第十三章 波动参考答案(改)

第十三 波动 参考答案
一、选择题参考答案：
1．C ；2．C ；3．A ；4．D ；5．C ；6．C ；7．B ；8．C ；9．D ；10．A ；11．B ；12．C ；13．B ；14．B ；15．D ；16．B ；17．A ；18．C
二、填空题参考答案：
1、0.02 m ，2.5 m ，100 Hz ，250 m/s
2、0.8m ，0.2m ，125 Hz
3、y 轴负向，y 轴正向，y 轴正向
4、m ])330
(165cos[1.0ππ+-=x t y 或 m ])330
(165cos[1.0ππ--
=x t y
5、
2
3π
6、m )2
2cos(
2.0π
π
-
=t y P
7、（1）2
22π
πϕ+
=k ， ,2,1,0±±=k （2）2
322ππϕ+
=k ， ,2,1,0±±=k
8、)](22cos[212L L vt A y +-
+=λ
π
ϕπ
1L k x -=λ， ,2,1±±=k
9、
10、θcos IS 11、2/π 12、)22cos(2212
22
1λ
π
r
L A A A A A -++=
13、])/(2cos[1πλπ++=x vt A y （SI ） 或 ])/(2cos[1πλπ-+=x vt A y （SI ）
)2
2cos()2
2cos(
2π
ππ
λ
π
+
+
=vt x A y （SI ）或 )2
2cos()2
2cos(
2π
ππ
λ
π
-
-
=vt x A y （SI ）
14、（1）m )200cos(01.0t y π=
)
（2）m )200cos(02.0t y π= 15、（1）0ϕ（x 处质点比原点落后的相位） （2）3y 16、)42cos(2L x t A y λ
π
λπ
ω-
+
=（m ）
17、t A y ωcos 2-= （m ）或 )cos(2πω±=t A y （m ）
t A ωωυsin 2=（m ）0
18．
（图（A ）中a 、b 、c 、d 四点的速度均为零）
19、)2
2
cos()22cos(
2π
ππ
λπ
+
+
=vt x A y （m ）
2
)21(λ
-=k x ， ,3,2,1=k
20、))(3
12cos(300
0SI t H
y
ππνμε+
=, 如图
21、H E S
⨯=, 单位时间通过垂直于传播方向单位面积的辐射能（或能流密度）
三、计算题参考答案：
1. 已知一平面简谐波波函数为y =0.2cos π(
2.5t-x),式中x ,y 以m 为单位，t 以s 为单位，试求；(1)该
简谐波的波长、周期、波速；（2）在x =1m 处质点的振动方程；（3）在t =0.4s 时，该处质点的位移和速度。

解：（1）对照波函数的标准形式：]2cos[λπωx t A y -=，T
2.52π
πω==，得)(8.0T s =，)(2m =λ，)/(5.2s m T
u ==λ
波速。

（2）x =1代入波函数得x =1m 处质点的振动方程
y =0.2cos π(2.5t -1)= 0.2cos(2.5πt -π)=0.2cos (2.5πt )（m ）。

（3）对x =1m 处的振动方程对时间t 求一阶和二阶导数得速度和加速度分别为：
E
v
H
y
y
)
O x z
y
v =-0.5sin （2.5πt ），a =-0.75cos （2.5πt ），将t =0.4s 代入得v =0， a =-0.75（m/s 2）
2. 一平面波传播经过媒质空间某点时，该点振动的初相位为ϕ0，已知该波的振幅为A , 角频率为ω，
媒质中的传播速度为v ，（1）写出该点的振动方程，（2）如果以该点为x 轴坐标原点，波的传播方向为x 轴正向，写出该波的波函数表达式。

解：（1）该点的振动方程]cos[0ϕω+=t A y （m ） （2） 该波的波函数表达式])(cos[0ϕω+-
=v
x t A y (m)
3. 一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点P 的振动规律为y =A cos （ωt +ϕ），根据图中所示两种
情况，分别列出以O 为原点的波函数。

解：注意图中l 为绝对值，由题目条件可知，P 点的初相位为ϕp =ϕ。

（1）对于左边a 图，原点的初相比P 点超前，因此ϕω
ϕ+=v
l 0，沿x 轴负向传播的波函数为：
])(cos[])(cos[00ϕω
ωϕω+++
=++
=v
v v
l x t A x t A y (m)
(2) 对于右边（b ）图，原点的初相比P 点超前，故ϕω
ϕ+=v
l 0，沿x 轴正向传播的波函数为：])(cos[])(cos[00ϕω
ωϕω++-
=+-
=v
v v
l x t A x t A y (m)
4. 已知波长为的平面简谐波沿x 轴负方向传播，x =0处质点的振动方程为
)(2cos SI ut A y λ
π
=
其中λ为波长，u 为波速， （1） 写出该平面简谐波的表达式； （2） 画出t =T 时刻的波形图。

