格林函数法

显然没有考虑边界的影响 （或者说对应着无界空间）
G1 0
（在区域内）

G1 G0
G0 rr;rr0 称为相应方程的基本解（即无界空间的格林函数）
注意
① G 0 表示点 rr 0 处的源对点 rr 处的直接影响，G 1 表示点 rr 0 处的源 对点 rr 处（通过边界）的间接影响。
则 rr1OM1
P
r
R
q
G1

40
rr
r r1
r
rr O
r0
M0
M1
因此：
M
q
1
40
rr Rr1

4
rr Rr0
q
0
Rrr rrr1 Rr0
PM1 PM0
选取
M1

r r1

使得
O P M 1: O P M 0
P
q PM1 R r1
0 PM0 r0 R
Ò u v g d S T g ( u v ) d V T u v d V T u g v d V
上式称为第一格林公式
T u vv udVÒ u n vv u n dS
② 若认为 G 0 、G 1 是由点电荷q1 0、q 2 产生的电势，则由
它们满足的方程可知： G 0 是所研究区域内 rr 0 处的点电荷 q 1 在
所研究区域内 rr 处产生的、且不计任何边界或初始条件的电
势；G 1 则应为点电荷q 1 在边界上产生的感应电荷的等效点电荷
内q （2 rr电处量产未生知的，并位满置足rr 1一应定在边所界研条究件区的域电之势外。）在所研究区域
为 求 格
林
必须解一个特殊的泊松方程边值问题
函 数
对一般形状区域，要解决这个特殊的泊松方程边值问题也
十分困难，但由于满足的边值问题具有同一性，难度相对原问
题也有一定程度降低，特别是对泊松方程狄利克雷问题其格林
函数又有十分明确的物理图像，因此该做法仍具有重要而积极
意义。不仅如此，对若干特殊形状区域，还可用初等方法求出，
u
rr




rr

② 第二边值问题（诺伊曼问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
在边界上对外法线方向的导数取已知值。
u rr f rr


u

rr

n




rr

③ 第三边值问题（洛平问题）
求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程， 在边界上其本身和对边界外法向导数的线性组合取已知值。
rr 0
c o sc o s0 s i ns i n 0 c o s 0
球的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的格林函数由例1得：
G=4rr1rr0 4r0Rrrrr1
G n
G = r0 R r0
r0

R41r0
1 rr rr0
由格林函数的对称性可得
Ò u ( r ) T G ( r ,r 0 ) f( r 0 ) d V 0 [ u ( r 0 ) G ( n r 0 ,r 0 ) G ( r ,r 0 ) u ( n r 0 0 ) ] d S 0
解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R

u rR f ,
r R
r
rr O
r0
M0
M1
M
解：设 M 0rr0,Mrr的球坐标为 r0,0,0,r,,rr1OM1
r r0
、rr
在球坐标系中单位矢量分别为
z
rr 0
③ 三维空间： G 04 0q r r r r04 0r r0 r r0 4 r r 1 r r0
二维空间：
G0
11

2
ln
rr
r r0
c0
G1 0 G1 G0
2. 电像法求特殊区域的格林函数
思路：根据格林函数的物理意义，利用电磁学中关于计算 点电荷电势的知识，针对特殊区域的具体形式，再结合几何、 数学有关内容，就可求得相应的格林函数，从而解决该区域上 泊松方程的边值问题。这即是所谓的电像法。
用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边 值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题， 一 般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本积分公式可求得 定解问题的解．
3.第一边值问题格林函数
u rr f rr

u
rr




r

ur r0Ò u G nG u n dST G fdV
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：
G(r
,
r0
)


(r

r0
)

[G
G n
]
0
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
( r r 0 ) ( x x 0 )( y y 0 )( z z 0 )
上式称为第二格林公式，简称格林公式
3. 泊松方程的基本积分公式
① 格林函数的引入
典型的泊松方程( 三维稳定分布）边值问题
u rr f rr

u


u n




rr

为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的
格林函数 G ( r , r0 )
例1 试求球内的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。
解：该定解问题为三维，其基本解为
G0

4
1 rr r r0
G1 0 r R
G
1
则满足
G1
rR
G 0
rR

4
1 rr R r0
设产生 G 1 的等效点电荷电量q
、位置
rr
（在
1
rr
0
的延长线上
且在球形区域以外，这样方程自然满足）
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题）
求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
且在边界上取已知值。
u rr f rr
u rr f rr

u


u n




rr

上述定解问题，都是要求在区域内部求解，故又称为内问 题；若在区域外部求解，则称为外问题。
2. 格林公式
ux,y,z,vx,y,z在闭域T 上有连续一阶偏导数，
在 T 内有连续二阶偏导数，则有（ n 为外法线方向）
4r0Rrr
r r1

