人寿保险精算现值
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第二章人寿保险的精算现值
第二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人寿保险的精算 现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
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第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
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第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
第二章人寿保险的精算现值
100 j1
j 1,2,,100
100 j1
从而可得EZ EZ j 400， VarZ VarZ j 900
• 第二章 人寿保险的精算现值 12
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
ZE Z h E Z 0 P .95 , r Z Var Z Var h400 近似服从于标准正态分 布，则 1 .645 30 故 h400 30 1 .645 449.35( 元 )
2 T 2 2 1 x :n
1 2 x :n
对于投保连续型的保险 金额为 1 个单位的终身寿险， 其趸缴纯保费是 A t)t pxuxtdt x v t pxuxtdt exp(t 0 0
• 第二章 人寿保险的精算现值 7
记A t)t pxuxtdt x exp(-2
t h h 2 n 0 2
2 记 tt px uxtdt h A x exp
Zh A 其现值随机变量 Z 的方差是 Var x hA x
• 第二章 人寿保险的精算现值
2
15
表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴 纯保费分别为
• 第二章 人寿保险的精算1 , t n v , T n t b ,v v , t 0 ,Z t t T 0 , t n 0 , T n
对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿 险 , 其有关函数是
•
第二章 人寿保险的精算现值
人寿保险的精算现值趸缴纯保
第二章：人寿保险的精算现值（趸缴纯保费）
教学要求：
掌握各类寿险的保险金给付模型的建立方法。
掌握各类寿险的趸缴纯保费的计算。
掌握寿险的精算现值（趸缴纯保费）的定义。
** 寿险定价的基础 ***
0
第一节 离散型人寿保险模型
** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
0
?1nn源自n0mm+n
0 n n-1 n-2 …………….. 2 1
1 1…...1 1…...1……1 1…...1……1……1 ……………………………………………... 1…...1……1……1……1………… 1……1
第五节 递推公式与换算函数
t
t
s
S=t
（2）
0 1 2 3 4 5 6……………….. 1 1 1………1………1………1….. 1 1 …… ..1………1………1….. 1………1………1………1….. ……… 1………1…… 1….. 1………1 . . 1
n
01
02
03
0
m
m+n
第二节 连续型人寿保险模型
** 讨论保额固定的连续型人寿保险 ***
第三节 连续模型与离散模型的精算现值的关系
在保险实务中，使用的是死亡即付的连续 模型，而死亡年末付的离散模型的计算更容易 和简便，以下讨论转换关系。
第四节 保额递增、递减型人寿保险
递推公式（讨论不同投保年龄的趸缴纯保费 的关系）
其它递推公式
二、换算函数（符号）
THANKS
保险精算 第4章1 人寿保险的精算现值
基本函数关系
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
Z bT vT vT t 0
zt bt vt v , t 0
t
A x 表示终身寿险的趸缴纯保费。 A x E(Z ) z f (t )dt
0 t T
v t px xt dt 0 e t t px xt dt
d 0.04 ( xt ) [e ] s( x t ) (1) fT (t ) dt 0.04 x s ( x) e
0.04e 0.04 ( xt ) e 0.04 x
0.04 e
0.04 t
例4答案
1 0|
Ax v fT (t )dt e t 0.04e0.04 t dt 10 10
120 60 2
例2答案
(3)满足P(Z 0.9 ) 0.9的0.9 .
解：
P( Z 0.9 ) P(vT 0.9 ) P(T ln v ln 0.9 ) ln 0.9 ln 0.9 P (T ) 令h ln v ln v 60 1 dt 即P(T h) h fT (t )dt h 60 1 (60 h) 0.9 h 6 60 6 6 有 ln 0.9 6 ln v 0.9 v e
(3)满足P(Z 0.9 ) 0.9的0.9 .
