第一节二重积分的概念及性质教案

第九章重积分
第一节二重积分的概念及性质
重积分的概念
1 •引例
引例1曲顶柱体的体积
设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线
平行于z轴的柱面，顶是有二元非负连续函数z f(x,y)所表示的曲面，如图9—1所示, 这个立体称为D上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。

图9—1 图9—2 图9 —3
解对于平柱体的体积V高底面积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下
(1)分割
把区域D任意划分成n个小闭区域，，，，其中表示第i个小闭区域，
1 2 n i
也表示它的面积。

在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，如图9—2所示。

这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。

⑵近似
在每一个小闭区域上任取一点(，)，以f ( i , i)为高，为底的平顶柱体
i I / i
的体积f( i, i) i近似代替第i个小曲顶柱体的体积
V f ( i, i)
(3) 求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值n
V V f ( i, i) i
i1
(4) 取极限
将区域D无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲
顶柱体的体积。

即
n
V lim0 f ( i, i ) i
i1
其中表示这n 个小闭区域直径中最大值的直径(有界闭区域的直径是指区
i 域中任意两点间的距离) 。

引例2 平面薄片的质量
设有一平面薄片占有 xy面上的有界闭区域D，它的密度为D上的连续函数
z (x, y) ，试求平面薄片的质量。

解对于均匀平面薄片的质量m 密度薄片面积，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下
(1)分割
将薄片(即区域D )任意划分成n个小薄片，其中表示第i个
1 2 n i
小小薄片，也表示它的面积，如图9—3 所示。

(2)近似
在每一个小薄片」上任取一点(「丿，以(i, J为其密度，当i很小时，认
为小薄片是均匀的，则(i, i) i近似代替第i个小薄片的质量。

即
m ( i , i) i
(3)求和
这n个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值
i1
(4) 取极限
将薄片D 无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点， 这个近似值趋近于薄片 的质量。

即
n
m lim 0
( i , i ) i
i1
其中 表示这 n 个小薄片 直径中最大值的直径。

i 2．二重积分的概念
定积分与曲边梯形的面积有关。

上面例子抛开其几何意义和物理意义， 单纯地从 数学结构角度来考虑，那就是二重积分。

定义 设z f(x,y)是有界闭区域D 上的有界函数
f(x, y)d
D n
lim 0
f(
i , i )
i
i i i
i 1
i i i
其中f (x, y)叫做被积函数，f(x, y)d 叫做被积表达式，d 叫做面积元素，x 与y 叫做 n 积分变量， D 叫做积分区域， f( , ) 叫做积分和。

i i i
(1)将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 ，其中 表示第 i 个小闭
i
区域，也表示它的面积。

在每个 上任取一点 ( , ) ，作乘积
i
i i
n
2) ii
f( i , i )
(i=1, 2,…，n )
3) 4)
并作和
f( i , i ) i
i 1
i i i
如果当各小闭区域的直
径中的最大值
趋于零时，这和式的极限总存在，
则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记作
f (x, y)d D
【注意】在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，
若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭
区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭儿区域.的
边长X和y，贝U x y，因此在直角坐*
标系中，有时也把面积元素d记作dxdy，从而
一.
f(x, y)d f (x, y)dxdy
D D
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素
3•二重积分的几何意义
若f (x, y) 0，函数f (x, y)在闭区域D上的二重积分表示为以D为底面，f (x, y)为曲顶的曲顶柱体的体积；
若f (x, y) 0，表示柱体在xoy面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数；
若函数f (x, y)在闭区域D上既有正的，又有负的，则二重积分表示在 xoy面的上、F方的柱体体积的代数和。

4.二重积分存在性
如果被积函数f(x,y)在积分区域D上连续，那末二重积分f(x, y)d必定存在
D
重积分的性质
性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。

