人教版初中数学《四边形》竞赛专题复习

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人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)四边形几何专题回顾(含解析)

八年级数学四边形几何专题回顾一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（）A．B．1C．D．22．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．2C．4D．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，若BE ＝4，CF ＝3，EF ＝1，求AB 为（）A ．3B ．2.5C ．3.5D ．46．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝，∠AOB ＝60°，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +2EF 的值为（）A ．+1B ．C ．D ．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（）A ．B ．C ．D ．8．在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，CD ＝4，E 为菱形内部一点，且AE ＝2，连接CE ，点F 为CE 中点，连接BF ，取BF 中点G ，连接AG ，则AG 的最大值为．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AD ＝6，CD ＝8，P 是AB 上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.410．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.411．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（）A．B．C．2D．312．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（）A．B．2C．D．213．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）A．B．C．D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．517．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（）A．B．C．D．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A．B．4C．D．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（）A．5B．5C．5D．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（）A．B．1C．D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故选：B．2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．2C．4D．【解答】解：延长CF交AB于G，∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，FG＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1，故选：A．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF ＝3，EF＝1，求AB为（）A．3B．2.5C．3.5D．4【解答】解：如图，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理可证：DC＝DF，∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠EBC+∠FCB＝×180°＝90°，∴BE⊥CF，∵EG∥FC，∴BE⊥EG，∵EF∥CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EG＝FC，在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，根据勾股定理，得BG＝，∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，∴5＝2AB，∴AB＝2.5．故选：B．6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD 的中点，连接PE，则线段PE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，∴EH＝6，∠DOC＝90°，∴EP＝＝＝2，故选：A．8．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，∵在菱形ABCD中，∴O为AC中点，∵F为CE中点，∴OF＝AE＝1，当C、F、E、A共线时，OF也为1，∵G为BF中点、H为OB中点，∴GH＝OF＝，∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，∴OA＝AB＝2，，∴OB＝＝，∴OH＝，∴AH＝＝，∵AG≤AH+HG，∴AG≤，∴AG的最大值为．故答案为：．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM ⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.4【解答】解：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∴BO＝DO＝5，∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24，∴S△AOB＝S△DAB＝12，∴×AO×PM+×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．故选：A．10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD，∵DF垂直平分OC，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，设CD＝x，则AC＝2x，在Rt△ACD中，由勾股定理得可知：AD2+CD2＝AC2，即32+x2＝（2x）2，解得x＝，∴，∴，∵△OCD是等边三角形，DF⊥OC，∴，设CF＝y，则DF＝2y，在Rt△CDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2＝DF2，即，解得y＝1，∴CF＝1，BF＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理可知：AB2+BF2＝AF2，即，∴，故选：B．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（）A．B．2C．D．2【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，∴BO＝CO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为2，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，2＝CO×EO+BO×EF，∴2＝××EO+×EF，∴（EO+EF）＝4，∴EO+EF＝，故选：A．13．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为　﹣5　．【解答】解：如图，连接BD，AP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AD＝5，∴BD＝＝＝，∵点A与点P关于DE对称，∴DE垂直平分AP，∴PD＝AD＝5，∵BP+PD≥BD，∴BP+5≥，∴BP≥﹣5，∴BP的最小值为﹣5，故答案为：﹣5．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为　13　．【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故答案为：13．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）A．B．C．D．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．5【解答】解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，又∠AGE＝∠EHF＝90°，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．17．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC＝4，BG＝2，∴CG＝＝＝2，∵PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2﹣2，故选：A．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A．B．4C．D．【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，∵BF⊥AE，∴DL∥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，∴BL∥DF，∴四边形BFDL是平行四边形，∵∠AGB＝90°，∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵E为BC中点，∴BE＝CF＝BC＝CD，∴DF＝CF＝CD，∴BL＝DF＝CD＝AB，∴AL＝BL＝AB，∴＝＝1，∴AH＝GH，∵DA＝AB＝4，∴DG＝DA＝4，故选：B．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是　菱　形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是　　．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF ＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC＝BC，∴AH＝，由勾股定理可得，CH＝，∵，可得，AN＝，∴ME＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是　菱　形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为．【解答】解：（1）∵AB＝BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为菱．（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD．当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠CDM＝60°，∵CD＝AB＝4，∠CMD＝90°，∴sin60°＝，∴CM＝2，∵S△ADC＝S△ADP+S△CDP＝•AD•PE+•CD•PF＝•AD•CM，∴PE+PF＝CM＝2，∴PE+PF的最小值为2．故答案为2．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．【解答】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P ′F最小，此时P′E′+P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝AB＝3，由勾股定理可得，CH＝＝4，∵×AB×CH＝×BC×AN，可得，AN＝，∴ME′＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH＝∠ABC＝∠BEH＝∠F＝90°，由旋转的性质得：AB＝EB，∠CBE＝30°，∴∠ABE＝60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH＝∠EBH＝∠ABE＝30°，AH＝EH，∴AH＝AB•tan∠ABH＝×＝1，∴HD＝AD﹣AH＝﹣1．故选：A．24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（）A．5B．5C．5D．【解答】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：C．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝a，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝a，CH＝a，∴DH＝a﹣a，∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，故选：C．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作MH⊥DE于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠2＝60°，∴△AED为等边三角形，∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，∴∠5＝∠6＝30°，∴△MDE为等腰三角形，∴DH＝EH＝，在Rt△MDH中，MH＝DH＝×＝，∴S△MDE＝×1×＝．故选：D．。

人教版八年级数学下册四边形复习

初中数学试卷金戈铁骑整理制作四边形复习1．特殊平行四边形的判定对角线的四边形是平行四边形对角线的四边形是矩形对角线的平行四边形是矩形对角线的四边形是菱形对角线的平行四边形是菱形对角线的四边形是正方形对角线的平行四边形正方形对角线的矩形是正方形对角线的菱形是正方形2.中点四边形任意四边形的中点四边形是对角线相等的中点四边形是对角线互相垂直的中点四边形是对角线相等且互相垂直的中点四边形是3.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于4．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．5.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．6. 已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，则∠AEO ．7．已知如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE = ED，P是对角线上任意一点，AB CD第5题图DCBAPF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G 。

则PF + PG 的长为_ _cm8.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，E 是BC 的中点，若AB=12，AC=10,则DE 的长是EDCBANMD CBA9. 如图,已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是10．如图已知AB ∥DC ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20, 则梯形ABCD 面积为11．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,AD=2,BC=3,45BCD ∠=︒,将腰CD 以点D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则⊿ADE 的面积是EDCB A12.如图，在梯形梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是对角线BD 、AC 的中点，AD=22㎝， BC=38㎝，则EF= ；13.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条 B ．4条 C ．5条 D ．6条14．若O 是四边形ABCD 对角线的交点且OA=OB=OC=OD ，则四边形ABCD 是（） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形 15．能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是（） A ．AB ∥CD ，AD=BC; B ．∠A=∠B ，∠C=∠D;C ．AB=CD ，AD=BC; D ．AB=AD ，CB=CD16.等腰梯形的腰长为13cm ，两底差为10cm ，则等腰梯形高为（）(A)12cm (B)69cm (C)69cm (D)144cmED CBA17.如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是 ( )(A)3(B) 23 (C) 5(D)2518．如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1、l 2、l 3分别通过A 、B 、C 三点，且l 1∥l 2∥l 3，若l 1与l 2的距离为5，l 2与l 3的距离为7，则正方形ABCD 的面积等于（） A 70 B 74 C 144 D 148第18题图19.如图已知梯形ABCD 的中位线为EF ，且△AEF 的面积为6cm 2，则梯形ABCD 的面积为A ．12 cm 2B ．18 cm 2C ．24 cm 2D ．30 cm 2（）20.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为A.17B.17C.18D.1921.如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为A.2 3B. 332C. 3D.622.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．423.如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．AD BCEF （第19CDBAL 1L 2 L 3FEDCBA第17题A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形24.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．625. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG =43 CG 2； ③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论A ．只有①②．B ．只有①③．C ．只有②③．D ．①②③．26.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形'''D C AB ，边''C B 与DC 交于点O ，则四边形OD AB '的周长．．是 (A) 22 (B) 3 (C)2 (D) 21+27．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P ．若1AE AP ==， 5PB =．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2； ③EB ED ⊥； ④16APD APB S S ∆∆+=+； ⑤46ABCD S =+正方形．其中正确结论的序号是（） A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤28. 如图，已知：E 、F 为⊿ABC 的边AB 、BC 边的中点，在AC 上取G 、H 两点，使AG=GH=HC ，连接EG 、FH 并延长交于点D求证：四边形ABCD 是平行四边形10题APEDCBOC 'B 'D 'DCBAABCD EFG H第25题图（第24题图） FEDCBABACD图2FHG E DCBA29. 在△ABC 中，∠C=900，AC=BC ，AD=BD,PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，求证：DE=DFP FEDCBA30.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=900，∠DCB=900，E 、F 分别是BD 、AC 的中点求证：EF ⊥ACABCD EF31.如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的中点，F 是CD 上一点，AE 平分∠BAF 求证：AF=BC+CFFEDCBA32.如图11，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE⊥BC，垂足为E ， PF⊥CD，垂足为F ，求证：EF ＝AP33．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交于点F 。

人教版九年级数学专题复习七四边形

5.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）
A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形
6.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）,则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
中
考
链
接
1.（2012•襄阳）如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是（）
A．πcmB．2πcm
C．3πcmD．4πcm
6.如图，在正方形中，．若，求的长．
7．如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长
线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连
接PG．
（1）求证：∠GCF＝∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4.．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点.将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
5.如图，已知□ABCD的对角线BD=2cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为( )

人教版初中数学四边形知识点总复习附答案

人教版初中数学四边形知识点总复习附答案一、选择题1．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =3OD = ∴2221OA AD OD +=∴21OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．2．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（）A ．11B ．10C ．9D ．8 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理先求出BO 的长，再根据平行四边形的性质即可求解.【详解】∵6AC =，∴AO=3，∵AB ⊥AC ，∴BO=2234+=5∴BD=2BO=10，故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.3．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )A ．5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】【分析】过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程，即可求解．【详解】解：过点D 作DE BC ⊥于点E由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．AD BC a ∴==∴12DE AD a =g 2DE ∴=由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s5BD ∴=Rt DBE V 中，2222(5)21BE BD DE =-=-=∵四边形ABCD 是菱形，1EC a ∴=-，DC a =DEC Rt △中， 2222(1)a a =+-解得52a =故选：C ．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．4．如图，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．22aD ．32a 【答案】C【解析】【分析】根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=2a. 故选C. 【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点，32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,Q∴在BC上存在一个点P，使PEFV是等腰三角形；③当EF为底，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上，∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点．综上所述，满足题意的点P的个数是6．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C7．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S∆FCG＝3，其中正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用折叠性质和HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG，从而判断①；设BG=FG=x，则CG=6-x，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC为等腰三角形，由此推出1802FGCFCG-∠∠=o，由①可得1802FGCAGB-∠∠=o,从而判断③；过点F作FM⊥CE，用平行线分线段成比例定理求得FM的长，然后求得△ECF和△EGC的面积，从而求出△FCG的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确；过点F 作FM ⊥CE ，∴FM ∥CG∴△EFM ∽△EGC∴FM EF GC EG =即235FM = 解得65FM =∴S ∆FCG ＝116344 3.6225ECG ECF S S -=⨯⨯-⨯⨯=V V ，故④错误正确的共3个故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )A ．4B ．8C ．6D ．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG 与BF 交点为O ，∵AB=AF ，AG 平分∠BAD ，AO=AO ，∴可证△ABO ≌△AFO ，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF ∥BE ，∴可证△AOF ≌△EOB ，AO=EO ，∴AE=2AO=8，故选B ．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．9．如图，在四边形ABCD 中，90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o 连接对角线BD ，过点D 作//DE BC 交AB 于点,E 若23,AB AD CD =+=，则CD =（）A ．2B ．1C ．13+D 3【答案】B【解析】【分析】先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=，再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC ，然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ，进而得到EB=ED ，最后在Rt ADE V 中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在四边形ABCD 中∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o∴∠ABC 30︒=∵//DE BC∴∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC在Rt ABD V 和Rt BCD △中∵AD CD BD BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABD Rt BCD ≅V V∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED ∵23AB =+在Rt ADE △中，设AD=x,那么DE=2x,AE=232x +-()2222322x x x ++-=解得：121;73x x ==+（舍去）故选：B ．【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用，熟练进行逻辑推理是解题关键．10．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．【详解】Q 四边形OABC 是正方形，(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒由题意，分以下两种情况：（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D ¢落在第一象限由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D ¢的坐标为(2,10)（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上，旋转后点D 的对应点D ¢的坐标为(2,10)或(2,0)-故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．11．下列说法正确的是（）A ．对角线相等的四边形一定是矩形B ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C ．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D ．“用长分别为5cm 、12cm 、6cm 的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.12．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，23），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23DOB=60°，∴点D的坐标为（33∵点A的坐标为（﹣1，0），∴22(3)419+=故选：D．此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．∆绕点A顺时针旋转90︒到13．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE∆的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）ABFA．4 B．25C．6 D．26【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【详解】Q绕点A顺时针旋转90︒到ABF∆ADE∆的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴==，AD DC25Q，DE=2∴∆中，2226Rt ADEAE AD DE=+=故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．14．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB，∵AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质15．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．16．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠ADC ＝∠GCD ；③CA 平分∠BCG ；④∠DFB ＝12∠CGE ．其中正确的结论是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．17．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．EF BC，分别交AB、19．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//PF=，则图中阴影部分的面积为CD于点E、F，连接PB、PD，若1AE=，8（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×1×8=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．20．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( ) A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．。

