有关排队问题的排列组合题解法举例

有关排队问题的排列组合题解法举例

例1：三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解：（1）（捆绑法）

因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法．

（2）（插空法）

要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．

（3）解法1：（位置分析法）

因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法．

解法2：（间接法）

3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在

首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．

解法3：（元素分析法）

从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有种不同的排法，

（4）解法1：

因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，

这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种不同排法．因此共有种不同的排法．

解法2：

3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数．

因此共有种不同的排法．

说明：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．

若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．

间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．例27名同学排队照相．

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

3名女生，

(4)若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？

3

分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有A

7种排法；第二步，347

剩下的4人排在后排，有A

4种排法，故一共有A

7种排法．事实上排两排与排成 A

4 A

7

7

一排一样，只不过把第4~7个位子看成第二排而已，排法总数都是A

7，相当于7个人的4

全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．

解：(1)A

7 A

4 A

75040种．

1

(2)第一步安排甲，有A

3种排法；第二步安排乙，有A

4种排法；第三步余下的5人排在5

剩下的5个位置上，有A

5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有115

A

3 A

4 A

51440种．1

347

(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的53

全排列问题，有A

5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A

3种排法．由分步计53

数原理得，共有A

5 A

3720种排法．

4

(4)第一步，4名男生全排列，有A

4种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名3

男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A

5种插入方法．由分步计数原理得，43

符合条件的排法共有：A

4 A

51440种．

说明：

(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．

(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．

例3八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：215215

A

4 A

2 A

5 A

4 A

4 A