数学中的美——黄金分割

数学中的美——黄金分割

黄金分割点是分割线段时最能体现审美愉悦的美点，黄金分割比被视为最美丽的几何比率。让我们走近黄金分割，来感知数学的美，寻找“美”的秘密。

一、 首先让我们从黄金分割比的由来中体会数学的美，我们会被源于历史的美所陶醉。 古希腊的数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400至公元前347年）发现：如图， 将一条线段AB 分割成长短两条线段PA 、PB ，若较短线段PB 与较长线段AP 的长度之比等于较长线段与全线段AB 的长度之比，即PB ：AP ＝AP ：AB ≈0.618（精确值为2

15-），P 为AB 的黄金分割点。数学家把这个的数（0.618）叫做“黄金数”。黄金数不是指用黄金筑就的数，而是指身价与黄金一样贵重的数。古希腊人最早发现一个长方形，它的长和宽的比等于0.618时，看上去最协调、最好看；古希腊闻名于世的古建筑巴台农神庙，它的高和宽之比恰好是0.618；古希腊人认为，最优美的人体体型应该是肚脐把身长作黄金分割。保存下来的古希腊雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及爱与美之神“维纳斯”，都是按黄金分割来制作的，无不表现出最美的人体造型。文艺复兴时期的画家也十分重视黄金分割。达·芬奇闻名于世的作品《蒙娜丽莎》就是按着黄金分割的比例来构图的。神密的埃及金字塔的高和底座的边长之比也是0.618。黄金分割是最完美的分割，这种美学观点长时间统治着西方的建筑界。著名的巴黎圣母院就是杰出的代表。它整个结构是按着黄金分割来建造的。17世纪欧洲著名科学家开普靳曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。”

二、 通过欣赏生活中含有黄金分割比的图形，我们会为这种直觉美惊

喜不已。

1、黄金扇形：如图，把一个圆分成两部分，期中阴影部分的扇形的圆

心角为135°,空白部分的扇形的圆心角为225°，而135与225的比值接

近黄金比。因此，阴影部分的扇形就是黄金扇形，如果以135°为圆心角

做成的扇子，那它就是外形较美观的扇子。

2、 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数。如图，

顶角为36°的等腰三角形，它的两底角的度数均为72°，而72°=36°×2，所以把一个底角角比平分就能得到两个36°，其中一个与△ABC 的顶角∠

A 在一个三角形中，构成等腰三角形，另一个36°角与△ABC 的底角∠C

ABC

具有相同角度的三角形。

即 AD=BD=BC

△ABC ∽△BDC BC CD =AC

BC BC=AD AD CD =AC

AD =215- AC BC =BC CD =215- 3、 黄金梯形：腰和上底相等，对角线和下底相等的等腰梯形。

C

B A

如图：

AC=BC=BD AB=AD=CD 且AD ∥BC 设∠ADB ＝x °，则 ∠DAC=∠DBC=∠ABD CA=CB ∠BAC=2x

AD ∥BC 5x °=180°

x °=36

=215 4、 黄金五角星：五角星不仅是非常漂亮的几何图形，而且在古希腊人眼里它还是一个

神圣的图形。著名的毕达哥拉斯学派就是把五角星做为他们的派徽。人们为什么对五角星如此偏爱，这是因为五角星有许多有趣的黄金比。如图：

BD AB

=AD AC =AB

BC =0.618 这些优美的黄金比的图形，让我们确实

看到了数学的真实美，人们也一直在研究，并不断地有新的发现，相信，通过我们的努力，我们会找到更多，更有趣的含有黄金比的图形。

三、 让我们从人体自身探索美的

秘密，我们会为拥有这些奇妙无比的美而自豪。

1、 现实生活中处处存在着“黄金分

割”。我国医、美学专家近年在研究“黄金分割”与人体美的关系时发现：凡体型健美者的容貌外观结构中，至少有四种共42个因素与“黄金分割”有关。

18个“黄金点”。如肚脐为头顶至脚底的分割点，喉结为头顶至肚脐的分割点，眉间点为发缘点至颏下的分割点等。

15个“黄金矩形”。如躯干轮廓，头部轮廓，面部轮廓，口唇轮廓等。

6个“黄金指数”。如鼻唇指数是鼻翼宽度与口裂长之比，唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比.