即
kf (x, y)d k f (x, y)d
D D
性质2 (线性性)有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和即
[f (x,y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d D D D
性质
3 （可加性） 若闭区域D 被有限条曲线分成为有限个部分闭区域， 则在D 上
的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（ D D 1 D 2）
f(x, y)d f(x, y)d f(x,y)d
D
D 1
D 2
性质4若在D 上f (x, y) 1， 为D 的面积，贝U
1d d
D
D
推论 Ad A d A
D
D
性质 5 (不等式性) 若在 D 上, f (x,y) g(x, y)，贝U f (x, y)d g(x, y)d
D
D
【特别地】f (x, y) f(x, y) f(x, y)，则 f (x, y)d
D
性质6 （有界性）设M 、m 分别是f （x, y ）在闭区域D 上的最大值和最小值，
为
D 的面积，则
m f (x, y)d M
D
设函数f （x, y ）在闭区域D 上连续， 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点（，）使得
f(x, y)d f(,)
D
推论设
为常数，则[f(x, y) g(x,y)]d
D f(x, y)d
g(x,
y)d
f(x,y)d
D
性质7 （二重积分的中值定理）
第二节二重积分的计算法
用定义计算二重积分是相当困难的事，而且非常麻烦，本节探讨行之有效的计算方法和技巧。

一•直角坐标系中的计算方法
用不等式‘X）y 2（x），a x b来表示的区域，其中函数‘X）、2（x）在区间
[a,b]上连续，如图9—4所示，称为X —型区域；
用不等式O）x 2（y）， c y d来表示的区
域，其中函数,y）、2（y）在区间
[c,d]上连续，如图9—5所示，称为Y —型区域。

注意 X —型或Y —型区域，如果经过该区域内任意一点（即不是区域边界上的点）作平行于x轴（或y轴）的直线，且此直线交区域的边界不超过两点。

刃y种
JTPiU)
图9—4 图9—5 图9—6 图9—7
1. X —型区域D上的二重积分的计算法对X —型区域D
1(x) y 2 (x)
a x b
选X为积分变量，x ［a,b］，任取子区间［x,x dx］［a,b］。

设A(x)表示过点x 且
垂直x轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图9—6所示，则曲顶柱体体积V的
微元dV为
dV A(x)dx
那么曲顶柱体体积V为
b
V A(x)dx
由图9—6知，该截面是一个以区间［i(x), 2(x)］为底，以曲线z f(x,y)( x固定)
为曲边的曲边梯形，其
则曲顶柱体体积为
故二重积分的计算法为
f(x,y)d
D
2. Y —型区域D上的
对Y—型区域D
A(x) 2
(x)
1(x)
f
(x,y)dy
b
a[
2(x)
(x) f(x,y)dy]dx
b
a[
2(x)
1(x)
f(x,y)dy]d
x
重积分的计算法
1(y) x 2(y)
b
dx
a
2(x)
(x) f(x,y)dy
cyd
如图9—7所示，选取y为积分变量，则用垂直于y轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积
V
故二重积分的计算法为
d
f(x,y)d c［
c
D
d 2 (y)
c[ 12(y) f(x,y)dx]dy
2(y) d 2(y)
2f (x, y)dx]dy dy 2f (x, y)dx (y) c
(y)
1
由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。

若区域D为X —型，则先把x看成常量，对y进行积分，它的积分限一般是x的函数。

然后在对x进行积分，它的积分限是常数。

若区域是DY—型，则先把y看成常量，对x进行积分，它的积分限一般是y的函数。

然后在对y进行积分，它的积分限是常数。

这种先一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分法。

3．累次积分上下限的确定方法
把二重积分化为累次积分，其关键是依据所给出的积分区域 D ，确定其属于什么
类型，定出两次定积分的上下限，上下限的确定法如下
(1)在xy平面上画出曲线所围成的区域D
(2)积分限的确定
若区域是X —型区域，则先把区域D投影到x轴上，得到区间［a,b］，则区域D的最左点a和最右点b就是x的积分下限和上限。

在［a,b］上任意取一点X，过x画一条与y轴平行的直线，与区域D的边界曲线交点为y i (x) , y 2(x)。

如果i(x) 2(x)，那么下部边界曲线i(x)和上部边界曲线2(x)就是y的积分下限和上限，如图9—8所示。

若区域是Y —型，则先把区域D投影到y轴上，得到区间［c,d］，则区域D的最下点c和最上点d就是y的积分下限和上限。

在区间［c,d］上任意取一点y，过y画一条与x轴平行的直线，与区域D的边界曲线交点为y 1(x)，y 2(x)。

如果
i(x) 2(x)，那么左部边界曲线i(x)和右部边界曲线2(x)就是x的积分下限和上
限，如图9—5 所示。

(3)若区域既不是X —型区域，又不是Y —型区域
用平行于X轴或y轴的直线，把区域D分成若干个属于同一类型的区域，如图10 —9所示，然后在每个区域分别确定其上下限。