初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第10章四边形试题(无答案) 新人教版

第10章四边形§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=︒，3AD =，5BD =，求边CD 的长．DABC DAB CE(a)(b)解析如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠．所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =．又因为30ADC ∠=︒，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=︒，从而在Rt ADE △中，4DE =．所以4CD =．10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠．解析如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ．A FBE DGC易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形．解析如图，连结EF ，则EF 是中位线．AGFEB D C由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥，故结论成立． 10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．解析如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()11112222FG AD BE CE CA BD =+===，于是BF FD ⊥． ADBCADFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积．解析如图，易知ABC △与ACD △均为正三角形．设菱形边长为x ，则由120BAD ∠=︒，得BD ，AC x =，所以)12x =x =此菱形面积为212BD AC ⋅=． 10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC解析设AQ 、DP 延长后交于R ，且R 在BC 上，则由中位线知2AD PQ =，2AD PN =，2BC QN =，故2BCAD=． 10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB =5BC =6CD =，求AD ．解析如图所示，作AF BC ⊥，DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ，作FG AD ∥交DE 于G ，则AFB △为等腰直角三角形，90AFB ∠=︒，AB =故FB A F =；90DEC ∠=︒，60DCE ∠=︒，6CD =，故3CE =，DE =．F BCEADG所以EF FB BC CE =++538+=，GE DE DG DE AF =-=-==从而AD FG ==10.1.8★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，D 是BC 上一点，D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ，若BE CF =,12AD BC =．解析如图，连结AF 、AE 、BF 、CE ．FAEBDC由对称，有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒，故F 、A 、E 共线．又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒，故FB ∥EC ，而BE CF =，所以梯ECBF 为等腰梯形．又AF AD AE ==，于是1122AD EF BC ==．10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'ADBCA'D'O解析如图，AD BC ∥，A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′．设AC 、BD 交于O ，连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ，故A ′、O 、C ′共线，且A O AO C O CO '='，同理B ′、O 、D ′共线，B O D O ''BO DO =，所以由1BO CODO AO=≠得1B O C OD O A O''=≠''．故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上，则A ′D ′∥B ′C ′，即A ′B ′C ′D ′成梯形．10.1.10★已知：直角梯形ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB BC =，E 是AB 上一点，AE AD =，75CEB ∠=︒，求ECD ∠．A DE BC解析如图，连结AC ，则由AB BC =，AB BC ⊥，得45BAC DAC ∠=︒=∠．又AE AD =，故AEC △≌ADC ，EC CD =．又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒，故DEC △为正三角形，于是60ECD ∠=︒．10.1.11★★在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 、AD 和BD 的长．ACED解析如图，延长AD 、BC 至E ，则60DCE ∠=︒，22CE CD ==．又60A ∠=︒，故BE =2BC =，又4AE =，CE，故4AD =．至于求BD ，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质：AC，sin 60BD AC =⋅︒=§10.2 正方形10.2.1★在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且AF BC CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．ADBECFP解析如图，延长AE 、DC ，设交于P ，则B E C E =得CP AB BC ==，FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠，即2BAF BAE ∠=∠．10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONBCl解析如图，设O 是正方形ABCD 的中心，l 通过O ，AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ．由于90MAO AOM DON ∠=︒-∠=∠，AO OD =，故AMO △≌OND △，2222212AM DN AM MO AO +=+==．对B 、C 的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1．10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =．解析如图，作OE FC ∥，交AF 于E ，OE 为ACF △中位线，2CF EO =．问题变为证明EO GO =．因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=︒+∠=∠+︒=∠，于是结论成立．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =．解析如图，由MD CN =知BNC △≌CMD △，故90PBC PCB NCM PCB ∠+∠=∠+∠=︒，故C M B N ⊥．延长CM 、BA ，设交于Q ，则QA CD AD ==，A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点，于是AP AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK解析如图，设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．由于DA AB =，AK AM =，90DAM BAM BAK ∠=︒+∠=∠，于是DAM △≌BAK △，由此得KB 与DM 垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥，12SP KB RQ ∥∥，故四边形PQRS 为正方形．10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．解析如图，作MN AB ⊥于N ，则22222,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ⎧-=-=⎪⎨⎪+=⎩ADBLCMN解得34AN AB =，14BN AB =．不妨设3AN =，3BN =，MN x =，则 ()22229(4)DM AN AD MN x =+-=+-， ()2222()14CM BN CM MN x =+-=+-，由条件90CMD ∠=︒，知222DM CM CD +=，即()2102416x +-=，解得4x = 又作ML BC ⊥于L，于是4LC x =-1ML NB ==，故60MCD LMC ∠=∠=︒．10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDEA解析如图，易知AF EP ED ==，AO DO =，45FAO EDO ∠=︒=∠，于是AFO △≌DEO △≌BGO △，于是OF OG =，90AOB FOG ∠=︒-∠，故OFG △为等腰直角三角形，45OFG ∠=︒．10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析连结BL ，由正方形关于AC 对称，知BL DL =．又作LJ AB ⊥于J ，由3AL LC =，易知1142JB AB KB ==，故J 为KB 中点，JL 垂直平分KB ，于是LK LB =，LKB LBK ADL ∠=∠=∠，或180AKL ADL ∠+∠=︒,故90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．解析如图，作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直，垂足为Q 、P ．P HMFQ AEBKC G易见，90QFA QAF BAK ∠=︒-∠=∠，又90FQA AKB ∠=︒=∠，FA AB =，故有AQF △≌BKA △，FQ AK =，同理PH AK =，于是FQ PH =，FM MH =．10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证：AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．解析如图，延长CB 至H ，使BH DF =，连结AH ，则AHB △≌AFD △，90HAF BAD ∠=∠=︒，904545HAE EAF ∠=︒-︒=︒=∠，又AH AF =，AE AE =，故AHE △≌AFE △，AB 、AG 为其对应边上的高，于是AG AB =．A D F GH B E C反之，若AG AB =，则Rt ABE △≌Rt AGE △，EAG BAE ∠=∠，同理，FAG DAF ∠=∠，于是1452EAF BAD ∠=∠=︒．10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．解析延长DA 至M ，使BM BE ⊥过B 作BG AM ⊥，G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形，所以BC BG =．又CBE GBM ∠=∠，Rt BEC △≌Rt BMG △，故BM BE =．又45ABE ABM ∠=∠=︒，故ABE △≌ABM △，10AM AE ==．设CE x =，则10AG x =-，()12102AD x x =--=+，12DE x =-．在Rt ADE △中，222AE AD DE =+，故()()22100212x x =++-，即210240x x -+=，解之，得14x =，26x =．故CE 的长为4或6．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．解析如图，易知MDC NCB ∠=∠，故DMC △≌CNB △，故NB MC =，又45NBO OCM ∠=︒=∠，BO CO =，于是ONB △≌OMC △，90NOM BOC ∠=∠=︒．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．解析如图，作BM 、FN 与AC 垂直，垂足为M 、N ，于是由AB BF ∥知1122FN BM AC AF ===，于是30FAC ∠=︒．又45CAB ∠=︒，于是15BAF ∠=︒，15FAE CAE ∠=∠=︒，AE 、AF 三等分CAB ∠． ADBCMNFE。

学生版人教版初中数学《四边形》竞赛专题复习

人教版初中数学《四边形》竞赛专题复习§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，已知ABC△是等边三角形，30ADC∠=︒，3AD=，5BD=，求边CD的长．D AB CDAB C E(a)(b)10.1.2★在ABCD中，2AB AD=，F为AB中点，CE AD⊥D交AD(或延长线)于E．求证：3BFE AEF∠=∠．A F BED G C10.1.3★AD、BE、CF是ABC△的三条中线，FG BE∥，EG AB∥,四边形ADCG是平行四边形．A GF EB D C10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．ADBCADFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积．10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD ．F BCEADG10.1.8★★★已知ABC△中，90A∠=︒，D是BC上一点，D关于AB、AC的对称点分别为F、E，若BE CF=,12AD BC=．FA EBDC10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'A DB CA'D'O10.1.10★已知：直角梯形ABCD，AD BC∥，AB BC⊥，AB BC=，E是AB上一点，AE AD=，75CEB∠=︒，求ECD∠．A DEB C10.1.11★★在四边形ABCD中，60A∠=︒，90B D∠=∠=︒，2AB=，1CD=，求BC、AD和BD的长．AB C ED§10.2 正方形10.2.1★在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上的点，且AF BC CF=+．求证：2BAF BAE∠=∠．A DBE CF P10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONB Cl10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．ADBLCMN10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB ⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDEA10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．P HMFQ AEBKCG10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证： AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．AD F GH B E C10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．ADBCMNFE。

人教版八年级下册数学四边形总复习人教版

图一
图二
17 第十七页，共21页。
七、：在梯形ABCD中，AD∥BC， AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,求梯形的面积。
A
D
B
C
18 第十八页，共21页。
作业:
(1) 第1２０页1题填在书上 (2) 第1２１页8、10、1４题做在作业本上
19
第十九页，共21页。
祝你学习愉快！
20 第二十页，共21页。
3. 对角线相等的平行四边形是矩形。
知识联系：1. 等腰三角形 2. 直角三角形
D O
C
4
第四页，共21页。
菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
性质：1. 菱形具有平行四边形的一切性质。
2. 菱形的四条边都相等。
B
3. 菱形的对角线互相垂直〔平分〕
且一条对角线平分一组对角。
判定：1. 定义判定法：
6 第六页，共21页。
关系图
峰高
勇
攀
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7
第七页，共21页。
梯形
定义：一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫梯形。
等腰梯形性质：
A
D
1. 等腰梯形同一底边上的两个角相等。
2. 等腰梯形的对角线相等。
B
C
判定：1. 定义判定法：两腰相等的梯形是等腰梯形。
2.同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
一组邻边相等 + 平行四边形=菱形
2. 四条边都相等的四边形是菱形。
3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
知识联系：等腰三角形，直角三角形
A OD C
5
第五页，共21页。
正方形
定义：一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形 = 正方形〔又叫正四边形〕。