4
1
rr

r r0

R r0
0
40
Leabharlann Baidurr

R2 r02
r r0

4
1 rr r r0
R
r0 4
1 rr Rr022
r r0
u r r Ò r r 0 G r r n 0 ;r rd S 0 T G r r 0 ;r rfr r 0 d V 0
Ò ( u ( r ) G n G u ( n r ) ) d S T ( u ( r ) G G u ( r ) ) d V
即为 Ò [G u nu(r) G n]dST(G u(r)u(r)G )dV T[G(f(r))u(r)(rr0)]dV
格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的 一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。
若已知点电荷(点
U 源)产生的场(边
界无限远,无初始 q
条件）
U = dU 积分得到
任意带电体(任意 源)产生的场(边
界无限远，无初 Q
始条件）
V
q
若能求出某一点 源在给定初始和 边界条件下产生 的场
从而能够解决该区域上的所有泊松方程的狄利克雷问题。
对狄利克雷问题的格林函数应满足：
Grr;rr0rrrr0 Grr;rr0 0
令 GG0 G1代入上述定解问题有
G0G1rrrr0
G0 G10
再令 G 0rrrr0
u r r l r r 0 G n r r 0 ;r r 0 d l0 S G r r ;r r 0 fr r 0 d S 0
G0

4
1 rr r r0
G0
1 ln
2
r r
1 rr0
c0
G1 0 G1 G0
u r r 0 l r G n r r;r r 0 d l S G r r;r r 0 fr rd S
由格林函数的对称性可得
u r r Ò r r 0 G r r n 0 ,r rd S 0 T G r r 0 ,r rfr r 0 d V 0
Grr,
r r0

Grr0, rr
r0 处的点源在点 r处产生的场 r处的点源在点 r0 处产生的场
场相同
格林函数具有对称性
对称性在电学上的意义：
r0 处单位点电荷在 r处产生的电势等于 r处单位点电荷在
r0 处产生的电势
根据格林公式， 令 v G(r,r0) 得到
r R
rr O
r r0
M0
M
q

R r0
0
r r1

R2
r
2 0
r r0
G=G0+G1

4
1 rr r r0
40qrr
r r1
M1
球形区域格林 函数表达式； 区域形状不同 其格林函数也
会有所不同

4
1 rr r r0
4Rr00 rr0rr1

4
1 rr r r0
二维时 u r r l r r 0 G n r r 0 ;r r 0 d l0 S G r r ;r r 0 fr r 0 d S 0
上式为第一边值问题解的积分表示式
§5.2 用电像法求格林函数法
1. 无界空间的格林函数 基本解
为求解泊松方程 ① 求出对应的格林函数 ② 利用解的积分表达式
根据 函数性质有：
Tu(r)(rr0)]dVu(r0)
可得如下泊松方程的基本积分公式
urr0T vfdVÒ v u nu n v dS
即
ur r0Ò u G nG u n dST G fdV
格林函数具有十分
明确的物理意义：
位于 rr 0 处且电量为 0
的内点rr 电处荷所在产接生地的的电导势体。壳由此可以
进一步理解通常人们为什么称格
r r
rr 0 q 0 o
林函数为点源函数．
② 格林函数的对称性
G r r,r r0 r r r r0 函数性质 G r r;r r0G r r0,r r
r0
R rr rr1
r0R
1
1

R

4r0 r2r0 22 rr0co s
r0
r2r1 22 rr1co s
r0 R
1
1

R

4 r0 r2 r0 2 2 rr0c o s
r2 r0 2 R 4 2 R 2 rr0c o s
分析： 只须消掉公式中的 u 项即可得到结果。 n
相应的格林函数G (r , r0 ) 是下列问题的解：
Grr;rr0rrrr0 rr,rr0T Grr;rr00
二维时
u r r 0 Ò r G r r n ;r r 0 d S T G r r;r r 0 fr rd V
r
r
r r 0
k 0 s i n 0 c o s 0 i + s i n 0 s i n 0 j + c o s 0 k y
r
r
r r 0
k s i n c o s i + s i n s i n j + c o s kx
rr
cosk0k
rr
r k

r k0