosθ ⑴A•B=B•A ⑵(A+B)•C=A•C+B•C ⑶λ(A • B) =(λA) • B= A•(λB) ⑷若A ⊥B，则A•B=0
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2.矢量的矢量积
cross product
C= A×B=ABsinθec
⑴A×B≠B×A A×B =－ B×A ⑵ C •(A+B)=C • A +C • B ⑶λ(A×B) =(λA)×B= A×(λB) ⑷若A ∥B，则A×B=0
散度也是描述矢量场的一种空间变化率， 其数值表征矢量场中任一点处场源的流(发)散 程度——标量 Ad S
div A lim
S
A (ex x ey
e z z ) A y
Δ V 0
ΔV
Ax Ay Az A x y z
y
ez
z
A Ax ex Ay ey Az ez
Ax
Ay
Az
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旋度的展开式 P14
广义正交曲面坐标系中旋度的展开式为
h1e1 1 A h1h2 h3 u1 h1 A1
ex A x Ax ey y Ay
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⑸ 如果一个矢量场 B 为另一个矢量场 的 旋度，即B A，则任意选择 A 的值， 矢量场 B 的值不受影响。
这说明不论 A 是有源场，还是无源场，或 A取任何值，对 B 的涡旋性皆无影响。即矢
A
量场的散度和旋度是彼此独立的，不能相互代 替。因此，对于一个矢量场只有同时研究它的 散度和旋度才能准确的把握场的变化规律。
ex x e y
y
ez
z
A Ax ex Ay ey Az ez
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散度展开式 P11
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1-5 矢量场的环量与旋度
Γ Adl
l
若在闭合有向曲线l上，矢 量场A的方向处处与线元 dl的方向保持一致，则环 量大于零；若处处相反， 则环量小于零。因此，环 量既可以用来描述矢量场的涡旋特性，又可以根据其正负判 断矢量场的大致的旋转方向。如果任意选择一个闭合曲线， 其环量总为零，则说明该矢量场为无旋场，否则称为有旋场。 若环量大于零，说明矢量场的涡旋方向与有向曲线的方向大 体一致，否则旋转方向与有向曲线的方向相逆。 Ad l en A d l l l max lim A lim ΔS 0 ΔS 0 S S 2018/9/24
A, B, C 均为矢量


6. A B B A
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矢量代数运算式
8. A Ax ex Ay e y Az ez , B Bx ex By e y Bz ez ex ey ez A B Ax Ay Az Bx By Bz 9. A ( B C ) B (C A) C ( A B) 10. ( A B)C A( B C ) 11. A ( B C ) ( A B) C 12. A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C
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矢量积分运算
矢量线积分 矢量面积分

l
E (r ) dl '
S
矢量线元
B(r ) dS ' 矢量面元
q (r ' ) dV 标量体元 V
标量体积分
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1-2 正交曲面坐标系
⑶三个矢量共面的条件
C • ( A×B ) =0
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4.矢量的三重积
A × (B×C） ⑴ A×(B×C）≠ （A×B）×C 不满足结合律
⑵ A×(B×C）=（ A•C) B －( A•B) C
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矢量代数运算式
1. A B B A 2. A ( B C ) ( A B ) C 3. A B B A A B cos , A, B 4. A ( B C ) A B A C 5. A B A B sin n , A, B , (0 ) n 垂直于 A, B 所在平面并与 A B 成右手螺旋关系。
2 Ax

2 Ay

2 Az
eA
Ax e x Ay e y Az e z
2 2 2 Ax Ay Az
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1.1.2 矢量相加(叠加)
A Axex Ay e y Az ez Ae A B Bx e x By e y Bz e z BeB
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7. A ( B C) A B A C
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场的概念
场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为自变 量的函数。
标量场 ——描绘场的函数为标量函数φ= φ(x,y,z,t) 矢量场 ——描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t ) 稳恒场 ——不随时间变化的场 φ(x,y,z), A(x,y,z ) 均匀场 ——不随空间变化的场 φ(t) , A(t )

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矢量场的旋度(curl)
也是一种空间最大变化率，描述矢量场中 每一点的涡旋（旋转）强弱程度的量——矢量 A (ex x ey y ez z ) A
A ex
x
ey
y
ez
z
ex x e y
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e r e e
，
hr 1
h r
h r sin
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1-3 标量场及其梯度
标量场u(x,y,z)的等值面 U(x,y,z)=const
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标量场的梯度(gradient) 梯度是描述标量场各点最大空间变 化率的量——矢量。
，
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )e y ( Az Bz )ez
A B A (B) ( Ax Bx )ex ( Ay By )e y ( Az Bz )ez
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1.1.3矢量的乘积运算
两个标量a与b相乘，标量参数之间可用“ ”号、 “ • ” 号或什么符号也不加，都代表二者之间的倍数 关系，即 a b a b ab
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圆柱坐标系
e r e e z
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e r e e z
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e r e e z
hr hz 1 h r
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球坐标系
e r e e
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e r e e
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2. 矢量场的积分定理
(1)高斯(散度)定理
h2 e2 u2 h2 A2
h3e3 u3 h3 A3
直角坐标系中拉梅系数均为1，故
ez Az Ay Ay Ax Ax Az ex ey ez z z x y z y x Az