最后根据积分的性质即可求解积分。

（4）若区域既是X —型区域，又是Y —型区域
这种类型区域的累次积分可以交换积分次序。

即区域D既为X —型，可以用不等式P）y 2（x）， a x b来表示。

又为Y —型的，可以用不等式/y） x 2（y）， c y d来表示，贝U
b 2（x） d 2（y）
a dx i（x）f（x,y）dy c dy i（y）f（x,y）dx
图9—8 图9—9 图9—10
例1求二重积分（x2 y2）d ，其中D是由y x2, x 1,y 0所围成的区域。

D
解因为区域既是X—型区域，又是Y—型区域，所以可先对y后对x积分，也可先对x后
对y积分。

先对y后对x积分
“相（宀尸讪心船”討£八护迹=G宀存丁忙舊
例2求二重积分f（x, y）d化为两种不同次序的累次积分，其中D是由x a，
D
x b，y c， y d所围成的区域如图9—10所示，。

解画出积分区域D，其既是X—型区域，又是Y—型区域。

先对y后对x积分，则
f (x, y)d D
b d
dx f (x, y)dy a c
先对x后对y积分，则
f (x, y)d D
d b
dy f (x, y)dx c a
例3求二重积分f(x,y)d化为两种不同次序的累次积分，其中D是由y x ,
D
X轴，y 2 x所围成的区域。

解画出积分区域D，如图9—11所示。

先对y后对x积分，将区域D分成两个D i和D2，则
f(x, y)d D1 1 x
dx
0 f(x,y)dy
f (x,y)d 2 2 x
dx
1 0
f (x, y)dy
f (x, y)d 1
dx
f(x, y)dy
2 2
dx
1 0
x
f(x,
先对x后对y积分，如图10—12所示。

1
f (x, y)d 0dy y f (x,y)dx
D
例4计算二重积分xyd ，其中D是抛物线y2
D
D，如图9—13所示，是Y —型区解画出积分区域
先对x后对y积分，则
xyd D 2
1
d y
2
y2
y
xydx
y dy 45
8
例5求二重积分，其中D是由y x，
y x 2所围成的区域。

-- ------ M 1 L
>
/JT-^+2
-1
图9—11
图9—12
1
y轴所围成的区域
解 画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

2
先对y 后对x 积分，e y
就无法积分，因此只能先对x 后对y 积分，则
如果极点在直角坐标系的原点，极轴为 坐标与极坐标的转换公式为
x r cos y r sin
贝U f (x, y) f (r cos , r sin )
在二重积分的定义中对闭区域D 的分割是任意的，在直角坐标系中用平行于坐标 轴的直线网来划分D ， d =dxdy 。

那么，在极坐标系下，用
为常数的射线，r 也为
常数的同心圆将闭区域D 分割成若干小区域。

在［,d ］与［r,r dr ］围成小区域的 面积d rdrd
故二重积分的极坐标形式为
f (x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
D
其中d rdrd 就是极坐标系中的面积元素。

在区间［,］上连续，则
f (x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
D
注 在极坐标系中，区域D 的边界曲线方程一般是r r()，所以通常选择先对r 后对的积分次序。

y
2 1 y
y 2 e d
dy e dx
0 0
A e 1
) 2
1
D
二•极坐标系中的计算法
G
匚——
设区域D 可以用不等式i ( ) r 2()，
来表示，其中函数°、2()
2()
d f (r cos , r sin )rdr
1 ()
x 的正半轴，则直角
如果极点0在区域D 的内部，区域D 的边界方程为r r( ), 0
2，则二重积 分为
2
r()
f (r cos , r sin )rdrd 0 d o f (r cos , r sin )rdr
D
如果极点o 不在区域D 的内部，从极点o 引两条射线 ,
夹紧区域D ，那么区域D 的边界由
r ri( ), r Q ()构成，且r, ) Q ()，则二重积分为
r 2()
f (r cos , r sin )rdrd d f (r cos , rsin )rdr
r
1 ()
D
注 有一些二重积分在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数， 就
可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。