解：（1）由题意，u T λ
π
πω22==， 因此x =0处质点的振动方程为)(cos SI t A y ω=， 原点x =0处的初相位为0，因此该波的波函数为：
)](2cos[u
x
t u A y +=λπ（SI ）
（2）t =T 代入上式得：
)2cos(
)](2cos[
)(
πλ
π
x
A u
x T u A T y =+
=，由此可画出波形图。

5. 平面简谐波在媒质中以波速u =5m/s 沿x 轴正向传播，原点O 处质元的振动曲线如图所示。

（1） 求该波的波动方程；
（2） 求25m 处质元的振动方程，并画出该处质元的振动曲线； （3） 求t =3S 的波形曲线方程，并画出该时刻的波形曲线。

解：由图可得振幅为A =2cm ，周期为4s ，
角频率2
2π
πω=
=
T
，根据振动曲线可知
O 点在t =0时位于平衡位置，之后向正向 最大位移处运动，可画出旋转矢量图， 由图可知初相位2
π
ϕ-=o ，
（1）该波的波函数为：
](2
)5(2cos[
02.0])(cos[m x t u
x t A y o π
π
ϕω-
-
=+-
=（2）将x =25代入波函数得25m 处质元的振动方程
振动曲线如图所示),)(2
cos(
02.0]32
cos[
02.0]2
)5
25(2
cos[
02.0m t t t y π
ππ
π
π
=-=-
-
=
（3）t =3S 代入波函数方程得t =3S 的波形曲线方程为：
=--=]2
)5
3(2
cos[02.0π
πx y ））（（）（m 10
x cos 2.0010
x cos 2.00πππ=-
6、图示为一平面简谐波在t =0时刻的波形图，求 （1）该波的波动表达式；
（2）P 处质点的振动方程。

解：由图可得:波长λ=0.40（m ）该波振幅为A =0.04（m ）
uT =λ ，)(508
.04.0s u
T ==
=
∴λ
，5
22ππω=
=
T
（rad/s ）
t =0时，原点O 处质点处在平衡位置，将要向正的最大 位移方向运动（画出下一瞬间的波形曲线即可判断）， 根据旋转矢量图，可得O 点的初相位为2
π
ϕ-=o
(1) 该波的表达式（波函数）为
)](2)08
.0(52cos[
04.0])(cos[m x t u
x t A y o π
πϕω-
-
=+-
=
(2) x =0.20代入上式得P 处质点的振动方程
))(4.0sin(04.0]2
34.0cos[04.0]2
)08
.02.0(52cos[
04.0m t t t y ππππ
π=-=-
-
=
7、两列波在同一直线上传播，波速均为1m/s,它们的波函数分别为y 1=0.05cos π（x -t ）, y 2=0.05cos π（x +t ）, 式中各 均采用国际单位制。

（1）写出在直线上形成驻波方程，（2）给出驻波的波腹、波节的坐标位置；（3）求在x =1.2m 处的振幅。

解：（1）在直线上形成驻波方程为y =y 1+y 2=)(cos 05.0)(cos 05.0t x t x ++-ππ,根据三角函数和差
化积公式得驻波方程：
y =))(cos()cos(1.0)(cos 05.0)(cos 05.0m x t t x t x ππππ=++- （2）驻波波节位置是y =0处，即,...)2,1,0(2
cos ±±=+
=k k x π
ππ=0，得：
,...)2,1,0(2
±±=+
=k k x π
ππ解得
,...)2,1,0(2
1±±=+
=k k x k （m ）
驻波波腹位置是y =max y ±即cos πx =1±，得,...)2,1,0(±±==k k x ππ，解得
,...)2,1,0(±±==k k x k （m ）
（3）x =1.2m 代入驻波方程得
))(cos(081.0)2.1cos()cos(1.0)2.1(m t t y πππ≈=
y /m
因此x =1.2m 处振动振幅为0.081m
8、在真空中，一平面电磁波的电场强度由下式给出（式中各量均用国际单位制单位）：
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=-⨯==0
)](102cos[6.00
8
y y
x E c x t E E π 求：（1）波长和频率；（2）传播方向；（3）磁场强度的大小和方向。

解:（1）由题给出条件可知该电磁波的角频率为8102⨯=πω（rad/s ）
)(10
21028
8
s T T
-=⇒=
⨯=ππω，频率ν=
)(1018
Hz T
=，波长为)(3m CT ==λ
（2）该波沿x 轴正向传播
（3）因为电场和磁场互相垂直，二者的叉乘H E
⨯与传播方向构成右手螺旋关系
因此电场在y 正方向，则磁场在z 正方向，
)(10
0.29
max max 00max 0max 00T C
E E H B E H -⨯==
==⇒=εμμεμ
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
-⨯⨯===-))]((102cos[100.20
089T c x
t B B B y y x π。