例2答案
解：
(1) Ax E(Z ) zt fT (t )dt 0 60 60 1 1 e t e dt , 0 0 60 60
(2)Var ( Z )
1 e 1 e , 0 120 60
人寿保险的精算现值
k 1 v qx k | k 0
n 1
A1 x:1 自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。
A
1 x:1
cx vqx
18
• 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验 生命表CL1（2000-2003）和利率6%, 计 算： • (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。 • (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
பைடு நூலகம்
（2）给付现值函数Z
Z= 1* 0
V k 1 ,k=0,1,2,…n-1
,其他
16
(3)K、Z的分布律
K Z P(K=k)
0 v qx
1 v2 1|qx
2 ... n-1 v3 ... vn 2|qx … n-1|qx
17
2 n A1 EZ v * q v * q ... v *n1 | qx x 1 | x x:n
人寿保险趸缴纯保费
人寿保险精算现值
1
中英文单词对照
• 趸缴纯保费 • 精算现时值 • 死亡即刻赔付保险 • Net single premium • Actuarial present value • Insurance payable at the moment of death • Insurance payable at the end of the year of death
19
终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保险 期限为终身，死亡年末给付的寿险的趸 缴纯保费。 Ax EZ
v
k 0
k 1 k |
第三章 人寿保险的精算现值
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2,
给付现值随机变量
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 n K n, n 1, v ,
1 x: n |
Ax:n| A
趸缴净保费
n 1
给付现值随机变量
k 1 1 1 ( DA)1 ( n k ) v p q A A k x xk x: n | x:1| x:2| k 0
A1 x: n |
一般变额寿险
给付现值随机变量
Z bK 1v
K 1
K 0,1, 2,
10000 vq40 v 2 1| q40 v3 2| q40 10000v 3 3 p40 1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i) 1 i 1 10000 p40 p41 p42 3 (1 i) 49.28 8591.34 8640.62(元)
K 1
保险金给付在签单时的现值随机变量
v , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 0, K n, n 1, 趸缴净保费
A
1 x: n|
E (Z ) v
k 0
n 1
k 1
k | q x v
k 0
n 1
k 1
k p x q xk
n 1
n 1| A1 x :1|
（八）递减型寿险
寿险精算现值
附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用 需要的缴费部分。
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vd x
v2dx1
vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vd x
v2dx1
vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x
第4章 人寿保险的精算现值
第4章 人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值也称为趸交纯保费。
4.2 死亡年末给付的人寿保险死亡年末给付的人寿保险是指保险金的支付是在死亡发生的（保险期）年末进行的人寿保险。
4.2.1 定期寿险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期定期寿险，保险金额为1元，保险金在死亡年度末给付。
设K = ][T ,即取整余命随机变量，给付函数用b K 1+表示，则有 b K 1+ = 1，当K = 0，1，2，…，n-10, 其它相应的贴现因子用v K 1+表示，保险金给付额折换成购买保险合同签单时的现值用随机变量Z 表示。
Z 的可能取值为z K 1+（K = 0，1，2，…，n-1）z K 1+ = v b K K 11++⋅ = vK 1+定期寿险的趸交纯保费用统一的精算符号1x n A 表示，那么1x nA= )(Z E =∑-=++⋅⋅11n k kx xk qp vk)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -=2211()x nx nAA-其中 21x nA= )(2Z E = ∑-=++⋅⋅1)1(2n k kx xk qp vk4.2.2 生存保险n 年期生存保险是当被保险人生存至n 年期满时，保险人在第n 年年末支付保险金的保险。
设)(x 投保n 年期生存寿险，保险金额为1元，保险金在第n 年年末给付。
精算中用1x nA表示该生存保险的趸交纯保费。
可以推出1x nA=pvnxn⋅相应的方差为)(Z Var = )]([22)(Z E Z E - = 2112()x nx n A A-= q pvn nxxn⋅⋅24.2.3 终身寿险的趸交纯保费Ax=1lim x nn A→∞=∑∞=++⋅⋅1k kx xk qp vk相应的方差为)(Z Var = )]([22)(ZE Z E -= )(22A Ax x-4.2.4 两全保险的趸交纯保费设)(x 投保n 年期两全保险，保险金额为1元，若)(x 在n 年内死亡，则在死亡年末给付保险金，若)(x 生存满n 年，则在第n 年年末支付满期保险金。
第四章 人寿保险的精算现值(.3.27)共91页文档
已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概 率，就可以得出期望给付额
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
E(Zt)E(bK1vK1)＝ Zt.kqx E(Zt)E(bTvT) Zt.fT(t)dt
寿险精算
8
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即
精算现值＝ E ( Z t )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
寿险精算
9
§4.1 死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。
• 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
连续型寿险
寿险精算
10
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算
11
一、n年定期保险的精算现值
1.定义——什么是定期保险
2.基础模型假定条件
寿险精算
5
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设：
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型一、人寿保险简介保险精算学主要分为两大类：一个是所谓的人寿保险（寿险精算），另一个是非人寿保险。
前者主要以人的寿命、身体或健康为“保险标的”的保险。
非人身保险主要包括：汽车保险、屋主保险、运输保险、责任保险、信用保险、保证保险等。
而这次我们主要讨论人寿保险。
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。
它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。
（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。
（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分分为：非延期保险和延期保险。
（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。
人寿保险的特点1：保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素。
2：保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。
被保险人的死亡时间是一个随机变量。
这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。
3：被保障人群的大多数性保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。
而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。
保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值
k 0 n 1
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
第三章 人寿保险的精算现值
1
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
人寿保险的精算现值
s(x t) [ s'(x t)] s(x) s(x t)
t px xt
ln (1 i ) 1 e
1 i
34
• P48:例4.1.1
设生存函数 s( x) (01≤x<1x00),年
利率为0.1,计算:
100
1
A 3 0 :1 0 ]
35
x
=
zt fT (t)dt
0
=∑zk+1*p
11
主要内容安排
• 死亡年度末给付的寿险（4.2） • 死亡即付的寿险（4.1） • 死亡即付和死亡年末给付的寿险
的精算现值的关系（4.3） • 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） • 变额寿险趸缴纯保费（4.4） • 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）
险金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。
趸缴纯保费用
m|A
表示。
x :n ]
•
1
1
A m| x:n] m| Ax:n]m| Ax:n]
1
1
1
Ax:mn]Ax:m]m| Ax:n]
41
死亡即付寿险的 趸缴纯保费计算公式小结 P56
• 定期寿险 • 终身寿险 • 两全保险 • 延期m年的终身 • 延期m年的定期 • 延期m年的两全
• (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。 • (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
19
终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保 险期限为终身，死亡年末给付的寿险的
趸缴纯保费。
Ax EZ
v k 1 k |q x
k0
• 将上例定期寿险改为终身寿险
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其精算现值以 m A x 表示，有
x1
mAx E(Z) vk1kqx km
显然有 Ax A1x:mmAx
5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起 的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n 年定期寿险，其赔付现值随机变量为
0 , K 0 ,1 ,2 , ,m 1 Z vK 1 ,K m ,m 1 , ,m n 1
A 4 10:35%k 40vk1kq40k 401.01 5k1dl44 00 k
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s(x) 1 x , 105
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
注: 在符号 A 1 中，令n=1，即得 A 1 ，在
A A1 A 1
35 :5
35 :5
35 :5
4
v k 1 k q35 v 5 5 p35
k0
1 l35
4
( v k 1d 35k
k 0
v5l40 )
4.延期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期 终身寿险，现值随机变量为
0, K0,1,2,L,m1 Z vK1, Km ,m1,L
机变量为 ZvK1 ，它的期望就是其精算现值.
