习题课02 材料力学

例题2-4 组合杆由铝、铜和钢组成，受载如图所示。已知AB段为 铝，Eal= 70GPa，AAB=58.1mm2，BC段为铜， Eco= 120GPa， ABC=77.4mm2， CD段为钢， Est= 200GPa，ACD=38.7mm2，求A 端相对于D端的位移ΔA-D 。凸缘尺寸的影响不计。 3.5kN 1.75kN 解： (1) 求轴力 N AB = 2 kN 1.5kN 2kN N BC = −5 kN N CD = 1.5 kN A C 1.75kN D B 3.5kN
(2) 求ΔA-D
180
120
160
A端相对于D端的位移即为各段变形的代数和： N AB l AB N BC l BC N CD lCD Δ A− D = Δ l AB + Δ l BC + Δ lCD = + + Eal AAB Eco ABC Est ACD
=
2000 × 0.18 - 5000 × 0.12 - 1500 × 0.16 + + 70 × 109 × 58.1 × 10-6 120 × 109 × 77.4 × 10-6 200 × 109 × 38.7 × 10-6
G ≤ 17 kN
例题2-3 图示桁架，水平杆BC的长度l 保持不变，斜杆AB的长 度可随角θ的改变而变化，两杆由同一材料制造，许用应力为 [σ ]，若两杆应力同时达到许用应力，且使结构具有最小重量， 试求（1）两杆的夹角；（2）此时两杆的横截面面积之比 。 A 解： (1) 求各杆轴力 ∑ Fx = 0 N 2 = N 1 cosθ 1 ∑ F y = 0 N 1 sin θ = F N 1 = F sin θ N 2 = F cosθ sin θ C 2 θ B (2) 两杆同时达到许用应力时的横截面面积 l F N1 F N 2 F cosθ A1 = = A2 = = y N1 [σ ] sin θ [σ ] [σ ] sin θ [σ ] x θ (3) 两杆的夹角 设材料比重为γ，结构总重量为W N2 B 1 cosθ ⎞ γFl ⎛ W = γA1l1 + γA2 l 2 = + ⎜ F [σ ] ⎝ sin θ cosθ sin θ ⎟ ⎠ dW =0 令 可得： θ = arctan 2 = 54°44′ dθ 1 A1 N 1 = = = 3 = 1.732 (4) 截面面积之比等于其轴力之比： A2 N 2 cosθ
(
)
(
)
例题3-2 图示AB轴的转速n =120 r/min，B轮输入功率P = 45kW ，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半由水平轴H 传出。已知D1=60cm，D2=24cm，d1=10cm，d2=8cm，d3=6cm， C d 轴的[τ ]＝20MPa 。试对各轴进行强度校核。 3 D2 d1 解： d2 D1 H P 45 TB = 9549 = 9549 × = 3581 N ⋅ m n 120 A B M n1 TB M n2 TB 2 τB = = = 18.2 MPa τ H = = = 17.8 MPa 3 3 Wp1 π d1 16 Wp2 π d 2 16 600 D1 n= × 120 = 300 r min 轴C的转速： nC = D2 240 PC 22.5 = 9549 × = 716.2 N ⋅ m 轴C的转矩：TC = 9549 nC 300 M n3 TC τC = = = 16.9 MPa 故各轴的强度足够。 3 Wp3 π d 3 16
G
30° 45°
(2) 按撑杆AB强度条件： N AB = 3.34G ≤ [σ ]A = [σ ]π D 2 − d 2 4 = 94.2 kN
B
(
)
G ≤ 28.2 kN (3) 按钢索1强度条件： 2 N 1 = 1.73G ≤ [σ ]A1 = [σ ]π d1 4 = 29.4 kN
综上所述，起重机的许可吊重应为17kN。
l
（2）变形几何关系
2 BB ′ = CC ′
1
Δ l 2 δ − Δ l1 = 2 sin α sin θ