另外对直角坐标系被积函数中 含
有x 2 y 2
等于定值时，往往化为极坐标系下进行计算。

例6求二重积分 (x 2, y 2)d ，其中D 是圆环a 2
D
解由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式,
坐标计算比较方便。

把x rcos y r sin
即可转化为极坐标系的积分形式。

f (x, y)d f (r cos ,r sin D D 在对其进行累次积分计算 )rdrd r
3
drd
D
显然，这个二重积分化为极
rdrd 代入,
f(x, y)d r 3
D D 例7求二重积分 e D
drd 3
1
4
r dr (b
4
a 4) 2
/ 0
尹
4
a 4
)
，其中D 是圆 x 2
(a 0)
解 由于极点o 在区域D 的内部，区域D 的边界方程为 a , 0 x :
e .2 ，所以这个二重积分化为极坐标计算比较方便。

y 2
r
2
2 b
r
2
b
r 2
d e rdrd n d re dr 2 re dr
a
a
(
1
第三节三重积分的概念
三重积分的概念
物体是一根细直线棒，则非均匀细棒的质量为
n
M lim0 f ( i ) x i
i1
f (x)dx
物体是一块平面薄片，则非均匀薄片的质量为
n
M lim f ( i , i ) i f(x, y)dxdy
i1 D
物体是一空间立体，空间有界闭区域，则非均匀立体的质量计算是将任意分成n 个小闭区域v, v , , v ，其中v 表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。

在 v 1 2 n i i
上任取一点 ( , , ) ，则小立体的质量近似
为
iii
f( , , ) v ( i=1, 2,…，n )
i i i i
所以，立体的质量近似地等于
n
f(
i
,
i
,
i
)
i 1i i i
如果当各小空间立体区域的直径中的最大
值则称此极限值即立体质量，即v
i
趋于零时，这和式的极限总存在，
n
M lim0f( i , i, i ) v i
i 1
定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分成n个小闭区域
v1, v2, v ，其中 v 表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。

在每
个ni
v 上任取一
i
n
点(.，.，.)，作乘积f( ., ., .) v. ( i=1, 2,…，n ),并作和f( v，如果当
i i i i i i i i 1i i i i
各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和式的极限总存在，则称此极限为函数
f(x,y,z)在闭区域上的二重积分，记作f(x,y,z)dv，即
f (x, y,z)dv lim0 f ( i, i, i ) v i .
i 1
其中：dv叫做体积元素，f (x, y, z)叫做被积函数，f(x,y,z)dv叫做被积表达式，x、
n
y和z叫做积分变量，叫做积分区域，f( , , ) v叫做积分和。

i 1i i i i
注意 (1)在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分，那么除了包含
边界点的一些不规则小闭区域外，其余的小闭区域都是长方体，设长方体小闭区域 v
i 的边长 x 、y 和z ，则v x y z ，因此在直角坐标系中，有时也把体积元
j k l i j k l
素dv，记作
dxdydz
即
dv=dxdydz
从而
f(x,y,z)dv f(x, y,z)dxdydz
其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素。

(2)不论v 怎样分割，点( , , )怎样选取，都不会影响重积分的存在，所以
i i i i
重积分与分割、点( , , ) 怎样选取无关。

iii
(3)如果f(x,y,z)在域上连续，那末此三重积分一定存在。

(4)三重积分的和式极限与定积分、二重积分的和式极限结构类似，当最大的子域直径0 时，保证了n ，此时和数的极限都存在。

(5)定积分的被积函数是一个一元函数，它的积分域是一个区间；二重积分的
被积函数是一个二元函数，它的积分域是一平面区域；三重积分的被积函数是一个三元函数f(x,y,z)，积分域是一空间区域。

(6)对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。

二．直角坐标系中三重积分的计算方法
1 •直角坐标系中三重积分的计算
（1）将空间有界闭区域投影到xy坐标平面上，得到xy坐标平面上的一个平面
区域D
（2）在区域D上任意取一点（x,y），作平行于z轴的直线I，与边界曲面的交点
的竖坐标 z z1（x, y）, z Z2（x, y），不妨设Z i（x, y）Z2（x, y），显然
Z i (x,y) z Z2(x, y) (x,y) D
z2 (x,y)
f(x, y,z)dv
f(x，y，z)dz]dxdy
z i(x,y)
在对z积分时，把x、y看是成常数，得出积分后，再在D上计算二重积分。

