五均方随机微分方程
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五 均方随机微分方程
在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题.
如: 随机干扰下的控制问题
通讯技术中的滤波问题……
经济金融领域中的定价问题等…
要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程.
定理 设二阶矩过程{Y (t ), t t0} 均方连续，a(t)是 普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机 微分方程
X (t ) a(t ) X (t ) Y (t ), t t0 X (t0 ) X 0 (1)
在(1)的两边同乘以 X (s) 取期望得 对(1)的两边取共轭再同乘Y(t),并求期望得＊
举例 1. 一阶线性随机微分方程
X (t ) aX (t ) 0, t 0, a 0 ，其中X 0 X (0) X 0 N （0， 2）
注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P. 利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t )=E[ X (t )] E[ X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
t0
a ( u ) du ) s Y ( s) e ds]
t
RX (s, t ) E[ X (s)X (t )]
试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数 解
mX (t ) 0，RX (s, t ) 2ea( st ) , s, t 0 所以X (t ) N (0, 2e2at ),即解{X (t ), t 0}一维概率密度为
f (t; x) 1 2 e
s
t0
t
t0
RY ( , ) e
s
a ( u )du
a ( u ) du
t
d d , s , t t0
也可以解下列普通微分方程得到
RX ( s, t ) a(t ) RX ( s, t ) RXY ( s, t ) t R ( s, t ) E[ X ( s)X ] 0 0 X RXY ( s, t ) a( s)RXY ( s, t ) RY ( s, t ) s R (t , t ) E[ X 0Y (t )] XY 0
CX (s, t ) RX (s, t ) mX (s)mX (t ) 2 , s, t 0
DX (t ) CX (t, t ) 2 , t 0
六 正态过程的随机分析
正态过程是一种重要的二阶矩过程. 内容:
1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限
2.均方可导的正态过程性质
t0 a (u ) du
Y (t ) e
a(t )[ X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
t0
a ( u ) du s Y ( s) e ds] Y (t )
t
a(t ) X (t ) Y (t )
即 X (t ) a(t ) X (t ) Y (t )
X (t ) a(t ) X (t ) Y (t ), t t0 X (t0 ) X 0 (1)
有解，其解为
X (t ) X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
t0
a ( u ) du s Y ( s) e ds
t
X (t ) a(t ) X 0 e
RY ( s, t ) ( E X 0 ) e e e
2
t0 a ( u )du t0 a ( u ) du
s
t
t0 t0
t
s
a ( u )du )
t
t0
E[ X 0Y ( )]e
a ( u ) du
t
t
d
Hale Waihona Puke Baidu
a ( u )du
t
t0
a ( u )du E[ X 0 Y ( )]e d
t0
t
a ( u ) du
a ( u ) du s ( Y ( s) e ds) t t0
t
a(t ) X 0 e a(t ) X 0 e
a(t ) X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
( Y (s) e
t0
t
t0 a (u ) du t0 a (u ) du
3.正态过程的均方不定积分性质
定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量 .
即若 { X n , n 1}为正态随机变量序列，且 l.i.m X n X , 则X是正态随机变量．
n
证明 记 n (t ) E[e jtX n ], (t ) E[e jtX ]
at
由公式解为 X (t ) X 0eat , t 0
e
x2 2 2 e2 at
,t 0
2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征
X (t ) gt , t 0 X (0) X 0
其中g是常数. 解
X 0 ~ N (0, 2 ).
t
1 2 由公式解为 X (t ) X 0 0 gsds X 0 gt , t 0 2 1 2 1 2 mX (t ) gt , t 0 RX ( s, t ) ( gst ) 2 s, t 0 2 4
t
s
t
s
ds) ds)
ds
t0 a (u ) du
t0 a (u ) du
t
(e
t0 a (u ) du
t
t
Y ( s) e
t0
t t0
t0 a (u ) du
s
a(t )e e
t
t0 a (u ) du
Y (s) e t0 a (u ) du
t
t0 a (u ) du
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
mX (t ) ( EX 0 ) e
t0
t
a ( u ) du
t
t0
a ( u ) du s mY ( s) e ds, t 0
t
也可以通过解以下一般的微分方程组得到
m X (t ) a (t )mX (t ) mY (t ), t t0 mX (t0 ) EX 0
在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题.
如: 随机干扰下的控制问题
通讯技术中的滤波问题……
经济金融领域中的定价问题等…
要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程.
定理 设二阶矩过程{Y (t ), t t0} 均方连续，a(t)是 普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机 微分方程
X (t ) a(t ) X (t ) Y (t ), t t0 X (t0 ) X 0 (1)
在(1)的两边同乘以 X (s) 取期望得 对(1)的两边取共轭再同乘Y(t),并求期望得＊
举例 1. 一阶线性随机微分方程
X (t ) aX (t ) 0, t 0, a 0 ，其中X 0 X (0) X 0 N （0， 2）
注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P. 利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t )=E[ X (t )] E[ X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
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a ( u ) du ) s Y ( s) e ds]
t
RX (s, t ) E[ X (s)X (t )]
试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数 解
mX (t ) 0，RX (s, t ) 2ea( st ) , s, t 0 所以X (t ) N (0, 2e2at ),即解{X (t ), t 0}一维概率密度为
f (t; x) 1 2 e
s
t0
t
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RY ( , ) e
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d d , s , t t0
也可以解下列普通微分方程得到
RX ( s, t ) a(t ) RX ( s, t ) RXY ( s, t ) t R ( s, t ) E[ X ( s)X ] 0 0 X RXY ( s, t ) a( s)RXY ( s, t ) RY ( s, t ) s R (t , t ) E[ X 0Y (t )] XY 0
CX (s, t ) RX (s, t ) mX (s)mX (t ) 2 , s, t 0
DX (t ) CX (t, t ) 2 , t 0
六 正态过程的随机分析
正态过程是一种重要的二阶矩过程. 内容:
1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限
2.均方可导的正态过程性质
t0 a (u ) du
Y (t ) e
a(t )[ X 0 e
t0 a (u ) du
t
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t0
a ( u ) du s Y ( s) e ds] Y (t )
t
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即 X (t ) a(t ) X (t ) Y (t )
X (t ) a(t ) X (t ) Y (t ), t t0 X (t0 ) X 0 (1)
有解，其解为
X (t ) X 0 e
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a ( u ) du s Y ( s) e ds
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X (t ) a(t ) X 0 e
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3.正态过程的均方不定积分性质
定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量 .
即若 { X n , n 1}为正态随机变量序列，且 l.i.m X n X , 则X是正态随机变量．
n
证明 记 n (t ) E[e jtX n ], (t ) E[e jtX ]
at
由公式解为 X (t ) X 0eat , t 0
e
x2 2 2 e2 at
,t 0
2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征
X (t ) gt , t 0 X (0) X 0
其中g是常数. 解
X 0 ~ N (0, 2 ).
t
1 2 由公式解为 X (t ) X 0 0 gsds X 0 gt , t 0 2 1 2 1 2 mX (t ) gt , t 0 RX ( s, t ) ( gst ) 2 s, t 0 2 4
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定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
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也可以通过解以下一般的微分方程组得到
m X (t ) a (t )mX (t ) mY (t ), t t0 mX (t0 ) EX 0