初中数学竞赛专题-第九章完全四边形的性质及应用1

第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形．六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线．如图91-,直线ABC 、BDE 、CDF 、AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．完全四边形中既有凸四边形、凹四边形,还有折四边形以及四个三角形．如图91-中有凸四形ABDF ,凹四边形ACDE ,折四边形BCFE ,四个三角形ACF △、BCD △、DEF △、ABE △．在完全四边形ABCDEF 中,对四个三角可以写出梅涅劳斯定理的4个式子（见图11-后说明）；若直线AD 交BF 于H ,交CE 于G ,则可以写出塞瓦定理的7个式子（见图23-）；利用空全四边形及其对角线的相交可以讨论梅涅劳斯定理与塞瓦定理的互推（图22-）；完全四边形的四个三角形的外接圆共点（即完全四边形的密克尔点及西姆松线（见图67-））等．这是我们已介绍的完全四边形的性质,完全四边形还有一系列有趣的性质,下面我们介绍其中的几条：性质1设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点．（1）若B 、C 、E 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线AD 所在直线上,且OM AD ⊥；（2）若A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线CE 上,且OM CE ⊥．注此性质还可参见例10（9）,例11（3）、（5）．O B KC(a)MD FEOBMC F 图9-2(b)D证明（1）如图92- （a ）．设过B 、C 、D 三点的圆交直线于点M ',则AD AM AB AC AE AF '⋅=⋅=⋅,即知点M '在DEF △的外接圆上,亦即知点M '就是完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．设K 为AM 延长线上一点,由2CME CMK KME CBE CFE CFE COE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠,知C 、E 、O 、M 四点共圆．于是1902OMK OME EMK OCE COE ∠=∠+∠=∠+∠=︒,即证．（2）如图92- （b ）．同（1）可证过B 、C 、D 三点的圆与CE 的交点即为完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．由圆幂定理（即点对O 的幂）有 222CO CD CF R CM CE R =⋅+=⋅+,222ED ED ED R EM EC R =⋅+=⋅+（其中R 为O 半径）．上述两式相减,有()2222CO EO CE CM ME CM ME -=-=-．由定差幂线定理,知OM CE ⊥．推论1在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ,则CDB 、CFA 、EFD 、EAB 、OAD 、OBF 六圆共点；CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD 、 OFA 六圆共点；EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点．事实上,可设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则由性质1（2）,知M 在CE 上,且OM CE ⊥．于是,知C 、M 、D 、B 及M 、E 、F 、D 分别四点共圆,有9090BMO BMC BDC ∠=︒-∠=︒-∠()9018090BDF BDF =︒-︒-∠=∠-︒=11(180)909022BOF BOF BFO ︒-∠-︒=︒-∠=∠．从而知,点M 在OBF 上．同理,知点M 在OAD 上．由密克尔点的性质知,CDB 、CFA 、EFD 、EAB 四圆共点于M ．故以上六圆共点M ．同理,设N 为完全四边形CDFGAB 的密克尔点,则CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD ,OFA 六圆共点于N ．设L 为完全四边形EFAGBD 的密克尔点,则EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点于L ．图9-3l 6l 5l 4l 1BDCGMFE N L推论2如图93-,在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ．CDB 与CFA 、CDA 与CFB 、OBD 与OFA 、ODA 与OBF 、EAB 与EFD 、EAD 与EFB 、OAB 与ODF 、GAB 与GDF 、GBD 与GFA 共九对圆的连心线分别记为1l ,2l ,3l ,⋯,9l ,则1l 、2l 、3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点；4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点；3l 、7l 、 8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．事实上,可设M 、L 、N 分别为完全四边形ABCDEF 、EFAGBD 、CDFGAB 的密克尔点,则OM CE ⊥于M ,OL EG ⊥于L ,ON CG ⊥于N ．注意到OM 是ODA 与OBF 的公共弦,则4l 是OM 的中垂线,从而知4l 过OC 的中点,4l 也过OE 的中点．因CN 是CDA 与CFB 的公共弦,则2l 是CN 的中垂线,而ON CN ⊥,从而2l 过OC 的中点；又注意到CM 是CDB 与CFA 的公共弦,则1l 是CM 的中垂线,又OM CM ⊥,则1l 过OC 的中点,ON 是OBD与OFA 的公共弦,则3l 是ON 的中垂线．而ON CN ⊥,3l 过OC 的中点．故1l 、2l ,3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点．同理,注意到LE 、ME 、OL 分别是EAD 与EFB ．EFD 与EAB 、OAB 与ODF 的公共弦,推知4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点．注意到GN 、LG 、OL 、ON 分别是GAB 与GDF 、GBD 与GFA 、OAB 与ODF 、OBD 与OFA 的公共弦,推知,3l 、7l 、8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．注由上述推论,即知下列竞赛题即为其特殊情形：（1）（1990年全国高中联赛题）四边形ABCD 内接于圆,对角线AC 与BD 交于点P ,PAB △、PBC △、PCD △、PDA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．（2）（2006年国家集训队测试题）四边形ABCD 内接于O ,且圆心O 不在四边形的边上,对角线AC 与BD 交于点P ,OAB △、DBC △、OCD △、ODA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．性质2完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD 、BF 、CE 的中点M 、N 、P 共线（即牛顿线）．图9-4证明如图94-,分别取CD 、BD 、BC 的中点Q 、R 、S ,于是,在ACD △中,M 、R 、Q 三点共线；在BCF △中,S 、R 、N 三点共线；在BCE △中,S 、Q 、P 三点共线．由平行线性质,有MQ AC MR AB =,HR FD NS FC =,PS EBPQ ED =．对BCD △及截线AFE 应用梅涅劳斯定理,有1CA BE DEAB ED EC⋅⋅=,即有1QM RN SP MR NS PQ ⋅⋅=．再对QRS △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知M 、N 、P 三点共线．注此性质中的线称为牛顿线,其证明还有10多种．性质3完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分同一线段成同一比值,称这两点调和分割这一线段）．证明如图95- （a ）、（b ）,在完全四边形ABCDEF 中,对角线AD 所在直线交BF 于M ,交CE 于N ,需证AM MDAN ND=（此式表明点M 、N 调和分割AD ）． NPBDCFAEBDCFANE (b)(a)图9-5MM若BF CE ∥,如图95- （a ）,则由AM BF MDAN CE ND==,即证．若BF CE ≠,可设直线BF 与CE 交于点P ．对ADF △及点B 应用塞瓦定理,有1AM DC FEMD CF EA⋅⋅=．对ADF △及截线CNE 应用梅涅劳斯定理,有1AN DC FEND CF EA⋅⋅=．上述两式相除,即得AM MDAN ND=．对于图95- （b ）,类似地可证明有BM MF BP NF =（M 、P 调和分割BF ）,CN NECP PE=（N 、P 调和分割CE ）；对于图95- （a ）,也可看作直线BF 、CE 相交于无穷远点,也有这两式．性质4完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴,且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上．C图9-6证明如图96-,在完全四边形ABCDEF 中,分别以对角线AD 、BF 、CE 为直径作圆,这三个圆的圆心就是三条对角线的中点M 、N 、P ．设1H 、2H 、3H 、4H 分别为DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的垂心,注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心（见根轴的性质3及垂心的性质4）．在完全四边形ABCDEF 中,显然1H 、2H 、3H 、4H 不重合,由于DEF △的垂心1H 是三个圆两两根轴的根心,而对于DEF △,在它的边所在直线上的高C 、B 、A ,点1H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,即点1H 在这三个圆两两的根轴上．同样,对于ACF △,在它的边所在直线上的点B 、D 、E ,其垂心2H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,以及点3H 、4H 均关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等．故1H 、2H 、3H 、4H 均在这三个圆的两两的根轴上,即这三个圆两两的根轴重合,亦即共轴,且四个三角形的垂心在这条根轴上．注证明1H 、2H 、3H 、4H 四点共线,也可以这样证：由于完全四边形ABCDEF 的四个DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的外接圆交于一点M ,且点M 关于这四个三角形的西姆松线为同一条直线l ,根据西姆松线的性质：点P 的西姆松线平分点P 与三角形垂心的连线（西姆松定理及应用中例5）,则知l 过1MH 、2MH 、3MH 、4MH 的中点,从而点1H 、2H 、3H 、4H 共线．推论3完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两圆连心线垂直于公共弦）．性质5完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆,这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上,且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等．上述性质即指在完全四边形ABCDEF 中,1O 、2O 、3O 、4O 分别为ACF △、BCD △、DEF △、ABE △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为423O O O △、413O O O △、241O O O △、123O O O △的垂心,则（1）1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆（斯坦纳圆）；（2）423O O O ACF △∽△,123O O O ABE △∽△,241O O O DEF △∽△,413O O O BCD △∽△；（3）1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上,且四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ．证明设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,连接BM 、2CO 、2O M 、3MO 、DM ,则（l ）12211801802O O M CO M CDM ∠=︒-∠=︒-∠．同理,13180O O M FDM ∠=︒-∠．从而()1213360180O O M O O M CDM FDM ∠+∠=︒-∠+∠=︒．因此,1O 、2O 、3O 、M 四点共圆．同理,3O 、4O 、2O 、M 四点共圆．故1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．图9-7(a)（2）由BM 为2O 与4O 的公共弦,则知24O O BM ⊥．同理23O O DM ⊥．于是423O O O BMD BCD ACF ∠=∠=∠=∠．同理,24323180O O O O MO BAF CAF ∠=︒-∠=∠=∠,故423O O O ACF △∽△．同理,123O O O ABE △△∽．于是241O O O BEA DEF ∠=∠=∠．又214213314213324O O O O O O O O O O O O O O O ∠=∠+∠=∠+∠ CAF ACF DFE =∠+∠=∠．从而241O O O DEF △∽△．同理,413O O O BCD △∽△．（3）自2O 作34O O 的垂线交BE 于1H '点,连4BO 、2BO 、41O H ',由4O 为ABE △的外心,有1490H BO BAE '=︒-∠及1242439090H O O O O O BAE '∠=︒-∠=︒-∠,知14124H BO H O O ''∠=∠,从而1H '、2O 、B 、4O 四点共圆,于是14212H O O H BO ''∠=∠．又2O 为BCD △的外心,知12290H BO O BE BCD '∠=∠=︒-∠．于是1424239090H O O BCD O O O '∠=︒-∠=︒-∠,即14242390H O O O O O '∠+∠=︒．这表明41O H '也垂直于23O O ,即知1H '为423O O O △的垂心,故1H '与1H 重合．过3O 过14O O 的垂线交AE 于2H ',连4O E 、3O E 、42O H ',则4290O EF ABE '∠=︒-∠,()4321431439018090=18090=90O O H OO O OO O CBD ABE ABE '∠=︒-︒-∠=∠-︒=∠-90︒︒-∠-︒︒-∠,从而2H '、4O 、3O 、E 四点共圆,则有42343O H O O EO '∠=∠．又132134432429090OO H OO O O O H BDC O EH BDC ABE ACF '''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠, ()()42343334290O H O O FO DEO DEO DEF DEF O EH ''∠=∠=∠+∠=∠-︒+∠-∠()()9090180180DEF DEF ABE ABE EDF ACF =∠-︒+∠-︒-∠=∠+︒-∠-︒=∠,即13242390OO H O H O ''∠+∠=︒,这说明2H '为134O O O △的垂心,故2H '与2H 重合．过点2O 作14O O 的垂线交AC 与点3H ',连1CO 、2CO 、31H O ',则()32121432132118018090H O O O OO H O O DEF H O O AFC '''∠+︒-∠=∠+︒-∠=∠+∠=︒,3190H CO AFC '∠=︒-∠．于是32131H O O H CO ''∠=∠,即知3H '、C 、2O 、1O 四点共圆,有23121O H O O CO '∠=∠．又3243211243112490H O O H O O OO O H CO OO O AFC FDE '''∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠-∠ ()9090FDE FED FDE FED=︒-∠++∠=︒-∠,()231121290O H O OCO ACF ACO FCO ACF AFC '∠=∠=∠-∠+∠=∠-︒-∠()90180180CBD CAF CBD CAF FED CAF FED +∠-︒=︒-∠+∠-︒=∠+∠-∠=∠．即32423190H O O O H O ''∠+∠=︒,由此知3H '为124O O O △的垂心,故3H '与3H 重合．