D A
B
C
（3）物理方程
N 1l 1 N 2l 2 Δ l1 = Δl2 = EA EA 联立求解： N 1 = 2.96kN N 2 = 3.76kN
Δ
α
N2
θ
N1
l -Δ 1 δ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
Δl 1 • B
例题2-8 图示不同三种材料的三种杆被连接在一起，且当温度为 t1=12℃ 时被固定在两墙之间，钢、黄铜和紫铜的弹性模量、线 膨胀因数和横截面面积分别为：Est=200GPa，αst=12×10-6K-1， Ast=200mm2，Ebr=100GPa，αbr=21×10-6K-1， Abr=450mm2， Eco=120GPa，αco=17×10-6K-1， Aco=515mm2，试求当温度升至 18℃时刚性支承A、B的支反力。 解：解除两端约束,以约束反力FA， FB代替 D B FB FA A 平衡方程 FA = FB C 几何关系 100 Δ l = Δ l AC + Δ lCD + Δ l DB = 0 200 300 物理方程 N AC l AC + α st l AC ΔT Δ l AC = (Δ l AC ) N + (Δ l AC )T = Est Ast N CD l CD N DB l DB Δ lCD = + α br lCD ΔT Δ l DB = + α co l DB ΔT Ebr Abr Eco Aco 其中 N AC = N CD = N DB = − FA 联立求解可得： FA = FB = 4.2 kN
Δl与杆长l 相比很小，故略去(Δ l ) ，得 EAΔ 2 Δ 2 Nl N= Δl = = 2
2
B
N α α N l+Δ l F
Δ
Δ Δ ≈ 由图中可得： cos α = l + Δl l F 3 因此 Δ = l
EA
2l
EA
2l
讨论：此例若按小变形原理， 以结构变形前的位置来建立力 的平衡方程，将求不出轴力N 与载荷F的关系。
= (8.85 - 6.46 - 3.10 ) × 10-2 mm = -7.1 × 10-3 mm
例题2-5 图示M12螺栓内径d1= 10.1mm，螺栓拧紧后，在其计算 长度l = 80mm内产生伸长Δl= 0.03mm。已知材料的E=210GPa， 比例极限σp=200MPa，试求螺栓内的应力及螺栓的预紧力。 M12 Δ l 0.03 −4 解： 拧紧后螺栓的线应变为 ε = = = 3.75 × 10 l 80 假设螺栓材料还处在弹性变形阶段，则可用 胡克定律计算拉应力为 σ = Eε = 210 × 109 × 3.75 × 10 − 4 = 78.8 MPa < σp 计算结果说明可用胡克定律。 6 −3 2 螺栓的预紧力为 F = σA = 78.8 × 10 × π 10.1 × 10 4 = 6.33 kN 讨论： 假设螺栓在计算长度内产生伸长Δl= 0.1mm，则螺栓的 线应变为 ε = Δ l l = 0.1 80 = 1.25 × 10 − 3 若用胡克定律计算拉应力为 σ = Eε = 210 × 109 × 1.25 × 10 − 3 = 262.5 MPa > σp 计算结果说明不可用胡克定律，因为全部线应变中已有塑性 应变，螺栓材料不再是弹性变形阶段。
B' 1
l2
C C'
（4）计算各杆应力 2960 N1 σ CD = 14.8 MPa = -4 A 2 × 10
2
σ BD
3760 N2 = = = 18.8 MPa -4 A 2 × 10
例题3-1 钢制实心轴和铝制空心轴(α=0.6 )的长度及横截面积 均相等，钢的[τ 1]＝80MPa ，铝的[τ 2]＝50MPa 。若仅从强度 条件考虑，问哪一根轴能承受较大的扭矩 ？ 解： 假设钢轴的直径为d，铝轴外径为D，根据面积相等： π d 2 π D2 d = 0.8 D = 1−α2 4 4 π d 3 0.512π D 3 = 钢轴： Wp1 = Mn 16 16 τ= ≤ [τ ] 3 3 Wp πD 0.8704π D 4 1−α = 铝轴： Wp 2 = 16 16 0.512π D 3 × 80 × 106 = 80.4 D 3 钢轴承受的扭矩：M n1 ≤ [τ 1 ] ⋅ Wp1 = 16 0.8704π D 3 M × 50 × 106 = 85.5 D 3 铝轴承受的扭矩： n 2 ≤ [τ 2 ] ⋅ Wp 2 = 16 由此可见，铝轴承受的扭矩大。
