点的合成运动

解：选套筒A为动点，T字形杆为动系，地面为定系。动点
的绝对运动为圆，绝对速度的大小为 v a rω 1 0 2 0 2 0 0 c m /s
绝对速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度ω的方向
由于T字形杆受水平约束，则牵连运动为水平方向；动点
例5-4 如图所示曲柄滑道机构，T字形杆BC部分处于 水平位置，DE部分处于铅直位置并放在套筒A中。已知曲柄 OA以匀角速度ω=20rad/s绕O轴转动，OA=r=10cm，试求 当曲柄OA与水平线的夹角φ=0°、30 ° 、60 ° 、90 °时，T形 杆的速度。
B
C
D
vr
va
A
ve
φ
E
ω O
点的合成运动
点的合成运动
例5-3 汽车以速度沿直线的道路行驶，雨滴 以速度铅直下落，如图所示，试求雨滴相对于汽车 的速度。
v1
v1 M
v2 vr
点的合成运动
解： (1)建立两种坐标系 定系建立在地面上，动系建立在汽车上。 (2)分析三种运动 雨滴为动点，其绝对速度为 va v2 汽车的速度为牵连速度(牵连点的速度)，因汽车作平移，各点
ve
drM dt
rO xi ' yj ' zk '
va
drM dt
rO xi ' yj ' zk ' xi ' yj ' zk '
点的合成运动
得
va ve vr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间满足平 行四边形合成法则，即绝对速度由相对速度和牵连速度所 构成平行四边形对角线所确定，这个平行四边形称为速度 平行四边形。
标系，刀尖的运动方程为 x b sin t 。工件以
等角速度 逆时针转向转动。
求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
点的合成运动
已知：x bsin t, t 求: f x, y 0
解: 动点：M 动系：工件 Oxy
相对运动方程
x' O M c o s t b sin tc o s t b sin 2 t 2 y OM sin t b sin 2 t b (1 cos 2t)
2 相对运动轨迹
x2
y
b
2
b2
2 4
点的合成运动
5.2 点的速度合成定理
定系：Ｏxyz，动系：O' x' y' z，' 动点：Ｍ
rM rO r '
r ' xi ' yj ' zk '
rM rM
M ' 为牵连点
点的合成运动
vr
dr ' dt
xi
'
yj
'
zk
'
导数上加“～”表示相对导数。
点的合成运动
应当注意： (1)三种速度有三个大小和三个方向共六个 要素，必须已知其中四个要素，才能求出剩余的 两个要素。因此只要正确地画出上面三种速度的 平行四边形，即可求出剩余的两个要素。 (2)动点和动系的选择是关键，一般不能将 动点和动系选在同一个参考体上。 (3)动系的运动是任意的运动，可以是平移、 转动或者是较为复杂的运动。
点的合成运动
从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动是不 同的，它们之间存在运动的合成和分解的关系。在上述例 子中，车轮上的点M时沿螺旋线运动，若以车厢作为参考 体，则点M相对于车厢的运动时简单的圆周运动，车厢相 对于地面的运动时简单的平移。这样轮缘上一点的运动可 以看成两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运 动，同时车厢相对于地面作平移运动。也就是说，轮缘上 一点实际上做螺旋线运动，可以分解成两个简单的运动， 这就是运动的合成与分解。
的速度均相等。即 ve v1 (3)作速度的平行四边形 由于绝对速度va和牵连速度ve的大小和方向都是已知的，如图
所示，只需将速度va和ve矢量的端点连线便可确定雨滴相 对于汽车的速度vr。vr故va 2ve 2v2 2v1 2
雨滴相对于汽车的速度与铅直线的夹角为
tan v1
v 点的合成运2动
x y
xO yO
x cos x sin
y y
sin cos
点的合成运动
例5-1 点M相对于动系 Oxy 沿半径为r的圆周 以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy相 对于定系 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如图 所示。初始时 Ox与y Ox重y 合，点M与O重合。
点的合成运动
5.1.2 绝对运动、相对运动和牵连运动
两个坐标系
定参考坐标系（定系） 动参考坐标系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
点的合成运动
相对轨迹
相对速度 vr 相对加速度 ar
绝对轨迹
绝对速度 va 绝对加速度 aa
第5章 点的合成运动
点的合成运动
5.1 概述
5.1.1运动的合成与分解
在工程和实际生活中物体相对于不同参考系运动的例子很多， 如图所示，沿直线滚动的车轮，若在地面上观察轮边缘上点M 的运动轨迹是旋轮线，但在车厢上观察则是一个圆。如图所 示，车床车削工件时，车刀刀尖M相对于地面做直线运动，而 相对于旋转的工件却是沿圆柱面做螺旋运动，因此车刀在工件 的表面切出螺旋线。
x
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r1
cos
vt r
y
r sin
vt r
绝对运动方程
x
x cos
y sin
r 1
cos
vt r
cost
r
sin
vt r
sin
t
y
x sin
y cos
r1 cos 点的合成运动
vt sin r
t
r
sin
vt r
cost
例5-2 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐
求：点M的绝对运动方程。
点的合成运动
已知：r，相对速度v， ＝ωt， t0 0。
求：点M的绝对运动方程。
解: 动点：M点 动系：Oxy
相对运动方程
x OO1 O1M cos y O1M sin
代入 vt
r
点的合成运动
已知：r，相对速度v， ＝ωt， t0 0。
求：点M的绝对运动方程。
牵连速度 ve 和牵连加速度 ae
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的 速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
点的合成运动
5.1.3 利用坐标变换建立三种运动的关系
动点：M 动系：O ' x ' y '
绝对运动运动方程
x x t
y
y t
相对运动运动方程
x xt
y
yt
由坐标变换关系有