3个“黄金三角形”。如外鼻正面观三角，外鼻侧面观三角，鼻根点至两侧口角点组成的三角形。

除此以外通过学者研究并发现，“0.168”这个数据具有很高的美学价值，他们认为凡符合黄金分割律的形体，总是最美的形体。

2、 现代人类在追求美的同时，也渴望有一个健康的体魄，现在医学发布，“黄金分割”这个比值和医学保健，人类健康有着千丝万缕的关系，它被称为健康的黄金分割律。

例如：人为什么在环境气温22℃～24℃下生活感到最适宜？因为人体的正常体温是36℃～37℃，这个体温与0.618的乘积恰好是22.4℃～22.5℃。

再如，营养学中强调，一餐主食要有六粗粮和四成细粮的搭配进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃病。这也可纳入饮食的0.618规律之列。

抗衰老有生理与心理抗衰之分，那个最重？研究证明，生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六，也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心理和生理两方面的力量来延缓衰老，A

C B A

可以达到最好的延年益寿的效果。

一天内合理的生活作息规律也符合0.618的分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，是最佳的保健之道。

由此可见，掌握与运用好“0.618”，可使人体节约能量消耗，延缓衰老，提高生命质量。

四、最后，让我们来看看生活中黄金比的应用，我们会被这种博大的美所震撼。

自从古希腊人发现黄金分割以来，这种比例被认为是美学的最佳比例而得到广泛的应用。

1、 有经验的报幕员一上台，并不走到台口的中央，而是站在离左边(或右边)三分之一多一点的地方，却能使人感到站的位置恰当、得体。用数学观点来解释，她站的位置恰好是“黄金分割点”。

2、 19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾做过一次别出心裁的试验，他召开了一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，并要求与会着投票选择各种自认为最美的矩形，结果以下四种矩形入选(长×宽)：⑴、8×5；⑵、13×8；⑶、21×13；⑷、34×21，你能发现其中的奥妙吗？其实，5：8≈0.625，8：13≈0.615，13：21≈0.619，21：34≈0.618。这四种矩形宽与长的比都接近0.618，因此这些矩形可近似的看作黄金矩形，给人以美的感受，这正是被选中的奥妙所在。

我们很容易地量得《中国教育报》的长约为784毫米，宽约为544毫米。784

544≈0.69比较接近于0.618。

3、 随着计算机的普及，制作网页也越来越普遍。但制作网页时网页背景与前景的字体配色比较麻烦。如果背景颜色与字体颜色的搭配不合理，就会使网页效果大打折扣。如果背景色与字体色的对比度太大，就会显得太现眼；如果对比度太小，就会使网页风格变得过于沉闷。要达到最佳配色实在是麻烦之极。其实，运用黄金分割法进行网页配色，就可以大大节省你的时间了。黄金分割法的基本原理是这样的：把颜色的对比度(背景与前景)调节在0.618比例附近的位置上，这样制作的网页为最佳配色。

4、 下面我们再看黄金分割在数码相机摄影中的应用。

构图一词是英语COMPOITION 的译音，为造型艺术的术语。在《辞海》中谈到“构图”为艺术家为了表现作品的主题思想和美感效果，在一定的空间，安排和处理人、物的关系和位置，把个别或局部的形象组成艺术的整体，在中国传统绘画中称为“章法”或“布局”。

首先说构图里的分布和造型，这里不得不提到2个名词：九宫格和趣味中心。但要说九宫格前先说著名的黄金分割。黄金分割是造型艺术中的一种分割法则，亦称黄金分割率，简称黄金率。黄金比广泛应用于造型艺术中，具有美学价值，尤其在工艺美术和工业设计的长和宽的比例设计中容易引起美感，故称为黄金分割。

再说九宫格，九宫格的源头可是我们中国人发明的一种构图模式，但巧的是它与黄金分割有着惊人的理论联系。大家把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，我们惊奇的发现这就是我国古人所说的九宫格。

人们发现在九宫格的4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，在国外的摄影理论里把4个点称为“趣味中心”。顾名思义，反复证明的是当被摄影处于或分布在这4个点附近最容易得到“眼球”。

在使用数码相机时，不知道如何构图时，最方便的方法就是黄金分割法。以上图为例，在使用自动对焦相机，将作为主题的对象置于横竖线的交叉点，通过特意将摄影对象从画面的正中移开一些，就能够得到平衡的构图。这样，你在使用数码相机时，用黄金分割法会留