(
)
例题2-6 图示AB、AC两杆原在水平位置。在F力作用下两杆变 形，A点的垂直位移为Δ。若两杆的抗拉压刚度均为EA，试求Δ 与F的关系。（两杆自重略去不计。） 解：由结构和载荷的对称性可知，两杆内力相同，用N来表示。 l l 按变形以后位置来考虑力的平衡： A C 2 N cos α − F = 0 B F 几何关系： 2 2 l l 2 + Δ 2 = ( l + Δ l ) = l 2 + 2 lΔ l + ( Δ l ) C A
例题2-9 图示结构，横梁AC可看作刚体，它由钢杆1、2支撑，杆 1的长度做短了δ= l/3×10-3，两杆的A=2mm2，E=200GPa，试 l l 求强制装配后各杆横截面上的应力。 C 解： 1）静力平衡方程 （ B A δ 2 ∑ M A = 0 N 1 × 2l sin θ = N 2 l sin α
3m
例题2-2 图示某工地自制悬臂起重机，撑杆AB为空心管，D=105 mm，d =95mm，钢索1和2互相平行，钢索1可看为直径d1 =25mm y 的圆杆。若[σ ]=60MPa ，试确定起重机的许可吊重。 A N2 解： (1) 作滑轮A的受力图 ∑ Fx = 0 A 2 NAB N1 N 1 + N 2 + G cos 60° − N AB cos 15° = 0 x G ∑ F y = 0 N AB sin 15° − G cos 30° = 0 15° 1 不计摩擦力，N2 = G，则 N AB = 3.34G N 1 = 1.73G
例题2-1 图示结构，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。若 钢丝的[σ ]=160MPa ，AC梁受有均布载荷q =30kN/m。试求所需 钢丝的根数。若将BC杆改为两个等边角钢焊成的组合截面，试 B 确定所需角钢的型号，已知角钢的[σ ]=160MPa 。 ∑ MA = 0 解： (1) 受力分析求轴力 A α C 2 N = 100kN N sin α ⋅ 4 = 30 × 4 / 2 q N 100 × 10 3 4m = = 6.25 cm 2 (2) 按强度条件计算 A ≥ [σ ] 160 × 106 N A α C A 6.25 = = 199 根 所需钢丝根数： n = 2 q A1 π × 0.2 / 4 (3) 若改为角钢，则一个角钢的面积为 A1 = A / 2 = 3.125 cm 2 查型钢表选择40×40×4，A1=3.086 cm2，此时 100 × 10 3 N = σ= = 162 MPa >[σ ] 超过[σ ]1.25%， 2 A1 2 × 3.086 × 10 − 4 故可用。
例题2-7 图示一刚体，由两根等截面等长度同材料的拉杆和铰链 A安装于支座上。已知F=160kN，[σ ]=160MPa，试求拉杆所需 C 的截面面积。 1.2m B 1.2m A 解： 1）静力平衡方程 （ 6m ∑ M A = 0 N 1 × 2.4 + N 2 × 1.2 − F × 6 = 0 F （2）变形几何关系 （3）物理方程
Δ l1 = 2Δ l 2
Δ l1 =
补充方程 N 1 = 2 N 2 联立求解： N 1 = 2 F
N 1l 1 E1 A1
Δl2 =
N 2l 2 E 2 A2
N1 N2 FAx
C B A
FAy C Δl1 B A Δl2
F
N2 = F
（4）计算截面面积 依题意，用较大轴力来计算所需的截面面积，即 N 1 2 × 160 × 10 3 = A1 = A2 ≥ = 2 × 10 − 3 m 2 [σ ] 160 × 106