不定积分基本公式和运算法则直接积分法

-复习1原函数的定义。2 不定积分的定义。3不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。

•引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算

问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。

•讲授新课

第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法

一基本积分公式

由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

以函数的的形式。

求函数的不定积分的方法叫积分法。

例1•求下列不定积分•（1）Adx （2）X I xdx

.1 -2 + .

解：（1）. 2dx

=x'dx =兰C---亠C

X -2 - 1 x

3 2 5

（2）.x、xdx = x2dx =2x2 C

' 5

此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为数的积分公式求积分。X〉的形式，然后应用幕函

不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即

[f (x) — g (x)]dx 二 f (x)dx — g (x)dx

法则1对于有限多个函数的和也成立的.

法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即

kf (x)dx = k f (x)dx ( k = 0)

3

x

例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x

3

1-e" )d )=2 x 3dx + dx -

e x dx

1 4 x =x x —e C 。 2

注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，

但是这里并不需要在每一项后面加上

一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。

注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例

由于(-x

4

^e x C) = 2x 3 • 1 - e x ，所以结果是正确的。 2

三直接积分法

在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。

例3 求下列不定积分

解：

(1)首先把被积函数('XFX-1

化为和式，然后再逐项积分得

vx

（、x 1）（ x

1

（2

）J x

2

dx

）dx

1

= x 、xdx 亠 | xdx _ dx — dx

2 5 1 1

=x 2 x 2 -x -2x 2 C 。 5 2

注：（1 ）求函数的不定积分时积分常数 C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。

（2 ）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常

数，所以只要在结果中写一个积分常数

C 即可。

（3 ）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分

结果是正确的，否则是错误的。

dx

二 dx 「2 p x 「2arctan x C 。 ‘ x 2

+1

3

「x arctanx C

2

2

解: ( 1) tan xdx 二(sec x-1)dx

2

sec xdx - dx = tan x - x C

(2

)

sin 2

；dx

1 - cos x

1

dx = 2 2

上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分, 的恒等变换。

2

x

_2

dx= (1_^^)dx x 2 1 x 2

1

上例的解题思路是设法化被积函数为和式,

然后再逐项积分,

是一种重要的解题方法,

须掌握。

练习

x-3x 2 2x 4

x 2

dx ，

2x 2

1 2 2 dx ，3 x 2(x 2 1)

1 x 2

dx 。

答案

1x 2

-3x 2ln|x|-4

C ,

arcta n

x- 1

C ，

x

例4 求下列不定积分.（1）

tan 2

xdx

x

(2

)

sin2-dx

1 sin

不过它实现化和是利用三角式

(2)

x =

练习 1 cot xdx 答案 1 「cot x -x C

. 2

x

门

cos dx 3

2

1 (x sin x) C

2 cos2x , dx cosx-s inx

3 sin x - cosx C 2 例 5 设 f (sin x) 2 =cos x ， 解：由于f (sin 2

x) =cos 2 x = 1 - sin 2 x ， 所以 f (x) =1 -X ， 故知f (x)是1 - x 的原函数, 因此 f (x) 2 x =(1 - x)dx = x C • ■ 2 小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。 练习 求下列不定积分. (1)

(3) 2 (1「2sinx )dx (2)( x (t 1)2

dt ，( 4) t cos x sin (9) 答案1 1t 2 )dx x (5)

(6x x 6

)dx ，

(6) x ，( 7) csc(cscx 一 cot x)dx ， (cos- sin-)2dt ，( 10) 2 2 x 2cosx 2ln |x| C ，

2

2t ln |t I

C ，

x -1 x 7 C ，

ln6 7

一 cotx cscx C ，

t 一 cost C ，

10

(8) cos2x , 厂dx ， sin x

(tan 2x-1)dx ，( 11) e x (3x V 1 2 tan x-cot x C ， 2arcsin —3arctatv C ，

3

-x C ，

8

- cot x - 2

C ，

(3e)x

tan x~2x C , 11 2arcsirx C 。

1 In3

x

2e )d

x 。 2 -x