弹性与塑性力学第2,3章习题答案

第二章

2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000

（应力单位） 求出：

（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；

（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。

解答：

(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量n

T i ，得

n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 n

T 3=σ3j n j =157.31

所以，应力矢量n

T 的大小为

=n

T [(n

T 1 )2

+(n

T 2 )2

+(n

T 3)2]1/2=314.62

(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0

其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3

其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。 将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）

注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d ）由式（2.96），可算

σotc =1/3（0+100+300）=133.3

τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56

(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =200

2.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。

σij =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡------4/114/5)22/(14/54/11)22/(1)22/(1)22/(12/3（应力单位）

（a ）从给定的σij 和从主应力值σ1，σ2和σ3中确定应力不变量I 1，I 2和I 3； （b ）求出偏应力张量S ij ；

（c ）确定偏应力不变量J 1，J 2和J 3； （d ）求出八面体正应力与剪应力。 解答：同上题2.1（a ）（b ）（c ）方法得到σ1=4、σ2= 2 、σ3=1 对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i

（1）

=（0，

21，±2

1

） n i （2）=（±

2

1

， 0.5， 0.5） n i （3）=（±

2

1

， ±0.5，±0.5） （a ）特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0

中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。 代入数据的：I 1 =7；I 2 =14；I 3 =8

（b ）偏应力张量由式子（2.119）得出S ij =σ12-p δij ，其中p=7/3

S ij =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------12/54/5)22/(14/512/5)22/(1)22/(1)22/(16/5-

(c)J 1= S ii =0，J 2=1/6[4+1+9]=2.333, J 3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741

(d) σotc =1/3*7=2.333 τotc = 2/3(I 12-3 I 2) 1/2=1.247

2.3（李云雷）（a ）解释：如果吗？能得出0S ,3321=>>S S S （b ）解释：2J 可以为负值吗？ （c ）解释：3J 可以为正值吗？ 解：

（a ）不能，因为,0321=++S S S 所以3S 不能等于0.

（b ）因为])()()[(61

2132322212σσσσσσ-+-+-=J ，所以2J 不可能为负值。

（c ）可以，当321,,S S S 中有一个正数，两个负数时3J 为正值。

2.7 （金晶）证明以下关系

（a ）2

212

13J I I =-

证明：

1123

2121332

22221123123312222123121332

2

22212123121332121332

22

212312133221()()2()22211(222)3

311()()

3

31[(6

I I I I I J σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++=++=++=++++=+++++-=+++++-++=++-++=-2

22222213321231213322212

11)()()]()()

331

3

J I I σσσσσσσσσσσσσσ+-+-=++-++∴=-

（b ）

3

33121

12327J I I I I =-+

证明：