OMH 1H 2H 3H 4O 4O 1O 3O 2图9-8过点3O 作12O O 的垂线交CF 于点4H ',连1O F 、14O H '、3O F ,由1O 为ACF △的外心,有490H FQ FAC '∠=︒-∠及4312139090H O O O OO FAC '∠=︒-∠=︒-∠,知41431H FO H O O ''∠=∠,从而4H '、3O 、F 、1O 四点共圆,于是41343H O O H FO ''∠=∠．又3O 为DEF △的外心,知43390H FO DFO FED '∠=∠=︒-∠ 于是4131329090H OO FED OO O '∠=︒-∠=︒-∠,即41313290H O O O O O '∠+∠=︒．这表明14O H '也垂直于23O O ,即知4H '为123O O O △的垂心,故4H '与4H 重合．综上可知,1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上．下面,我们证明四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ．由于1O 、2O ．3O ．4O 共圆,设该圆圆心为O ,设M 为23O O 的中点．由垂心的性质（即Servois 定理）：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离,等于外心至其对边的距离的两倍．于是412O H OM =且41O H OM ∥,142O H OM =且14O H OM ∥,故1441O H O H ∥,即1414O H H O 为平行四边形,从而有4114H H O O ∥．同理1221H H O O ∥,2332H H O O ∥,3443H H O O ∥．从而四边形12342143H H H H O O O O ≌．推论4在完全四边形ABCDEF 中,A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,1O 、2O ．3O ．4O 分别为BCD △、DEF △、ABE △、ACF △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为234O O O △、134O O O △、124O O O △、123O O O △的垂心,M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,1K ,2K ,3K ,4K ,5K ,6K 分别34AO O △、13BO O △、14CO O △、12DO O △、23EO O △、24FO O △的外心,24O O 与13O O 所在直线交于点1P ,直线21O O 与43O O 交于点2P ,1J 、2J 分别为14O O 、23O O 的中点,直线12I H 与34H H 交于点1Q ,直线13H H 与24H H 交于点2Q ,直线12O O 与34H H 交于点L ,直线43O O 与12H H 交于点N ,124O O O △的外心为X ,123H H H △的外心为Y ,X 与Y 交于点S 、T 则（1）O 在X ,且12ACE OO O △∽△；（2）14231423O O O O OM ST H H H H ∥∥∥∥∥；（3）14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥；（4）1243OO O MO O △△≌；（5）点1J 、2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上；（6）点1K 、2K 、4K 、6K 在直线ST 上,3K 、5K 在直线XY 上且它们关于直线XY 对称；（7）1J 、2J 分别OMC △、OME △的外心；（8）1P 、2P 分别BOF △、AOD △的外心．证明如图99-,（1）联结1OO 、2OO 、1O M 、2O M 、AD 、MD 、DO 、OB 、OF 、1O D 、2O D ,则()1111180902O MD O DM DO M DCM ∠=∠=︒-∠=︒-∠． P 2K 5L J 2J 1Q 2Q 1P 1XY K K 1K 2K 3K 4N H 1H 2H 3H 4S OO 4O 1O 3O 2B D M F AT图9-9同理,290O MD DEM ∠=︒-∠．从而()12180180180O MO DCM DEM BDC BAF ∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒-∠．① 又1O 为BDC △的外心,知1OO 为BD 的中垂线,于是,112O OD BOD BAD ∠=∠=∠,212O OD FOD FAD ∠=∠=∠,则1212O OO O OD O OD BAD FAD BAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠．② 由①、②知,点O 在X 上,注意到12121OO O OO D O O D BCD MCD BCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．③ 由②、③知,12OO O ACE △∽△．（2）注意到14O O 是公共弦CM 的中垂线,23O O 是EK 的中垂线,以及OM CE ⊥,则知1423O O O O OM ∥∥．设此三线段的中垂线为l ,则知点X 在l 上．由性质5（3）知,1414H H O O ∥,2323H H O O ∥,故1423H H H H OM ∥∥．又注意到四边形1414H H O O 为平行四边形,则由1H 为234O O O △的垂心,知四边形1414H H O O 为矩形,即知14H H 与14O O 的中垂线共线,即知点Y 也在直线l 上,亦即知l 为ST 的中垂线,故为ST OM ∥．（3）由性知5（3）知,X 与Y 为等圆,知ST 垂直平分XY ,且41XO YH =,即知四边形14XYH O 为等腰梯形,亦知ST 为14H O 的中垂线,同理ST 为23O H 的中垂线．于是14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥,且其前五条线段的中垂线为ST ．（4）由上即知1243OO O MO O △≌．（5）由（2）、（3）即知,1J ．2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 均在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上．（6）由性质5（3）知,12H H 在1K 上,即知1K 在14H O 的中垂线ST 上,同理,2K 、4K 、6K 亦在ST 所在的直线上．又3K 在14O O 的中垂线上,则3K 在XY 所在的直线上．同理,5K 也在直线XY 上．注意到1K X 垂直平分34O O ,4K Y 垂直平分34H H ,则有14K X K Y ∥．同理41K X K Y ∥由此知1K 与4K 关于XY 对称．同理5K 与3K 、2K 与6K 也关于XY 对称．（7）注意到四边形14O O OM 为等腰梯形,1J 为14O O 的中点,14O O 为CM 的中垂线,则111OJ J M J C ==,即1J ,为OMC △的外心,由此知1J 在OC 上,且1J 为OC 的中点．同理,2J 在OE 上,且2J 为OE 的中点．（8）注意到1802180BMF BAF BOF ∠=︒-∠=︒-∠,知M 在OBF △的外接圆上,又1O 、3O 分别是四边形BCMD 、ABM E 的外接圆圆心,知13O O 为公共弦BM 的中垂线,同理,42O O 为FM 的中垂线．于是13O O 与42O O 的交点1P 为BOF △的外心．同理,43O O 与12O O 的交点2P 为AOD △的外心注以上推论由山东济南刘世军给出．性质6在完全四边形ABCDEF 中,点G 是对角线AD 所在直线上异于点A 的任意一点,则cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠证明如图910-,点G 可以在对角线AD 上或其延长线上,连CE 与直线AD 相交于点K ．在ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1AB CK EF BC KE FA⋅⋅=．① AED KBCGAFE D KBCGBDCFAK GE图9-10(c)(b)(a)注意到sin sin GAB GBC S AB AG AGBBC S CG BGC⋅∠==⋅∠△△, sin sin GCK GKE S CK CG AGCKE S EG AGE ⋅∠==⋅∠△△, sin sin GEF GFA S EF EG EGAFA S AG AGF⋅∠==⋅∠△△ 将上述三式代入①式,得sin sin sin sin sin sin BGC EGFAGC AGB AEG AGF∠∠=∠⋅∠∠⋅∠．② 而()sin sin ?sin cos cos sin BGC AGC AGB AGC AGB AGC AGB ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠, ()sin sin cos EGF AGE AGF ∠=∠-∠=sin cos cos sin AGE AGF AGE AGF ∠⋅∠-∠⋅∠．将上述两式代入②式,得cot cot cot cot AGB AGC AGF AGE ∠-∠=∠-∠．故cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．性质7在完全四边形ABCDEF 中,过B 、F 作与对角线AD 平行的直线分别交对角线CE 于G 、H ,连结BH 、FG 相交于点P ,则点P 在直线AD 上．GQHBDCFAPE图9-11证明延长AD 交CE 于点Q ．对ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1CQ EF ABQE FA BC⋅⋅=．()* 由BG AD FH ∥∥,有AB GQ BC CG =,AQCQ CG BG=⋅,FH EF EA AQ =⋅．将上述三式代入()*式得1GQ EA EHQE AF BG⋅⋅= 又由BG FH ∥,有FH FPBG PG=．于是上式变为1GQ EA EP QE AF PG ⋅⋅=．对EFG △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知A 、P 、Q 共线,故点P 在直线AD 上．性质8在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF 有内切圆的充分必要条件是下述三条件之一：（1）BC BE FC FE +=+；（2）AC DE AE CD +=+: （3）AB DF BD AF +=+．证明（1）充分性：如图912-,在CF 上截取CG CB =,在EA 上截取EH EB =,连BG 、GH 、BH ,则FH EH EF EB EF =-==．又BC BE FC FE +=+,则BE FE FC BC -=-．故FH FC BC FC CG GF =-=-=．分别作BCG ∠、BEH ∠、GFH ∠的平分线．由CB CG =、EB EH =、FG FH =,知上述三个角的平分线所在直线是BGH △三边的垂直平分线,从而这三个角平分线交于一点．设该点为I ,由角平分线的性质,知I 到CB 与CF 、到EB 与EF ,到FC 与EA 的距离均相等,即I 到四边形ABDF 四边的距离相等,所以,四边形ABDF 有内切圆．必要性：设内切圆分别交AB 、BD 、DF 、FA 于点P 、Q 、R 、S ,则CP CR =、BP BQ =, EQ ES =,RF FS =．于是()()BC BE CP BP BQ QE +=-++=CP QE CR ES CR +=+=+()()RF FS ES CR RF ES FS FC FE -+=++-=+．（2）充分性：在AC 上截取CM CD =,在AE 上截取EN ED =,则AM AC CM AC CD AE D E =-=-=- （已知条件）AE EN AN =-=,则DCM ∠、DEN ∠、MAN ∠的平分线就是MDN △的三边的中垂线,由此即知四边形ABDF 有内切圆．必要性：同（1）可证（略）．（3）由切线长定理即证．性质9在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆（或折四边形BCFE 有下切圆）的充分必要条件是下述三条件之一：图9-13A（1）AB BD AF FD +=+；（2）AC CD AE ED +=+；（3）BC CF BE EF +=+．证明（1）充分性：在射线AB 上取点K ,使BK BD =,在射线AF 上取点L ,使得FL FD =,连DK 、DL 、KL ．由AB BK AB BD AF FD AF FL AL +=+=+=+=,知BDK △、FDL △、DLK △均为等腰三角形,设点A I 为DKL △的外心,易知A I B 、A I F 、A I A 分别为DKL △的三边DK 、DL 、KL 的中垂线,即它们分别是DBC ∠、DFE ∠、EAC ∠的平分线,则点A I 到四边形ABDF 各边的距离相等,即知四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆,圆心即为A I ．必要性：（略）．（2）必要性：设旁切圆与四边形分别相切于点M 、P 、Q 、N ,则AM AN =、CP CM =、EQ EN =、DP DQ =,从而AC CD AC CP PD AM PD AN DQ AE EN +=++=+=+=++ DQ AE EQ QD AE ED =++=+．充分性：（略）．（3）类似（2）而证．【典型例题与基本方法】例1在凸四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,E 是CD 边上一点,BE 交AC 于G ,DG 交BC 于F ．求证FAC EAC ∠=∠．（1999年全国高中联赛题）证明如图914-,在完全四边形CFBGDE 中,点A 为对角线CG 所在直线上一点,由题设知BAC CAD ∠=∠．由性质6,即知FAC EAC ∠=∠．例2已知圆1S 与圆2S 交于P 、Q 两点,1A 、1B 为圆1S 上不同于P 、Q 的两个点,直线1A P 、1B P 分别交圆2S 于2A 、2B ,直线11A B 和22A B 交于点C ．证明：当点1A 和1B 变化时,12A A C △的外心总在一个定圆上．（IMO 43-预选题,2003年国家队集训测试题）B S 2S 1QO 1O 2PA 2B 1CA 1O 图9-15证明如图915-,当点1A 和1B 变化时,点C 、1B 、1A 、P 、2B 、2A 组成完全四边形的六个顶点．由性质5知点Q 恰为全四边形的密克尔点,由此即知12A A C △的外心O 在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆（即斯坦纳圆）上,例3如图916-,四边形ABCD 的两条对角线交于点O ,两组对边的延长线分别相交于E 、F ,过O 作EF 的平行线交BC 、AD 于I 、J ．求证：OI OJ =．（《数学教学》2006年第10期问题681号）IOB DMCFANGEJ 图9-16证明延长AC 交EF 于点G ,在完全四边形ABECFD 中,由性质3,有AO OCAG GC=．又IJ EF ∥,则OI OC AO OJAG GC AG GF===．故OI OJ =．注类似地,在完全四边形ABECFD 中,直线IJ 交AE 于M ,交直线ED 于N ,则有ON OC AO OMEG GC AG EG ===,故OM ON =．由此,我们可推证得：过完全四边形对角线的交点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行对角线的同一端点所在边（或延长线）相交,所得线段被对角线交点平分．【解题思维策略分析】1．灵活应用完全四边形的优美性质解题例4以ABC △的边BC 为直径作半圆,与AB 、AC 分别交于点D 、E ．过D 、E 作BC 的垂线,垂足分别是F 、G ．线段DE 、EF 交于点M ．求证：AM BC ⊥．（1996年第37届IMO 中国国家队选拔赛试题）A 图9-17证明如图917-,连结BE 与CD ,设它们相交于点O ,因BE AC ⊥,CD AB ⊥, 则O 为ABC △的垂心,于是AO BC ⊥．又DF BC ⊥,EG BC ⊥,则DF AO EG ∥∥．由性质7,得点M 在AO 上,于是AM BC ⊥．例5如图918-,在ABC △中,90BAC ∠=︒,G 为AB 上给定的一点(G 不是线段AB 的中点),设D 为直线CG 上与C 、G 都不相同的任意一点,并且直线AD 、BC 交于E ,直线BD 、AC 交于F ,直线EF 、AB 交于H ．试证明交点H 与D 在直线CG 上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题）GP N BDMCFAHE图9-18证明作BM CG AN ∥∥,点M 、N 均在直线EF 上．连结AM 、BN ．对CEF △,由性质7,知AM 与BN的交点P 在CG 上．则HB BM PB GBHA AN PN GA===．这说明点H 由G 唯一确定．即点H 与D 在直线CG 上的位置无关．注例5中条件90BAC ∠=︒是多余的．例6如图919-,任意五角星形12345A A A A A 12345C C C C C 的五个小三角形的外接圆分别交于星形外的五个点1B 、2B 、3B 、4B 、5B ．求证：1B 、2B 、3B 、4B 、5B 五点共圆．DA 5A 1A 2A 3A 4B 5B 1B 2B 3B 4C 5C 1C 2C 3C 4图9-19证明由于五角星可看做是由五个完全四边形所组成,由密克尔性质知每一个完全四边形有一个密克尔点,此题即证五个密克尔点1B 、2B 、3B 、4B 、5B 共圆．设22B A 的延长线与14C B 的延长线交于点D ,令141B B D ∠=∠,1432B C A ∠=∠,1253B B A ∠=∠,4D ∠=∠,2335B B A ∠=∠,3346A B B ∠=∠,523 7A A A ∠=∠,314 8A C B ∠=∠．