即把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，二重积分的计算依据D可化为累次积分。

则三重积分的计算就可转化为累次积分的计算。

例1求xyzdv，其中是由平面x 0, y 0, z 0及z x y 1所围成的区域。

解把三重积分化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把投影到xy 坐标平面上，求出投影域D，它就是平面z x y 1与xy平面的交线和x轴、y 轴所围成的三角区域。

为了确定出对z积分限，在D固定点（x, y），通过此点作一条平行于z轴的直线，它与上下边界的交点的竖坐标
z 0 与 z 1 x y
这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得
1 x y
xyzdv [ xyzdzid
D
其中D为平面区域
x 0, y 0,1 x y
如下图阴影部分所示
再把域D上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得
2 •柱面坐标系中三重积分的计算法 (1) 柱面坐标概念
平面上点P 可以用极坐标(r,))来确定，因此空间中的点P 可用数组(r, ,z)来表 示。

显然，空间的点P 与数组(r, ,z)之间的对应关系是一一对应关系，数组(r, ,z)称 为空间点P 的柱面坐标。

(2) 柱面坐标与直角坐标的关系 柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z
(3) 柱面坐标的来历
构成柱面坐标系的三族坐标面分别为
「=常数：以z 轴为对称轴的同轴圆柱面族
=常数：通过z 轴的半平面族
乙=常数：与z 轴垂直的平面族
因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点， 由于利用了圆柱面，所以 称为柱面坐标。

(4) 三重积分的计算法
柱面坐标系下三重积分的计算公式为
匕() r 2 (r cos , rsin )
d dr f (r cos , r sin )rdz
r 1 ( )
zi (r cos ,r sin )
围成的区域
1 x y xyzdv I 。

xyzdz]d
D
1 1
dx
0 0 xy(i 1 1 x 1 x y dx dy xyzdz
0 0
x y)2dy
1
x 一(1 0
24 1
x)4
dx
f (x, y, z)dv
zdv ，其中
是由曲面z x 2 y 2
,z 8 x 2 y 2 及 z x y 1 所
解 zdv
2 2
8 x y
[x
2 y 2
zdz]d
2 2 - 8 r 2
d rdr zdz
r
2 2 0
d
0r(4
r 2
)dr 8
3．球面坐标系中三重积分的计算法
(1)球面坐标
空间中的点M到原点0的距离为r , OM在xy平面上的投影0P，从z轴正向看, x轴
的正向逆时针方向旋转到0P的角为，0M与z轴正向轴夹角为，且它们取值范围是
0 r ,0 2 ,0
那么，用 r, , 三个量构成的有序数组 (r, , )可以确定空间的点M ，显然空间的点M 与数组 (r, ,z) 之间的对应关系是一一对应关系，则有序数组 (r, , ) 称为空间
点M 的球面坐标。

(2)几何意义
空间中的点M实在上是圆心在原点，半径为r的球面与极角为的半平面、张角为圆锥面的公共交点。

这就是球面坐标的原由。

(3)球面坐标与直角坐标的关系
x r sin cos , y r sin sin ,z r cos
(4)三重积分的计算法
球面坐标系的体积元素
2
dv r sin drd d
球柱面坐标系下三重积分的计算公式为
2
f(x,y,z)dv f(rsin cos ,rsin sin ,rcos )r sin drd d 上式可化为对r, , 的三次积分。

例 3 将三重积分 f (x, y, z)dv 化为球柱面坐标系下的累次积分，其中：
x 2
y
2
z
2
r
2。

解由于是球心在原点的球，所以球内任意一点的球面坐标 (r, , ) 满足
f(x, y, z)dv f(r sin cos , r sin sin ,rcos )r2 sin dr
例4求由球面x2 y2 z22Rz和顶角为2、以z轴为旋转轴的圆锥所围成立
体的体积
解球面坐标下，球面X2y2 z2 2Rz方程可化为
r 2Rcos
顶角为2、以z轴为旋转轴的圆锥为
则立体的球面坐标为
0 r 2Rcos
故立体的体积为
2
V dv r sin drd d
2 2 Rcos 2
d d r sin dr
0 0 0
1 3
2 Rcos .
20[§r sin ]° d
4 3 4 、
R (1 cos )
3
第二节二重积分的计算法
用定义计算二重积分是相当困难的事，而且非常麻烦，本节探讨行之有效的计算方
法和技巧。

