平面波的极化形式

z
2
2 t 2
0
Ex，Ey，Ez；Hx，H y，Hz
2
对于时谐电磁场，类似的可导出复波动
方程
g
g
2 E 2 E 0
g
g
2 H 2 H 0
同样可综合写为
d2
dz
2
2 g
0
3
2.2 无界空间的均匀平面波
主要内容如下所示：
沿Z轴传播 理想介质中的均匀平面波
沿任意方向传播 导体介质中的均匀平面波
4
2.2.1 理想介质中的均匀平面波
1、沿Z方向传播
对于正弦均匀平面波，假设其在自由空
间沿Z轴方向传播，且 E exEx
则复波动方程为：
d
2
Ex dz
2
z
2
Ex
z
0
k
Ex z A1e jkz A2e jkz
E z exEx z exExme jkz
5
研究其中的正向行波 Ez exEx z exExme jkz
2.1 波动方程
无源区域麦克斯韦方程为
H E
t
E H
t gH 0
gE 0
可以导出波动方程：
2E
2E t 2
0
2H
2H t 2
0
1
对于最简单的均匀平面波在横向平面
内场量的大小和方向都是不变的。因此， 对于沿z轴方向传播的均匀平面波，场矢
量E和H都不是x、y的函数，则有
2
en ex cos ey cos ez cos
图2.2.6 沿任意方向传播的平面波的等相位面
15
k enk exk cos eyk cos ezk cos exkx eyky ezkz
式中
kx ky
k k
cos cos
kz
k cos
由于 cos2 cos2 cos2 1
且考虑到 E zgez
引入本征阻抗
0
以及 E zgE
相速度
z
vp
E。2 1
故平均功率流密度可表示为
Sav
1 2
E
2ez
1
1 2
E
2v
p
在无界的理想介质中，式中的
1 2
E
2（或
1 2
H 2
）
表示理想介质中的总的平均能量密度。平
均电能密度为 1 E2 ，平均磁能密度为 二者各占一半。4
1 H2
4
。
11
从图中看出，电场矢量 E exEx随着时间 的增加是沿+z 轴方向传播的，此即正向行
波。
在理想介质种，均匀平面波的平均功率流
密度为
Sav
1 2
Re E z
H
z
1 2
Re
E
z
1
ez
E
z
1
2
Re
E
z
E
z
ez
E
z gez
E
z
1
2
Re
ez
E zgE z
ez
E2
2
12
在这里应用了矢量恒等式 ABC AgC B AgBC
故 k ''称为衰减常数，k ' 称为相位常数
定义穿透深度 振幅衰减了1
dp
倍
，1 表示传播距离
k ''
d p后，
e
ek '' z
z
cost k ' z
20
图2.2.7 导电介质中波的传播
与电场E相伴的磁场H可由方程 E jH
求得 式中
H
z
ey
1
c
E e e k '' z jk ' z xm
离中有一个变化周期，如图所示：
8
当取 k 2k0 时， Ex Exm cos 2k0z 则在1m 的空间距离中有二个变化周期，如下图 所示：
9
当取k 3k0 时，Ex Exm cos 3k0，z 则在1m
的空间距离中有三个变化周期，如下图所 示：
10
下图绘出三个不同时刻，Ex随kz变化的图形
13
2、沿任意方向传播 应该指出，并不是在任何情况下设
定波的传播方向为直角坐标系的某 个坐标轴方向都是方便的。譬如将 要讨论的波对分界面斜入射问题， 在设定分界面与某个坐标面平行后， 波的传播方向就只能是任意方向。
14
在右图中，波沿任意方 向传播，设传播方向的 单位矢量为 en，则波矢 量为 k enk ，它与x、 y、z轴的夹角分别 为、 、 ，则
1
c
ez
E
z
ey
1
c
Exmek '' ze jk ' ze j
c
j
c e j
称为导电介质的本征阻抗，是一个复数，
与介质参数以及频率有关。
21
写出的瞬时值形式的电场强度和磁场强度 E z,t Re E z e jt exExmek ''z cos t k ' z
E
若令
c
j
'
j
''
这里的 ' r0 是介电常数， 因子，与电导率和角频率有关。
''
是损耗
则得
H jc E
18
引入等效介电常数后的波动方程为
2 2
E H
kc2 E 0 kc2 H 0
其中
kc
c
j
1
j
1/ 2
19
导体介质中对应波动方程的解为
E z ex Exme jkcz exExmek ''ze jk 'z
将其代入麦克斯韦第二方程 E= jH，得
H
z
1 j
E
z
1 j
ey
Ex z
ey
k
Exme jkz
ey
Fra Baidu bibliotek1
Ex
1
ez
E
z
式中
k
称为媒质的本征阻抗。在自由空间中 0
0 120 377 0
可见 Ex z 和 Hy z构成一组沿+z方向传播的分量波。同
样，Ey z 和 Hx z 构成另一组也沿+z方向传播的分量波，它们
故有 kx2 ky2 kz2 k2 波矢量与位置矢量的点乘之积 kgr kx x ky y kz z
若为常数则确定的平面为 kgr c
且垂直于波矢量K
16
因此沿任意方向传播的均匀平面波的电场
强度和磁场强度可表示为
E r E0e jken gr
H
r
1
en
E
z
1
en
E0e
jken
gr
这一结果表明，电场矢量E和磁场矢量H都位于
与传播方向垂直平面内，且E和H相互垂直，E、
H、k三者符合右手螺旋关系。
相应的平均坡印廷矢量为
Sav
1 2
Re
E
r
H
r
en
1 2
E02
易见电磁能量是沿 en方向传播的
17
2.2.2 导电介质中的均匀平面波
导电介质特性是电导率不等于0，则
H
E
j E
j
j
是彼此独立的。
6
电磁强度的的瞬时值表示式为：
Ex z,t Re Ex ze jt Re Exme jkze jt Exm cost kz
在固定点观察即确定Z值可定义时间周期T和频率f分别为
T 2
f 1 T 2
在确定的时刻t上观察电场随空间坐标的变化，可定义波长为
即
2
k
k 2
k
2
z
2 k
图2.2.2 t=0时刻，的图形
k 即为单位距离内的全波数，故称为波数。
7
为进一步理解波数k的含义。我们定义一个波数
的基本单位 k0 2 1/m， 它表示每米空间距离
上的变化周期数。同样对于t=0的时刻，当取
k k0 2 1/m时，Ex Exm cos k0z ，在1m的空间距