因为 所以
P (Kk) kpxqx k kqx
A xE (Z)k x0 1vk 1kqxl1 xk x0 1dxkvk 1
●赔付现值随机变量的方差：
V(a Z )r E (Z 2) [E (Z )2 ]
E(Z2)
v2(k1)kqx
e q 2(k1) kx
vk1, k0,1,2,,n1 Z
0, kn,n1,
精算现值以 A 1 表示，有 x :n
n1
A1 E(Z) x:n
vk1kqx
k0
Z的方差为
其中
Var(Z)2A1 (A1 )2
x:n
x:n
n1
2A1 E(Z2) x:n
v2(k1) k qx
k0
n1
v2 (k1) k qx k0
例1: 某40岁的人投保了5年10000元定期寿险， 保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险 业经验生命表（2000-2003）（男性表）计 算趸缴纯保费（利率5%）。
x :n
x :1
人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一
保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死
亡率计算出来的该年度的死亡纯保费，用符
号cx 表示，即
cx
vqx
1 1i
dx lx
3年末1 单位元赔付现值随机变量为
vk1, k0,1,2,L,n1 Zvn, kn,n1,L
死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人 签约时的整值剩余寿命加1。
1. 终身寿险
对 ( x ) 的1单位元死亡年末赔付终身寿
险，其精算现值以 A x 表示。
记 K(x) k 为 x岁投保人的整值剩余寿命，
下面计算 A x
死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随
标准递增的终身寿险
Z (K1)vK1, K0,1,2,L
1
…
11
…
x x+1 x+2
…
1…
1
1…
…
1
1…
1
1…
x+n-1 x+n
其精算现值以 (IA) x 表示，有
( IA ) x E (Z ) (k 1)v k 1k q x k 0
k
v k 1k q x
k0 m0
v k 1k q x m Ax
人寿保险精算现值
路漫漫其悠远
少壮不努力，老大徒悲伤
保险费又称为总保费或毛保费，可以分为 净保费（纯保费）和附加保费。 净保费是补偿 保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分， 附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发 生的费用需要的缴费部分。
本节考虑如下险种的精算现值：
● 终身寿险 ● 定期寿险 ● 生存保险 ● 两全保险 ● 延期保险 ● 变额保险
Whole life insurance Term life insurance Pure endowment insurance Endowment insurance Deferred insurance Varying insurance
4.1 死亡年末赔付的人寿保险
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
其精算现值以 m n A x
或
m
A1 x :n
表示，有
mn1
mn Ax E(Z)
vk1 k qx
km
A1 A1
x : mn
x:m
6.标准变额寿险
如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时 间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。
如果赔付额 bK1K1，K是从投保开始到 死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
k0
k0
E ( Z 2 ) 相当于以计算趸缴净保费利息力
的两倍计算的趸缴净保费。
记 有
2Ax E(Z2)
Va (Z)r2A x(A x)2
赔付现值随机变量的方差反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。
2.定期寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险， 其现值随机变量为
Var(Z)Var(Z1Z2) Var(Z1)Var(Z2)2E(Z1)E(Z2)
Z2 的方差为
Var(Z2) E(Z22)[E(Z2)]2 v2n n px [vn n px]2 v2n n px nqx
例3: 设（35）投保5年两全保险，保险 金额为1万元， 保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
m0 km
m0
标准递减的定期寿险 bK1nK
1
1
1
1
1
…
1
1
…
1
1
1
x x+1 x+2
…
x+n-1 x+n
以 ( D A )1 表示标准递减的定期寿险 x:n
精算现值，有
(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为
n1
A x:n
vk1 k qx vn n px
k0
@A1 A 1
x:n
x: n
其中 A 1 表示1单位元给付纯生存险的 x:n
精算现值。
☆两全保险现值随机变量的方差
设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有