•直角坐标系中的计算方法 用不等式I （x ） y
2（x ）
，a x b 来表示的区域，其中函数 ’X）、 2（x ）在区间
[a,b]上连续，如图
10—4所示，称为X —型区域；
用不等式i （y ） x 2
（y ），c y d 来表示的区域，其中函数 」y ）、 2（y ）在区
间
[c,d]上连续，如图
10—5所示，称为Y —型区域。

注意 X —型或Y —型区域，如果经过该区域内任意一点（即不是区域边界上的 点）作平行于x 轴（或y 轴）的直线，且此直线交区域的边界不超过两点。

1. X —型区域D 上的二重积分的计算法 对X —型区域D
1（x ） y 2（x ）
a x b
选x 为积分变量，x [a,b]，任取子区间[x,x dx] [a,b]。

设A （x ）表示过点x 且 垂直x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图
10— 6所示，则曲顶柱体体积V
的微元dV 为
dV A （x ）dx
那么曲顶柱体体积V 为
图 10—4 图 10—5 图 10—6 图 10—
1(y) x 2(y)
cyd
如图10— 7所示，选取y 为积分变量，则用垂直于y 轴的平面去截曲顶柱体，类似以 上的方法可得曲顶柱体的体积
d 2 (y)
V c [ 1
2(y) f(x,y)dx]dy
故二重积分的计算法为
d 2(y)
d
2
(y)
f(x,y)d c [ 2(y) f (x, y)dx]dy
c
dy 2
(y) f (x, y)dx
D
1 1
由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。

若区域D 为X —型，则先把x 看成常量，对y 进行积分，它的积分限一般是x 的 函数。

然后在对x 进行积分，它的积分限是常数。

若区域是DY —型，则先把y 看成常量，对x 进行积分，它的积分限一般是y 的 函数。

然后在对y 进行积分，它的积分限是常数。

这种先一个变量积分，然后再对另一个
变量积分的方法，称为累次积分法。

b
V A(x)dx
由图10— 6知，该截面是一个以区间[!(x), 2(x)]为底，以曲线z f(x,y) ( x 固 定)为曲边的曲边梯形，其
则曲顶柱体体积为
故二重积分的计算法为
f(x,y)d
D
2. Y —型区域D 上的 对Y —型区域D
A(x)
2
(x) 1
(x)
f (x,y)dy
b
a
[
2
(x)
(x)
f(x,y)dy]dx
b
a
[
2
(x) 1(x)
b
f(x,y)dy]dx dx
a
重积分的计算法 2
(x)
(x)
f(x,y)dy
3．累次积分上下限的确定方法
把二重积分化为累次积分，其关键是依据所给出的积分区域 D ，确定其属于什么类型，定出两次定积分的上下限，上下限的确定法如下
(1)在xy 平面上画出曲线所围成的区域 D
(2)积分限的确定
若区域是X —型区域，则先把区域D投影到x轴上，得到区间［a,b］，则区域D的最左点a和最右点b就是x的积分下限和上限。

在［a,b］上任意取一点x,过x画一条与y轴平行的直线，与区域D的边界曲线交点为y 1(x) ,y 2(x)。

如果1(x) 2(x)，那么下部边界曲线i(x)和上部边界曲线2(x)就是y的积分下限和上限，如图10—8 所示。

若区域是Y —型，则先把区域D投影到y轴上，得到区间［c,d］，则区域D的最下点c和最上点d就是y的积分下限和上限。

在区间［c,d］上任意取一点y，过y画一条与x轴平行的直线，与区域D的边界曲线交点为y 1(x)，y 2(x)。

如果
i(x) 2(x)，那么左部边界曲线i(x)和右部边界曲线2(x)就是x的积分下限和上
限，如图10—5 所示。

(3)若区域既不是X —型区域，又不是Y —型区域
用平行于x轴或y轴的直线，把区域D分成若干个属于同一类型的区域，如图10 —9
所示，然后在每个区域分别确定其上下限。