注意到对完全四边形124135C A C AC A 及完全四边形452413C A C A C A 分别应用密克尔点性质知514A C C △的外接圆要过1B 及4B ,因此1B 、4B 、1C 、4C 四点共圆．又2A 、2B 、4C 、1B 共圆,则123∠=∠=∠,从而1B 、2B 、4B 、D 共圆．再由2A 、2B 、3A 、3B 共圆,知57∠=∠．又由3A 、3B 、1C 、4B 共圆,知68∠=∠．因此3456478180D B ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒,故2B 、3B 、4B 、D 共圆,即1B 、2B 、3B 、4B 、D 五点共圆．同样可证2B 、3B 、4B 、5B 共圆,故五个密克尔点共圆．例7如图920-,设H 是锐角ABC △的高线CP 上的任一点,直线AH 、BH 分别交BC 、AC 于点M 、N ,MN 与CP 交点O ,过O 的直线交CM 于D ,交NH 于点E ．求证：EPC DPC ∠=∠．(2003年保加利亚奥林匹克试题)EHG O BD CLAM NPQ 图9-20证明如图917-,连结PM 、PN ,则由完全四边形的性质5,知MPC NPC ∠=,并令其大小为ϕ,再令EPC x ∠=,DPC y ∠=．欲证x y =,只须证明cot cot cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos x y x y x y x y x y ϕϕ=⇔=⇔=⇔ ()()sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin x y x y x y x y x y xyϕϕϕϕϕϕ---=-⇔=．由()sin sin NEP EHP NP x S NE EH S PH x ϕ+==△△, 有()sin sin x NE PHxEH NPϕ-=⋅．同理()sin sin y DM CPyCD PMϕ-=⋅．注意到PM MO PN NO =,只须证1NE CD PH MOEH DM CP NO⋅⋅⋅=．设MOD δ∠=,EOP ϕ∠=,又因sin sin NEO EHO S NE HO EH S OH δϕ==△,sin sin CDO DMO S CD CO DM S OM ϕδ==△△．于是,又只须证1OC PHOH PC⋅=, 即OC PCOH PH=．而此式,由完全四边形CNAHBM 应用其对角线调和分割性质即证,故EPC DPC ∠=∠． 2．发掘有约束条件的完全四边形问题制作竞赛题的背景例8如图921-,在完全四边形ABCDEF 中,AB AE =．图9-21(1)若BC EF =,则CD DF =,反之若CD DF =,则BC EF =．(2)若BC EF = (或CD DF =),M 为完全四边形的密克尔点,则MD CF ⊥或ACF △的外心1O ,在直线MD 上．(3)若BC EF = (或CD DF =),点A 在CF 上的射影为H ,ABE △的外心为2O ,则2O 为AM 的中点,且22O D O H =．(4)若BC EF =（或CD DF =）,M 为完全四边形的密克尔点,则MB ME =,且MB AC ⊥,ME AE ⊥．证明(1)可由完全四边形中含有的比例乘积式（或对ACF △及截线BDE 应用梅涅劳斯定理）有1AB CD FE BC DF EA⋅⋅= 因AB AE =,则由上式,知CD DF BC EF =⇔=．(2)由(1)知,BCD △和DEF △的外接圆是等圆（或由正弦定理计算推证得）．又由A 、B 、M 、E 四点共圆,有CBM AEM FEM ∠=∠=∠,从而CM MF =,于是DCM DFM △△≌,有CDM FDM ∠=∠．故MD CF ⊥．由于DM 是CF 的中垂线,而1O 在CF 的中垂线上,故ACF △的外心1O 在直线MD 上．(3)由(2)知,BCD △和DEF △外接圆是等圆,从而BCM EFM △△≌,即有BM EM =,即知点M 在BAE ∠的平分线上,亦即A 、2O 、M 共线,从而知2O 为AM 的中点．或者直接计算得2O 为AM 的中点,在ABE △中,由正弦定理,知 22211sin 2cos 2sin 9022ABAB AC AEAO AEBAA +⋅===∠⎛⎫︒- ⎪⎝⎭．设圆1O 的半径为1R ,流意到1O 、D 、M 共线,则 11112cos 2sin 2sin 2A AM R O MA R MCA R C ⎛⎫=∠=∠=+ ⎪⎝⎭．于是122cos 2sin cos2222sin sin 2cos2A A A R C C AM AC AE AO AFC CA ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⋅∠+ 而22sin cos 2sin cos cos sin cos sin 2cos 222222A A A A A A C C C C ⎛⎫⎛⎫+=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos sin sin 1cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin C A C A C A C C A C A C AFC =++=++=+∠．故22AM AO =,即2O 为AM 的中点．注意到MD CF ⊥,AH CF ⊥,所以2O 在线段DH 的中垂线上,故22O D O H =．(4)由(3)知,BE EM =．又2O 为AM 的中点,而2O 为圆心即AM 为直径,则MB AC ⊥,ME AE ⊥．或注意到AB AE =,从而MB ME =．以例8为背景,则可得到如下竞赛题．试题1已知锐角ABC △,CD 是过点C 的高线,M 是边AB 的中点,过M 的直线分别交射线CA 、CB 于点K 、L ,且CK CL =．若CKL △的外心为S ．证明：SD SM =．（2003年第54届波兰奥林匹克题）证明事实上,如图922-,此题即为在完全四边形CKAMLB 中,C ∠为锐角,顶点在边AB 上的射影为D ,且CK CL =,AM M B =,S 为CKL △的外心,此即为例8中的(3),过M 与AB 垂直的线与CS 延长线交为M ．图9-22BDMCAGEKS试题2设AM 、AN 分别是ABC △的中线和内角平分线,过点N 作AN 的垂线分别交AM 、AB 于点Q 、P ,过P 作AB 的垂线交AN 于O ．求证：QO BC ⊥．（2000年亚太地区奥林匹克题）O 'P'N 'BO CMAQ N EP图9-23证明事实上,如图923-,过M 作PQ 的平行线交AB 于P ',交AN 于N ',过P '与AB 垂直的直线交直线AN 于O ',则由Rt P O N '''△与Rt PON △是以A 为位似中心的位似形,知MO QO '∥．设P N ''的延长线与AC 的延长线交于点E ,则为完全四边形AP BMEC '的密克尔点,于是由例8中的(2),知O M BC '⊥．从而OQ BC ⊥．以具有相等的边（含边上的线段）的完全四边形为背景的竞赛题还有如下的2003年日本奥林匹克题．试题3 P 是ABC △内的一点,直线AC 、BP 相交于Q ,直线AB 、CP 相交于R ,已知 AR RB CP ==,CQ PQ =．求BRC ∠．事实上,可在CR 上取点S ,使RS CP =,则由ACS QPC BPR ∠=∠=∠,可推证得SC RP =．由完全四边形中的比例乘积式（即对ABQ △及截线RPC 应用梅涅劳斯定理）知AC BP =．又由ACS BRP △△≌,得AD BR =．由此推得AS AR RS ==,即60ARS ∠=︒,从而120BRC ∠=︒．例9如图924-,完全四边形ABCDEF 中,AC BE ⊥,AE CF ⊥．图9-24A(1)若顶点C 、E 在对角线BF 所在直线上的射影分别为G 、H ,则GB FH =．(2)若对角线AD 的延长线交对角线CE 于P ,BPF △的外接圆交AD 于1A ,交CD 于1C ,交DE 于1E ,则111=2ACE A BC PE F S S △,且4ACE BPF S S △△≥．证明(1)由题设知C 、E 、F 、B 、四点共圆,且CE 的中点为其圆心,过O 作OM BF ⊥于M ,则由弦心距性质知BM M F =．又CG OM EH ∥∥,CO OE =,从而GM MH =．故 GB GM BM MH MF FH =-=-=．(2)在ACE △中,由题设知BPF △的外接圆为ACE △的九点圆,从而知1A 、1C 、1E 分别为AD 、CD 、ED 的中点．于是1112BCC PCC BCPD S S S +=△△1112PEE FEE DPEF S S s +=△△1112BAA FAA ABDF S S S +=△△从而1112ACE A BC PE F S S =．由完全四边形的性质,即知4ACE BPE S S △△≥．以例9为背景,则可得到如下竞赛题．试题4锐角ABC △中,BD 和CE 是其相应边上的高．分别过顶点B 和C 引直线ED 的垂线BF 和CG ,垂足为F 、G ．求证：EF DG =．（1998年第22届独联体奥林匹克题）试题5锐角ABC △中,A ∠的平分线与三角形外接圆交于另一点1A ．点1B 、1C 与此类似．直线1AA 与B ∠、C ∠两角的外角平分线相交于点0A ,点0B 、0C 与此类似,求证：(1)000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的两倍．(2) 000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍．（1989年第30届IMO 试题）试题6已知圆1O 与圆2O 交于A 、B 两点,过点A 作12O O 的平行线,分别与圆1O 、圆2O 交于C 、D 两点,以CD 为直径的圆3O 分别与圆1O 、圆2O 交于P 、Q 两点．证明：CP 、DQ 、AB 三线共点．（2004年第54届白俄罗斯奥林匹克题）事实上,由12CD O O ∥,且12AB O O ⊥,知CD AB ⊥．又可推得CP 、DQ 、AB 是BCD △的三条高线,故共点．例10在完全四边形ABCDEF 中,顶点A 、B 、D 、F 四点共圆O ,其对角线AD 与BF 交于点G ．A图9-25(1)若顶点角C ∠、E ∠的平分线相交于点K ,则CK EK ⊥．(2)BGD ∠的角平分线与CK 平行,DGF ∠的角平分线与EK 平行．(3)从C 、E 分别引圆O 的切线,若记切点分别为P 、Q ．则222CE CP EQ =+；此题设条件下的完全四边形ABCDEF 的密克尔点在对角线CE 上；若分别以C 、E 为圆心,以CP 、EQ 为半径作圆弧交于点T ,则CT ET ⊥．(4)若从C (或E )引圆O 的两条切线,切点为R 、Q ,则E (或C )、R 、G 、Q 四点共圆． (5)过C 、E 、G 三点中任意两点的直线,分别是另一点关于圆O 的极线． (6)点O 是GCE △的垂心．(7)过对角线BF (或BF ∥CE 时的AD )两端点处的圆O 的切线的交点在对角线CE 所在直线上． (8)设1O 、2O 分别是ACF △、ABE △的外心,则12OO O DCE △△∽．(9)设点M 是完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则OM CE ⊥,且O 、G 、M 共线,OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠．(10)过点E (或C )的圆的割线交圆O 于R 、P ,直线PC (或PE )交圆O 于点S ,则R 、G , S 三点共线． (ii)设对角线AD 的延长线交对角线CE 于W ,则WC WE =的充要条件是2WA WD WC ⋅=．(12)设对角线CF 的中点为Z ,连结AZ 交圆O 于N ,则C 、D 、N 、E 四点共圆．证明(1)如图925-,连结CE ,令1DEC ∠=∠,2DCE ∠=∠,则 ()1221)180BCD DEF ABD AFD ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒（, 即知1()12902BCD DEF ∠+∠+∠+∠=︒,从而()1180[12]902CKE BCD DEF ∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒, 故CK EK ⊥．(2)设DGF ∠的平分线交DE 于X ,KE 交GF 于l ,则()1122FGX DGF GFA GAF ∠=∠=∠+∠,()111()222FIE GFA AED GFA ADB GAF GFA GAF ∠=∠-∠=∠-∠-∠=∠+∠．故CX KE∥．同理,BGD ∠的平分线与CK 平行．(3)设过点B 、C 、D 的圆交CE 于点M ,连结DM ,则AFD CBD DME ∠=∠=∠,从而D 、M 、E 、F 四点共圆,于是CM CE CD CF ⋅=⋅,EM EC ED EB ⋅=⋅．此两式相加,得2CE CD CF ED EB =⋅+⋅．又CP 、EQ 分别是圆O 的切线,有2CD CF CP ⋅=,2ED EB EQ ⋅=．放223CE CP EQ =+．显然,M 是圆BCD 与圆DEF 的另一个交点,此即为密克尔点,即题设条件下的完全四边形的密克尔点在CE 上．由于CT CP =,ET EQ =,故222CT ET CE +=,即CT ET ⊥． (4)如图926-,连结CQ 交圆O 于R ',过E 作EH CQ ⊥于H ,X DR'R YZ H C MEAP QO B FG图9-26过点C 作圆的切线CP ,切点为P ,则()222CE EQ CP CR CQ CH HR CQ ''-===-．又()()222222CE EQ CH HE HE HQ -=+-+()()22CH HQ CH HQ CH QH =-=-+ ()CH Ho CO =-．从而HR HQ '=,由此即可证 Rt Rt EHR EHQ '△△≌．于是EQ ER '=,而EQ ER =,则ER ER '=．又R '、R 均在圆O 上,故R '与R 重合,即C 、R 、Q 三点共线．或者,设CE 上的点M 是密克尔点,则2EQ ED EB EM EC =⋅=⋅．从而222CE EQ CE EM EC CE CM CD CF -=-⋅=⋅=⋅()()22CO OQ CO OQ CO OQ =-+=-由此,知CQ OE ⊥．而RQ OE ⊥,故C 、R 、Q 三点共线．为证R 、G 、Q 共线,连结AR 交BF 于点X ,连结RF 交AD 于点Y ,设RQ 与AF 交于点Z ,连结AQ 、QF ．于是sin sin QAZ QZF S AZ QA AQZZF S QF ZQF∠==∠△△．同理sin sin FY DF FDY YR DR YDR ∠=∠,sin sin RX BR RBXXA BA XBA∠=∠．由EAQ EQF △△≌,有RX EBQF ER =．同理,有DF DE DR DB =,RX EBXA ER=．而AQZ YDR ∠=∠,ZQF RBX ∠=∠,FDY XBA ∠=∠,EQ ER =．于是1AZ FY RX ZF YE XA⋅⋅=对ARF △应用塞瓦定理的逆定理,知AY 、FX 、RZ 共点于G ,故R 、G 、Q 共线．综上可知,C 、R 、G 、Q 四点共线．(5)由(4)即证．(6)由于OE RQ ⊥,即OE CG ⊥．同样OC EG ⊥．由此即知,O 为GCE △的垂心,亦可知OG CE ⊥． (7)由(5)知,直线CE 是点G 关于圆O 的极线,从而过点G 的弦的两端点处的切线的交点在直线CE 上． (8)若点O 在AD 上,则1O 、2O 分别为AC 、AE 的中点,此时,显然12OO O DCE △∽△．若点O 不在AD 上,如图927-所示,则1O 、2O 不在AC 、AE 上．O O 1O 2BDCFAE图9-27连结1AO 、1CO 、AD 、AO 、OD 、2AO 、2O E 、BF ．由22(180)2AO E ABE AFD AOD ∠=︒-∠=∠=∠, 及22O A O E =．OA OD =, 知2AO E AOD △△∽．即有2AO AEAO AD=．又2O AE OAD ∠=∠, 则2AOO ADE △△≌．同理1AO C AOD △∽△,1AOO ACD △△≌．于是12O O OO AO CD AD DE==．由12AO C AO E △∽△,知12O O AC AOCE AE AD==, 从而12OO O DCE △∽△．(9)如图928-,过点D 和M 作圆O 的割线MD 交圆O 于点T ,连结AM 、AO 、TO ．由A 、B 、D 、F及A 、B 、M 、E 分别共圆,知EFD ABE AM E ∠=∠=∠．TOBD C FAME图9-28又由D 、F 、A 、T 共圆,知EFD ATD ATM ∠=∠=∠,因AE 、TM 是过两相交圆交点F 、D 的割线,从而EM AT ∥．于是TAM AM E ATM ∠=∠=∠,即知MA MT =．又OA OT =,从而MO AT ⊥,故OM ME ⊥．而M 在CE 上,故OM CE ⊥,又由(6)知,OG CM ⊥,故O 、G 、M 三点共线． (此题为2002年中国国家队选拔赛题的特殊情形,故OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠) (10)如图929-,连结PA 、PB 、SD 、DR 、RF 、PF ．S BDCFARG EP 图9-29由EFR FPA △∽△,CPA CSB △∽△,有FR FE PA PE =,AP CPSB CB=．从而FR FE CPSB PE CB=⋅．由ERD EBP △∽△,CBP CSA △∽△,亦有 RD ED CPAS EP CA=⋅．由上述两式相除,得 ER AS FE CASB RD ED CB ⋅=⋅．用BDAF乘上式两边,应用完全四边形性质1中式①（即对ABE △及截线CDF 应用梅涅劳斯定理）．知 1EF AC BDFA CB DE ⋅⋅= 从而1FR DB SARD BS AF⋅⋅=．。

