八年级全等三角形单元培优测试卷

八年级全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形

（1）如图，在ABC

∆中，25,105

A ABC

∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC

∆分割成两个等腰三角形，则BDA

∠的度数是______．

（2）已知在ABC

∆中，AB AC

=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC

∆分割成两个等腰三角形，则A

∠的最小度数为________．

【答案】130︒

180

7

︒

⎛⎫

⎪

⎝⎭

【解析】

【分析】

（1）由题意得：DA=DB，结合25

A

∠=︒，即可得到答案；

（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，

③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A

∠的度数，即可得到答案．

【详解】

（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，

当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，

∴∠BDA=180°-25°×2=130°．

故答案为：130°；

（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，

∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴4∠B=180°，

∴∠BAC=90°．

②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，

∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，

∴∠BAC=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴∠BAC=108°．

③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，

∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=2∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴5∠BAC=180°，

∴∠BAC=36°．

④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，

∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=3∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴7∠BAC=180°，

∴∠BAC=

180 ()

7

︒．

综上所述，∠A的最小度数为：

180 ()

7

︒．

故答案是：

180 ()

7

︒．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．

2．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72

ABC EDC

∠=∠=︒，92

AEB

∠=︒，则EBD

∠的度数为 ________ ．

【答案】128︒

【解析】

【分析】

连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，

ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则

∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．

【详解】

连接CE，

∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，

∴CA=CB，CE=CD，

∵72

ABC EDC

∠=∠=︒=∠DEC，

∴∠ACB=∠ECD=36°，

∴∠ACE=∠BCD，

在∆ACE与∆BCD中，

∵

CA CB

ACE BCD

CE CD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴∆ACE≅∆BCD（SAS），

∴∠AEC=∠BDC，

设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，

∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，

∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．

故答案是：128︒．

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

3．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．

【答案】30°．

【解析】

【分析】

如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，

∠AOB=1

2

∠P'O P''=30°.

【详解】

解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，

由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"

∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小

∴P'P"=5