最后根据积分的性质即可求解积分。

(4)若区域既是X —型区域，又是Y —型区域
这种类型区域的累次积分可以交换积分次序。

即区域D既为X —型，可以用不等式
， a x b来表示。

又为Y —型的，可以用不等式i(y) x 2(y)， c y d来表示，贝U i(x) y 2(x)
b 2(x) d 2 (y)
a dx (x)f(x,y)dy c dy (y) f(x,y)dx
,其中D 是由y x 2, x 1,y 0所围成的区域
解 因为区域既是X —型区域，又是Y —型区域，所以可先对y 后对x 积分，也 可先对x 后 对y 积分。

先对y 后对x 积分
"Cf (宀尸讪心船*护矿心炸+护还宀存丁忙盏
例2求二重积分 f(x, y)d 化为两种不同次序的累次积分，其中 D 是由x a ，
D
x b ， y c ， y d 所围成的区域如图10—10所示，。

解 画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

先对y 后对x 积分，则
f (x, y)d
D
b
d dx f (x, y)dy
a
c
先对x 后对y 积分，则
f (x, y)d
D
d
b dy f (x, y)dx
c
a
例3求二重积分 f(x,y)d 化为两种不同次序的累次积分，其中
D 是由y x ，
D
x 轴，y 2 x 所围成的区域。

解画出积分区域D ，如图10—11所示
图 10— 8
图 10— 9 求二重积分(x 2 y 2)d
D
图 10 —10
先对y后对X积分，将区域D分成两个D i和D2，则
f(x,y)d
D1
f (x,y)d
f (x, y)d
D 1
dx
x
dx 0 f(x,y)dy 图10 —
11
2 2 x
dx
1 0
f (x,
y)dy
f(x, y)dy
2 2
dx
1 0
x
f(x,
y)dy
图10—12
先对x后对y积分，如图10—12所示。

f(x, y)d
D 1
d y
2 y
y f (x,y)dx
例4计算二重积分xyd
D 解画出积分区域D，如图域，先对x后对y积分，则，其中D是抛物线y2x 2所围成的区域。

10—13所示，是Y —型区
2 xyd 1dy
D
2
y2
y
xydx
2
2r X ,2
1【F y]y
y dy 45
8
例5求二重积分，其中D是由y x，y y轴所围成的区域。

解画出积分区域
先对y后对x积分,
其既是X—型区域，又是Y—型区域。

2
y就无法积分，
y :
dy
e y dx
1
2(1
.极坐标系中的计算法
如果极点在直角坐标系的原点，极轴为因此只能先对x后对y积分，贝y e1)
x的正半轴，则直角
坐标与极坐标的转换公式为
x r cos y r sin
贝U f (x, y) f (r cos , r sin )
在二重积分的定义中对闭区域D 的分割是任意的，在直角坐标系中用平行于坐标 轴的直线网来划分D ， d =dxdy 。

那么，在极坐标系下，用
为常数的射线，r 也为
常数的同心圆将闭区域D 分割成若干小区域。

在［,d ］与［r,r dr ］围成小区域的 面积d rdrd
故二重积分的极坐标形式为
在区间［,］上连续，则
f (x, y)d f (r cos , r sin
D
D
其中d rdrd 就是极坐标系中的面积元素。

设区域D 可以用不等式i ( ) r 2()，
)rdrd
来表示，其中函数
i ()
、 2()
f (x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
D
2()
d ()f (r cos , r sin )rdr
注 在极坐标系中，区域D 的边界曲线方程一般是r r()，所以通常选择先对r
后对的积分次序。

如果极点o 在区域D 的内部，区域D 的边界方程为r r( ), 0 2 ，则二重积
分为
2
r()
f (r cos , r sin )rdrd 0 d o f (r cos
D
如果极点o 不在区域D 的内部，从极点o 引两条射线 , 夹紧区域D ，那么区域D 的边界由 r i ( ), r a()构成，且.()a()，则二重积分为
f (r cos , r sin )rdrd
r 2() f (r cos ,
r i ()
注 有一些二重积分在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数, 可以把它转化为在极坐标系中的积分即可， 反之依然。