第4套人教初中数学八下四边形总复习课件

1、两腰相等的梯形 3、对角线相等的梯形
2、在同一底上的两角相等的梯形
练一练
一、选择：
1、
正方形具有而菱形不一定具有的性质（C ） A、
四边都相等
B、对角线互相垂直且平分C、
对角线相等
D、对角线平分一组对角
2、下列命题中（）是假命题.
A、
对角线互相平分的四B边形是平行四边形. B、两
条对角线相等的四边形是矩形.
（1）使它成为菱形.条件：＿＿＿＿＿＿.
（2）使它成为矩形.条件：＿＿＿＿＿＿.
（3）使它成为正方形.条件：＿＿＿＿＿.
A
D
O
B C
A P
Q
已知：△ABC中 AB=AC=a，M为底边BC 上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q.
（1）线段QM、PM、AB 之间有什么关系？
一、四边形的分类及转化
两组对边平行平行四边形
任意四边形
一组对边平行梯形另一组对边不平行
矩形
正方形菱形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目四边形
对边
角
对角线
对称性
平行且相等
平行四边形
矩形菱形正方形
平行且相等
平行且四边相等
平行且四边相等
对角相等邻角互补
四个角都是直角对角相等邻角互补
C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形.
D、两条对角线相等的菱形是正方形.
二、填空：
你准行
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边
长＿5＿＿，面积是＿2＿4＿.
2、矩形的对角线长为8，两对角线的夹角
为60º，则矩形的两邻边分别长＿＿4＿和

《四边形》复习课件

特殊四边形的面积与周长计算
菱形面积计算公式：对角线乘积的一半
总结词：理解特殊四边形的特点，掌握其面积与周长的
计算方法
01
02
03
正方形面积计算公式：边长的平方
等腰梯形面积计算公式：上底加下底后乘高再除以2
04
05
等边三角形面积计算公式：边长乘高再除以2
04
四边形的应用
四边形在几何证明中的应用
04 菱形的判定定理包括四边相等
的平行四边形、对角线垂直的平行四边形等。
总结词
掌握面积和周长的计算
05
详细描述
06 掌握菱形的面积和周长的计算
公式，并能灵活运用。
正方形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
正方形的性质包括四边相等、四个角都是直角等。
总结词
掌握判定定理
详细描述
掌握正方形的面积和周长的计算公式，并能灵活运用。
总结词
熟练运用判定定理
详细描述
掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等等。
总结词
掌握面积和周长的计算
详细描述
掌握平行四边形的面积和周长的计算公式，并能灵活运用。
矩形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
矩形的性质包括四个角都是直角、对角线相等且互相平分等。
平行四边形的性质和判定
利用平行四边形的性质和判定定理，可以证明两条直线是否平行或一个四边形是否为平行四边形。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定定理在证明直角三角形和等腰三角形等问题中有着广泛应用。
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定定理在证明等腰三角形和等边三角形等问题中有着广泛应用。

人教版初中数学竞赛专题复习《第10章四边形》竞赛专题复习(含答案)

第10章四边形§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=︒，3AD =，5BD =，求边CD 的长．DABC DAB CE(a)(b)解析如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠．所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =．又因为30ADC ∠=︒，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=︒，从而在Rt ADE △中，4DE =．所以4CD =．10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠．解析如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ．A FBE DG易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠C FG C FB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形．解析如图，连结EF ，则EF 是中位线．AGFEB D C由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥，故结论成立．10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．解析如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()11112222FG AD BE CE CA BD =+===，于是BF FD ⊥． ADBCADFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积．解析如图，易知ABC △与ACD △均为正三角形．设菱形边长为x ，则由120BAD ∠=︒，得BD =，AC x =，所以)12x =-，x =，因此菱形面积为212BD AC ⋅==．10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC解析设AQ 、DP 延长后交于R ，且R 在BC 上，则由中位线知2AD PQ =，2AD PN =，2BC QN =，故2BCAD=． 10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD ．解析如图所示，作AF BC ⊥，DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ，作FG AD ∥交DE 于G ，则AFB △为等腰直角三角形，90AFB ∠=︒，AB =故F B A F ==；90DEC ∠=︒，60DCE ∠=︒，6CD =，故3CE =，DE =．F BCEADG所以EF FB BC CE =++538=，GE DE DG DE AF =-=-==从而AD FG =10.1.8★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，D 是BC 上一点，D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ，若BE CF =,12AD BC =．解析如图，连结AF 、AE 、BF 、CE ．FAEBDC由对称，有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒，故F 、A 、E 共线．又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒，故FB ∥EC ，而BE CF =，所以梯ECBF 为等腰梯形．又AF AD AE ==，于是1122AD EF BC ==．10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'ADBCA'D'O解析如图，AD BC ∥，A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′．设AC 、BD 交于O ，连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ，故A ′、O 、C ′共线，且A O AO C O CO '='，同理B ′、O 、D ′共线，B O D O ''BO DO =，所以由1BO CODO AO=≠得1B O C OD O A O''=≠''．故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上，则A ′D ′∥B ′C ′，即A ′B ′C ′D ′成梯形．10.1.10★已知：直角梯形ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB BC =，E 是AB 上一点，AE AD =，75CEB ∠=︒，求ECD ∠．A DE BC解析如图，连结AC ，则由AB BC =，AB BC ⊥，得45BAC DAC ∠=︒=∠．又AE AD =，故AEC △≌ADC ，EC CD =．又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒，故DEC △为正三角形，于是60ECD ∠=︒．10.1.11★★在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 、AD 和BD 的长．ACED解析如图，延长AD 、BC 至E ，则60DCE ∠=︒，22CE CD ==．又60A ∠=︒，故BE =2BC =，又4AE =，CE，故4AD =．至于求BD ，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质：ACsin60BD AC =⋅︒§10.2 正方形10.2.1★在正方形A B C D 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且A F B C C F =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．ADBECFP解析如图，延长AE 、DC ，设交于P ，则B EC E =得CP AB BC ==，FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠，即2BAF BAE ∠=∠．10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONBCl解析如图，设O 是正方形ABCD 的中心，l 通过O ，AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ．由于90MAO AOM DON ∠=︒-∠=∠，AO OD =，故AMO △≌OND △，2222212AM DN AM MO AO +=+==．对B 、C 的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1． 10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =．解析如图，作OE FC ∥，交AF 于E ，OE 为ACF △中位线，2CF EO =．问题变为证明EO GO =．因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=︒+∠=∠+︒=∠，于是结论成立．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =．解析如图，由MD CN =知BNC △≌CMD △，故90P B C P C B N C MP C B ∠+∠=∠+∠=︒，故C M B N ⊥．延长CM 、BA ，设交于Q ，则QA CD AD ==，A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点，于是AP AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK解析如图，设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．由于DA AB =，AK AM =，90DAM BAM BAK ∠=︒+∠=∠，于是DAM △≌BAK △，由此得KB 与DM垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥，12SP KB RQ ∥∥，故四边形PQRS 为正方形．10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．解析如图，作MN AB ⊥于N ，则22222,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ⎧-=-=⎪⎨⎪+=⎩ADBLCMN解得34AN AB =，14BN AB =．不妨设3AN =，3BN =，MN x =，则 ()22229(4)DM AN AD MN x =+-=+-， ()2222()14CM BN CM MN x =+-=+-，由条件90CMD ∠=︒，知222DM CM CD +=，即()2102416x +-=，解得4x =．又作ML BC ⊥于L，于是4LC x =-1ML NB ==，故60MCD LMC ∠=∠=︒．10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDEA解析如图，易知AF EP ED ==，AO DO =，45FAO EDO ∠=︒=∠，于是AFO △≌DEO △≌BGO △，于是OF OG =，90AOB FOG ∠=︒-∠，故OFG △为等腰直角三角形，45OFG ∠=︒．10.2.8★★K 是正方形A B C D 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析连结BL ，由正方形关于AC 对称，知BL DL =．又作LJ AB ⊥于J ，由3AL LC =，易知1142JB AB KB ==，故J 为KB 中点，JL 垂直平分KB ，于是LK LB =，LKB LBK AD L ∠=∠=∠，或180AKL ADL ∠+∠=︒,故90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．解析如图，作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直，垂足为Q 、P ．P HMFQ AEKC G易见，90QFA QAF BAK ∠=︒-∠=∠，又90FQA AKB ∠=︒=∠，FA AB =，故有AQF △≌BKA △，FQ AK =，同理PH AK =，于是FQ PH =，FM M H =．10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证： AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．解析如图，延长CB 至H ，使BH DF =，连结AH ，则AHB △≌AFD △，90HAF BAD ∠=∠=︒，904545HAE EAF ∠=︒-︒=︒=∠，又AH AF =，AE AE =，故AHE △≌AFE △，AB 、AG 为其对应边上的高，于是AG AB =．A D F GH B E C反之，若AG AB =，则R t A B E △≌Rt AGE △，EAG BAE ∠=∠，同理，FAG DAF ∠=∠，于是1452EAF BAD ∠=∠=︒．10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．解析延长DA 至M ，使B M B E ⊥过B 作BG AM ⊥，G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形，所以BC BG =．又CBE GBM ∠=∠，Rt BEC △≌Rt BMG △，故BM BE =．又45ABE ABM ∠=∠=︒，故ABE △≌ABM △，10AM AE ==．设CE x =，则10AG x =-，()12102AD x x =--=+，12DE x =-．在Rt ADE △中，222AE AD DE =+，故()()22100212x x =++-，即210240x x -+=，解之，得14x =，26x =．故CE 的长为4或6．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．解析如图，易知MDC NCB ∠=∠，故DMC △≌CNB △，故NB MC =，又45NBO OCM ∠=︒=∠，BO CO =，于是ONB △≌OMC △，90NOM BOC ∠=∠=︒．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．解析如图，作BM 、FN 与AC 垂直，垂足为M 、N ，于是由AB BF ∥知1122FN BM AC AF ===，于是30FAC ∠=︒．又45CAB ∠=︒，于是15BAF ∠=︒，15FAE CAE ∠=∠=︒，AE 、AF 三等分CAB ∠． ADBCMNFE。