含有X 2 y 2
等于定值时，往往化为极坐标系下进行计算。

例6求二重积分
(x 2
, y 2
)d ，其中
D 是圆环a 2
D
第三节二重积分的应用
•几何学上的应用
由二重积分的几何意义知，当z f (x, y) 0时，在xoy 面上以区域D 为底面，以 z f (x, y)为曲顶的曲顶柱体的体积为
f (x, y)d ；当z f (x,y) 0时，在xoy 面上
D
以区域D 为底面，以z f (x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积为 f(x, y)d 。

D
因此利用二重积分可以求曲顶柱体的体积。

就 另外对直角坐标系被积函数中 解由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式, 坐标计算比较方便。

把x rc °s
y r sin
即可转化为极坐标系的积分形式。

f (x, y)d f (r cos ,r sin
D
D
在对其进行累次积分计算
)rdrd
3
r drd
D
f(x, y)d r 3
drd
D
D
r 3dr -(b 4
4
a 4
)
例7求二重积分
e
x 2 y 2
d
D
，其中D 是圆 x 2
(a 0)
解 由于极点o 在区域D 的内部，区域D 的边界方程为 a , 0 2 x ，
e
D
，所以这个二重积分化为极坐标计算比较方
便。

2
2
2
b 2
b 2
e r rdrd n d re r
dr 2 re r
dr
a
a
D
显然，这个二重积分化为极
rdrd 代入,
4)2
d / 0
(
为曲顶的曲顶柱体的体积。

•物理学上的应用 1.平面薄片的重心
重积分 f(x, y)d 化为两种不同次序的累次积分，其中
D 是由x a , x b ,
D
y c , y d 所围成的区域如图10 —10所示，。

画出积分区域D ，其既是X —型区域，又是Y —型区域。

先对y 后对x 积分，则
先对x 后对y 积分，则
例1求由旋转抛物面z 6
与xoy
所围成的立体的体积。

解该立体以曲面z
6 x 2
2
y 为顶,
6为底的曲顶柱体。

由对称性知
(6 x 2
D
y 2
)d
2
d
o
"(6 r 2
)dr 18
例2求由锥面z 的体积。

及旋转抛物面z 6 x 2
y 2
所围成的立体
解两曲面的交线
—2
2
x y
2
6 x
y 2
4 2
,在xoy 面上投影
z y 2
4 0
两曲面所围成的立体的体积是以
x 2 y 2为曲顶的曲顶柱体的体积减去以
(6 D
x 2
y 2
)d
(6
D
r )rdrd
x 2
D
2
d
y 2
d
6 o
(6
(6 x D
r)rdr
32 3
x 2
y 2
)d
f (x, y)d
b d
dx a c
f(x, y)dy
第三节 三重积分的概念
三重积分的概念
物体是一根细直线棒，则非均匀细棒的质量为
n M lim f ( i ) x i
i1
f (x)dx
物体是一块平面薄片，则非均匀薄片的质量为
n
M lim 0 f ( i , i ) i f(x, y)dxdy 0
i1 D
物体是一空间立体，空间有界闭区域 ，则非均匀立体的质量计算是将 任意分 成 n 个小
闭区域 v, v , , v ，其中 v 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积。

在 v 1 2 n i i 上任取一点 ( , , ) ，则小立体的质量近似为
iii
f ( ., i , i ) V ( i =1, 2,…，n )
i i i i
所以，立体的质量近似地等于
n
f (
i , i , i ) V
i
i 1
i i i i 如果当各小空间立体区域的直径中的最大值 趋于零时，这和式的极限总存在，
则称此极限值即立体质量，即
n
M lim 0 f ( i , i , i ) V i
定义 设f(x,y,z)是空间有界闭区域 上的有界函数，将 任意分成n 个小闭区域
V ，其中 V 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积。

在每个 ni
n
点(.，.，.)，作乘积 f( , , ) v ( i =1, 2,…，n )，并作和
f v ，如果当
i i i
i i i i
i 1 i i i i
各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时这和式的极限总存在，则称此极限为函数
f (x,y)d
D
c
dy f(x, y)dx
V 1, V 2, V 上任取一
i。