人教版初中数学四边形知识点总复习附解析

人教版初中数学四边形知识点总复习附解析一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴2AB，∵2AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD ，又BE=DH ，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH=HF ，HE=DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE 、DF=EH=CE ，CF=CD-DF ，∴BC-CF=（CD+HE ）-（CD-HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB=AH ，∠BAE=45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB≠HF ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C ．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质2．如图，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．22aD ．32a 【答案】C【解析】【分析】根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°， ∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=2a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =3．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（）A 213B 313C ．23D 13 【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中 BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED的面积为6，∴111622x x x⋅⋅+⋅⨯=，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴EF＝x﹣1＝2，在Rt△BEF中，222313BE=+=，∴313 cos13BFEBFBE∠===．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．4．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．5．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．6．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.7．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A ．33°B ．34°C ．35°D ．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D ＝∠B ，由折叠的性质可得∠D '＝∠D ，根据三角形的内角和定理可得∠DEC ，即为∠D 'EC ，而∠AEC 易求，进而可得∠D 'EA 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝48°，由折叠的性质得：∠D '＝∠D ＝48°，∠D 'EC ＝∠DEC ＝180°﹣∠D ﹣∠ECD ＝107°， ∴∠AEC =180°﹣∠DEC =180°﹣107°＝73°，∴∠D 'EA ＝∠D 'EC ﹣∠AEC ＝107°﹣73°=34°.故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=o ，AB=3，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．2【答案】C【解析】【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为6×3=18．【详解】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】试题分析：设CH ＝x ，因为BE ：EC ＝2：1，BC ＝9，所以，EC ＝3，由折叠知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x ＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则111x y z ++的值为（） A ．1 B ．23 C ．12 D ．13【答案】C【解析】分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12．故选C ．点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．11．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】∵2119y x =-，∴当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±， ∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度=2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥【答案】D【解析】【分析】根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E 是AC 中点，∴AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∵点D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ACB ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴AC ⊥DF ，∴平行四边形ADCF 为菱形故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．13．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．14．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE 2EH 2EF ，EF 2AE ，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∵四边形EFGH 为正方形，∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°，∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°，∴AF ＝EF ，DE ＝DH ，∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2，∴AF ＝EF ＝22AE ，同理可得：DH ＝DE ＝22EH 又∵EH ＝EF ，∴DE ＝22EF ＝22×22AE ＝12AE ， ∵AD ＝AB ＝6，∴DE ＝2，AE ＝4，∴EH＝2DE＝22，∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．15．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．16．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．EF BC，分别交AB、18．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//CD于点E、F，连接PB、PD，若1PF=，则图中阴影部分的面积为AE=，8（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×1×8=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S 矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= 12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．。

人教版数学八年级培优竞赛四边形的面积问题专题课件

D
E
F C
G
A
B
第7题图
AE
F
PN
QM
D m1
H m2 m3
B
G C m4
l1 l2 l3 l4 第8题图
A
D
F E
B 第9题图 C
8.如图，已知直线 l1、l2、l3、l4 及 m1、m2、m3、m4 分别互相平行，且 S 四边形 ABCD＝100，S 四边形 EFGH＝60.则 S 四边形 PQMN ＝ ___2_0____.
11.如图，在四边形 ABCD 中，设∠BAD＋∠ADC＝270°，且 E、F 分别为 AD、BC 的中点，EF＝4，以 AB、CD 为直径作半圆，求这两个半圆面积的和.
AE D
B
F
C
连接 BD，取 BD 中点 G，连接 GE，GF，则 GE＝ 1 AB，GF＝ 1 CD，GE⊥GF，
2
2
故两个半圆面积之和为 1 GE2 GF2 8 . 2
关系如图 2 中折线段 OEFGHI 所示.
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）若直线 PD 将五边形 OABCD 分成面积相等的两部分，确定此时点 P 的
位置。
y(cm)
D
y GH
C
B
4
F
O
A
x(cm) O 3 E 6 11 12
I t(s)
m n 6
（1）设
OD＝m，OP＝n，显然
m＞3，则
取 G（6，2），作 GH⊥x 轴，则四边形 GHOC 是矩形且与四边形 OABC 的面积相等，则 EF 必定过点 Q（3，1），于是 C 到直线 l 的最大距离为 CQ＝ 10 .
素养提升

四边形(竞赛题)[1]

第一节四边形的分类与判定【知识点拨】1、四边形的性质：四边形的内角和等于360°.2、四边形的的分类：（1）对边平行；（2）对边不平行。

本节研究是对边不平行的四边形，常用方法是转化为三角形进行研究。

【赛题精选】【例1】如图，四边形ABCD 有4个直角三角形拼凑而成，它们的公共顶点为O,已知△AOB 、△BOC 、△COD 的面积分别为20、10、16，求△AOD 的面积。

（1992年北京市“迎春杯”竞赛题）【注释】求三角形的面积，通常需要求出底和高，当这两个值不易求出时，常把它们的积作为一个整体，设法求出它们的积。

【例2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。

（1999年重庆市竞赛题）【注释】求凹多边形的内角和，常利用四边形和三角形的内角和进行计算，有事需要添加辅助线,将其转化为求一个凸多边形的和或一个凸多边形和一个三角形的内角和,如本题连接BF 、CE ，则所求的值等于四边形ABFG 的内角和加上△DCE 的内角和。

【例3】如图,在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°,AB=4，AD=5,求CDBC 的值。

(1993年“祖冲之杯”邀请赛试题)【注释】有些几何题，按原有的图形很难求解，可根据图形的特点，将原图形补成特殊图形，利用特殊图形的性质进行求解。

【例4】(1）是否存在这样的四边形,它的4条边依次是1、2、4、7？(2）是否存在这样的四边形，它的一组对角是直角，其中一个直角的两条边分别为3、4，另一个直角的边为6？【注释】探索存在型问题是指在一定条件下，判断是否存在某个结论。

解答这类问题,先假设结论存在，从假设出发，根据题设条件及有关性质进行推理论证,若推出矛盾,则不定假设，若推出合理的结果，则说明假设正确。

这种方法叫“假设法"。

【例5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°,∠D=150°,四边形ABCD的周长为32,求BC和CD的长。

人教版初中数学四边形知识点总复习含答案

人教版初中数学四边形知识点总复习含答案一、选择题1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q的速度为3aT，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．2．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••，即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯，解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=；故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.3．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（）A ．23B ．22C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2，∴22213CO =-=；∴23AC =故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.4．设四边形的内角和等于α，五边形的外角和等于β，则α与β的关系是( ) A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．180βα=+o【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【详解】解：∵四边形的内角和等于a ，∴a=（4-2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于β，∴β =360°， ∴a=β．故选B ．【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．5．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD -最小，最小值为31③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-上所述，PD的最小值为31故选D．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P 在BO 上和P 在OD 上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC 与BD 交于O 点，当P 在BO 上时，∵EF ∥AC ， ∴EF BP AC BO =即43y x =， ∴43y x =；当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．7．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080° 【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：360572=， ∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A ．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．8．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-，解得：32x =； ∴32BE =．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．9．如图，在四边形ABCD 中，90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o 连接对角线BD ，过点D 作//DE BC 交AB 于点,E 若23,AB AD CD =+=，则CD =（）A ．2B ．1C ．13+D 3【答案】B【解析】【分析】先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=，再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC ，然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ，进而得到EB=ED ，最后在Rt ADE V 中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在四边形ABCD 中∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o∴∠ABC 30︒=∵//DE BC∴∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC在Rt ABD V 和Rt BCD △中 ∵AD CD BD BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABD Rt BCD ≅V V∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED ∵23AB =在Rt ADE △中，设AD=x,那么DE=2x,AE=232x()2222322x x x ++= 解得：121;73x x ==故选：B ．【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用，熟练进行逻辑推理是解题关键．10．如图，在▱ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（）A ．33°B ．34°C ．35°D ．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D ＝∠B ，由折叠的性质可得∠D '＝∠D ，根据三角形的内角和定理可得∠DEC ，即为∠D 'EC ，而∠AEC 易求，进而可得∠D 'EA 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝48°，由折叠的性质得：∠D '＝∠D ＝48°，∠D 'EC ＝∠DEC ＝180°﹣∠D ﹣∠ECD ＝107°， ∴∠AEC =180°﹣∠DEC =180°﹣107°＝73°，∴∠D 'EA ＝∠D 'EC ﹣∠AEC ＝107°﹣73°=34°.故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．11．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==，故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．12．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．13．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．14．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB ，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，同理可得AB=AF ，∴AF=BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB=AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6， ∴OA=2222=106AB OB --=8，∴AE=2OA=16.故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．15．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD ，并在A 与C 、B 与D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC ，用左手向右推动框架至AB ⊥BC （如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A ．∠BCA ＝45°B ．AC ＝BD C ．BD 的长度变小D ．AC ⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ．故选B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．17．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．19．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（）A．△ABD≌△ECD B．连接BE，四边形ABEC为平行四边形C．DA＝DE D．CE＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE，∠BAD=∠E，然后根据AAS证得△ABD≌△ECD，得出AD=DE，根据对角线互相平分得到四边形ABEC为平行四边形，CE=AB，即可解答．∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．20．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．【详解】Q 四边形OABC 是正方形，(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒由题意，分以下两种情况：（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D ¢落在第一象限由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D ¢的坐标为(2,10)（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上，旋转后点D 的对应点D ¢的坐标为(2,10)或(2,0)-故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．。

人教版初中数学四边形知识点总复习有答案解析

人教版初中数学四边形知识点总复习有答案解析一、选择题1．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =3OD = ∴2221OA AD OD +=∴21OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．2．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A ．5B ．6C ．7D ．22【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出AB=BC=3BE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=（3BE ）2，解得：BE=2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =，∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得()22223BE BE +=，解得2BE =，∴36BC BE ==.故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．4．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD 最小，最小值为31-③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD的最小值为31-故选D．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C2D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12 x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x+＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．6．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A．183π-B．183πC．32316πD．1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF=AD•sin60°=383=∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-．故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．7．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.8．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）A．95B．125C．165D．245【答案】D【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可得答案.【详解】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，∵四边形ABCD 是菱形，AC=6，DB=8，∴OA=3，OB=4，AC ⊥BD ，在Rt △AOB 中，AB=22OA OB +=5，∵S 菱形ABCD =12AC BD AB NQ =g g ， ∴18652NQ ⨯⨯=， ∴NQ=245， ∴PM+PN 的最小值为245，故选D.【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（）A ．3B ．2C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=；∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（）A ．65B ．85C ．125D ．245【答案】D【解析】【分析】连接AD ，根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6，根据勾股定理求出AD ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC ，D 为BC 的中点，BC=12，∴AD ⊥BC ，BD=DC=6，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD =+=， ∵S △ADB=12×AD×BD ＝12×AB×DE ， ∴DE=8624105AD BD AB ⨯⨯==，故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解此题的关键．11．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±，∴A点与B点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O点为AB的中点，又∵圆心C坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC长度=2205OB C+=，∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，即：OE=12 BD，∵D点是圆上的动点，由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，∴BD的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO 12=BD ＝4， ∴AO ＝3，∴AC ＝2AO ＝6，∴四边形ABCD 的面积12=⨯6×8＝24，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB =，则EFGH 的面积是( )A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE ＝22EH ＝22EF ，EF ＝22AE ，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∵四边形EFGH 为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF＝22AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE＝22EF＝22×22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH＝2DE＝22，∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．14．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B ．16．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD 的边OB 固定在x 轴上，开始时30DOB ∠=︒，现把菱形向左推，使点D 落在y 轴正半轴上的点D ¢处，则下列说法中错误的是（）A ．点C '的坐标为()4,4B ．60CBC '∠=︒ C ．点D 移动的路径长度为4个单位长度D ．CD 垂直平分BC '【答案】C【解析】【分析】先证明四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，即可判断A ；由平行线的性质得∠OBC 的度数，进而得到60CBC '∠=︒，即可判断B ；根据弧长公式，求出点D 移动的路径长度，即可判断C ；证明CD ⊥BC ′，BC′=BC=2BE ，即可判断D ．【详解】∵四边形OBCD 是菱形，∴OB=BC=CD=OD ，∴OB=BC ′=C ′D ′=OD ′，∵∠BOD′=90°，∴四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，∴点C '的坐标为()4,4，故A 不符合题意．∵30DOB ∠=︒，OD ∥BC ，∴∠OBC=180°-30°=150°，∵∠OBC ′=90°，∴60CBC '∠=︒，故B 不符合题意．∵点D 移动的路径是以OD 长为半径，圆心角为∠DOD ′=90°-30°=60°的弧长，∴点D 移动的路径长度=604180π⨯=43π，故C 符合题意. 设CD 与BC′交于点E ， ∵在菱形OBCD 中，∠C=30DOB ∠=︒，∵60CBC '∠=︒，∴∠BEC=180°-60°-30°=90°，即CD ⊥BC ′，∴BC′=BC=2BE ，∴CD 垂直平分BC '，故D 不符合题意．故先C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质和正方形性质，含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．17．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．18．如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABM=∠CBM ，∵AB ∥CD ，∴∠ABM=∠BMC ，∴∠BMC=∠CBM ，∴BC=MC=2，∵▱ABCD 的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C ．考点：平行四边形的性质．19．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==，故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．20．在四边形ABCD 中，两对角线交于点O ，若OA =OB =OC =OD ，则这个四边形( ) A ．可能不是平行四边形B ．一定是菱形C ．一定是正方形D ．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD ，判断四边形ABCD 是平行四边形．然后根据AC=BD ，判定四边形ABCD 是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．。

人教版八年级数学四边形知识点含复习计划练习题

DC平行四边形知识点李晓佩O一、平行四边形AB1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判断方法． 2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判断都是从边、角、对角线三个方面的特色进行简述的．（ 1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；（ 2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（ 3）对角线：平行四边形的对角线互相均分；（ 4）面积： ① S 底高 = ah ； ②角线将四边形分成 4 个面积相等的三角形．练习： 1.□ABCD 中，∠ A 比∠ B 大 40°，则∠ C 的度数为（）A. 60°B. 70°C. 100°D. 110°2.□ABCD 的周长为 40cm ，△ ABC 的周长为 25cm ，则对角线 AC 长为（）A. 5cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm3.在 □ABCD 中，∠ A ＝ 43°，过点 A 作 BC 和 CD 的垂线，那么这两条垂线的夹角度为（）A. 113°B. 115°C. 137°D. 90°4.如图，在 □ ABCD 中， EF 过对角线的交点 O ， AB ＝ 4， AD ＝3， OF ＝，则四边形 BCEF 的周长为（）DECA.B. C.D.OABF第 4 题图5.以下命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相均分的四边形是平行四边形；③在四边形 ABCD 中，AB ＝ AD ，BC ＝ DC ，那么这个四边形 ABCD 是平行四边形； ④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（）A. 0 个B. 1 个C. 3 个D. 4 个6.□ABCD 中，两邻边的差为 4cm ，周长为 32cm ，则两邻边长分别为7.平行四边形的周长等于 56cm ，两邻边长的比为 3︰1，则这个平行四边形较长的边为.8、平行四边形 ABCD 的周长 32,5AB=3BC,则对角线 AC 的取值范围为 () A 、 6<AC<10B 、 6<AC<16C 、 10<AC<16D 、 4<AC<163．平行四边形的鉴识方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④方法 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法 4：对角线互相均分的四边形是平行四边形1. 一个四边形的三个内角的度数依次以下选项，其中是平行四边形的是（）A. 88°， 108°， 88°B. 88°， 104°， 108°C. 88°， 92°， 92°°， 92°， 88°2. 若平行四边形的两邻边长分别为12 和 26，两长边之间的距离为8，则两短边的距离为 DC3.如图，在□ABCD中， DB＝ DC，∠ A＝ 65°，CE⊥ BD 于 E，则∠ BCE＝.EA第 16 题图B4、A、B、 C、 D 在同一平面内，从①AB∥CD；② AB＝ CD；③ BC∥ AD；④ BC＝ AD；这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（）（ A） 3 种（B）4种（C）5种（D）6种5.三角形的三条中位线长是3cm， 4cm， 5cm，则这个三角形的周长为.6、如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点 O，点 E 是 BC的中点．若OE=3 cm，则 AB 的长为 ( )A． 3 cmB． 6 cm C． 9 cm D． 12 cm二、矩形 D C1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

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人教版初中数学《四边形》竞赛专题复习§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=︒，3AD =，5BD =，求边CD 的长．DABC DAB CE(a)(b)解析如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠．所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =．又因为30ADC ∠=︒，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=︒，从而在Rt ADE △中，4DE =．所以4CD =．10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠．解析如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ．A FBE DGC易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形．解析如图，连结EF ，则EF 是中位线．AGFEB D C由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥，故结论成立． 10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．解析如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()11112222FG AD BE CE CA BD =+===，于是BF FD ⊥．ADBCA DFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积．解析如图，易知ABC △与ACD △均为正三角形．设菱形边长为x ，则由120BAD ∠=︒，得BD ，AC x =，所以)12x =x =此菱形面积为212BD AC ⋅=． 10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC解析设AQ 、DP 延长后交于R ，且R 在BC 上，则由中位线知2AD PQ =，2AD PN =，2BC QN =，故2BCAD=． 10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD ．解析如图所示，作AF BC ⊥，DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ，作FG AD ∥交DE 于G ，则AFB △为等腰直角三角形，90AFB ∠=︒，AB =故FB AF =；90DEC ∠=︒，60DCE ∠=︒，6CD =，故3CE =，DE =．F BCEADG所以EF FB BC CE =++538+=，GE DE DG DE AF =-=-==从而AD FG ==10.1.8★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，D 是BC 上一点，D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ，若BE CF =,12AD BC =．解析如图，连结AF 、AE 、BF 、CE ．FAEBDC由对称，有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒，故F 、A 、E 共线．又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒，故FB ∥EC ，而BE CF =，所以梯ECBF 为等腰梯形．又AF AD AE ==，于是1122AD EF BC ==．10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'ADBCA'D'O解析如图，AD BC ∥，A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′．设AC 、BD 交于O ，连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ，故A ′、O 、C ′共线，且A O AO C O CO '='，同理B ′、O 、D ′共线，B O D O ''BO DO =，所以由1BO CODO AO=≠得1B O C OD O A O''=≠''．故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上，则A ′D ′∥B ′C ′，即A ′B ′C ′D ′成梯形．10.1.10★已知：直角梯形ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB BC =，E 是AB 上一点，AE AD =，75CEB ∠=︒，求ECD ∠．A DE BC解析如图，连结AC ，则由AB BC =，AB BC ⊥，得45BAC DAC ∠=︒=∠．又AE AD =，故AEC △≌ADC ，EC CD =．又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒，故DEC △为正三角形，于是60ECD ∠=︒．10.1.11★★在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 、AD 和BD 的长．ACED解析如图，延长AD 、BC 至E ，则60DCE ∠=︒，22CE CD ==．又60A ∠=︒，故BE =2BC =，又4AE =，CE，故4AD =．至于求BD ，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质：AC，sin 60BD AC =⋅︒=§10.2 正方形10.2.1★在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且AF BC CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．ADBECFP解析如图，延长AE 、DC ，设交于P ，则BE CE =得CP AB BC ==，FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠，即2BAF BAE ∠=∠．10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONBCl解析如图，设O 是正方形ABCD 的中心，l 通过O ，AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ．由于90MAO AOM DON ∠=︒-∠=∠，AO OD =，故AMO △≌OND △，2222212AM DN AM MO AO +=+==．对B 、C 的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1．10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =．解析如图，作OE FC ∥，交AF 于E ，OE 为ACF △中位线，2CF EO =．问题变为证明EO GO =．因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=︒+∠=∠+︒=∠，于是结论成立．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =．解析如图，由MD CN =知BNC △≌CMD △，故90PBC PCB NCM PCB ∠+∠=∠+∠=︒，故CM BN ⊥．延长CM 、BA ，设交于Q ，则QA CD AD ==，A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点，于是AP AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK解析如图，设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．由于DA AB =，AK AM =，90DAM BAM BAK ∠=︒+∠=∠，于是DAM △≌BAK △，由此得KB 与DM 垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥，12SP KB RQ ∥∥，故四边形PQRS 为正方形．10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．解析如图，作MN AB ⊥于N ，则22222,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ⎧-=-=⎪⎨⎪+=⎩ADBLCMN解得34AN AB =，14BN AB =．不妨设3AN =，3BN =，MN x =，则 ()22229(4)DM AN AD MN x =+-=+-， ()2222()14CM BN CM MN x =+-=+-，由条件90CMD ∠=︒，知222DM CM CD +=，即()2102416x +-=，解得4x = 又作ML BC ⊥于L，于是4LC x =-1ML NB ==，故60MCD LMC ∠=∠=︒．10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB ⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDE A解析如图，易知AF EP ED ==，AO DO =，45FAO EDO ∠=︒=∠，于是AFO △≌DEO △≌BGO △，于是OF OG =，90AOB FOG ∠=︒-∠，故OFG △为等腰直角三角形，45OFG ∠=︒．10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析连结BL ，由正方形关于AC 对称，知BL DL =．又作LJ AB ⊥于J ，由3AL LC =，易知1142JB AB KB ==，故J 为KB 中点，JL 垂直平分KB ，于是LK LB =，LKB LBK ADL ∠=∠=∠，或180AKL ADL ∠+∠=︒,故90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．解析如图，作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直，垂足为Q 、P ．P HMFQ AEBKC G易见，90QFA QAF BAK ∠=︒-∠=∠，又90FQA AKB ∠=︒=∠，FA AB =，故有AQF △≌BKA △，FQ AK =，同理PH AK =，于是FQ PH =，FM MH =．10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证： AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．解析如图，延长CB 至H ，使BH DF =，连结AH ，则AHB △≌AFD △，90HAF BAD ∠=∠=︒，904545HAE EAF ∠=︒-︒=︒=∠，又AH AF =，AE AE =，故AHE △≌AFE △，AB 、AG 为其对应边上的高，于是AG AB =．A D F GH B E C反之，若AG AB =，则Rt ABE △≌Rt AGE △，EAG BAE ∠=∠，同理，FAG DAF ∠=∠，于是1452EAF BAD ∠=∠=︒．10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．解析延长DA 至M ，使BM BE ⊥过B 作BG AM ⊥，G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形，所以BC BG =．又CBE GBM ∠=∠，Rt BEC △≌Rt BMG △，故BM BE =．又45ABE ABM ∠=∠=︒，故ABE △≌ABM △，10AM AE ==．设CE x =，则10AG x =-，()12102AD x x =--=+，12DE x =-．在Rt ADE △中，222AE AD DE =+，故()()22100212x x =++-，即210240x x -+=，解之，得14x =，26x =．故CE 的长为4或6．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．解析如图，易知MDC NCB ∠=∠，故DMC △≌CNB △，故NB MC =，又45NBO OCM ∠=︒=∠，BO CO =，于是ONB △≌OMC △，90NOM BOC ∠=∠=︒．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．解析如图，作BM 、FN 与AC 垂直，垂足为M 、N ，于是由AB BF ∥知1122FN BM AC AF ===，于是30FAC ∠=︒．又45CAB ∠=︒，于是15BAF ∠=︒，15FAE CAE ∠=∠=︒，AE 、AF 三等分CAB ∠．ADBCMNFE。