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试论方向导数在求二元函数极限中的应用

一、问题的提出:

函数极限定义为：e >0, 6>0 当0< (x-xO) 24- (y-yO) 2〈§ 时，有f (x, y) ~A< e ,成立，则limxf xO y-yO f (x, y) =A A的存在与否，与x—x, 0, y~yO的方式无关，与趋向方向无关。只与园r= (x-xO) 2+ (y-yO) 2去心邻域有关。

先可将X—x, 0, y—y0的方式与方向x—x, 0, y-*yO 两者人为分开，先看成在L方向上任意变化，如图1；然后再让方向a 任意变化，如图2。

只要是园型区域的点，人为分解后，点(x, y)集仍然组成园型区域。

这样，在L方向上，二元函数Z=f (x, y),可视成关于方向L 的一元函数，Z=G (L)o在方向L上，一元函数洛必达法则仍然适用。

二、L方向上的洛必达法则转换成任意方向的二元函数

求极限的方法

(%1)在L 方向上，当r二(x-xO) 2+ (y-yO) 2—0 时, 函数F (L)、G (L)满足下列条件：

1： F (L) ->0、G (L) ->0

2： dF (L) d (L)与d (L) dL 存在且d (L) dLHO

3： limr-OdF (L) dLdG (L) dL 存在，贝lj limr-OF (L) G (L)二limr-OdF (L) dLdG (L) dL

(%1)转换成方向导数求“00”型的二元函数极限

因为ff 0〜X—xO, yf yO,所以有x-^xO, y-^yO 时，当函

数f (x, y)、G (x, y)满足下列条件

1： f (x, y) —0, G (x, y) —0。

2： dF (x, y) dr=F (x, y) xcos a +F (x, y) ysin a > dG (x, y) dr=F (x, y) xcos a +G (x, y) ysin Q 存在且dG (x, y) dr=F (x, y) xcos a +G (x, y) ysin a 7^0,

3： limy —yOxf xO F (x, y) G (x, y) = limy—yOx fxO F (x, y) xcos a + F (x, y) ysin a G (x, y) xcos a + G (x, y) ysin a ,注Q在Oo…360o取任意值时，都成立时，极限存在，等于

右侧的值。a取某一确定值时，右侧不存在时，极限不存在。

同理可以导出Xf°°, yfoo的法则：y-*00,时, 当函数f (x, y)、G (x, y)满足下列条件

1： f (x, y) —0, G (x, y) —0。

2 当x>N, y>N 时，dF (x, y) dr=F (x, y) xcos a +F

(x, y) ysin a > dG (x, y) dr=F (x, y) xcos a +G (x, y) ysin a 存在，且dG (x, y) dr=F (x, y) xcos a +G (x, y) ysin a HO, 3： limxf °°yf °°F (x, y) G (x, y) = limx-*°°y-* °°F (x, y) xcos a + F (x, y) ysin a G (x, y) xcos a +

G (x, y) ysina ,注a在Oo…360o取任值时,都成立时, 极限存在，等于右侧的值。a取某一确定值时，右侧不存在

时，极限不存在。

实例计算

例1:求liirix—Oy—Osinxyx + y

解：limxf Oyf Osinxyx + y=limx~>Oy-*Oycosxycos a + xcosxysin a cos a + sin Q,因为分子不恒为0,而当Q 二3 肌4 时sin a +cos a 二0, 故limxf 0y—Osinxyx + y 不存在。

例2：求liinx—0y-*Osinxyxy

解：limxf Oyf Osinxyxy = limxf Oyf Oycosxy • cos a + xcosxy • sin a ycos a + xsin a = 1,与重要极卩艮一样的结论。

例3：求limxf Oyf 0 n 2-arctanxylxy

解：:limxf OyfO n 2-a.rctanxylxy = limx-^Oy-^O-yll

+ x2y2cos a -xll + x2y2sin a -y (xy) 2cos a ~x (xy) 2sin =limx-*0y-*0x2y21 + x2y2 = 0

四、结语

求二元函数的极限与连续性，有时十分复杂。本文提出的上述法则，可能会有益于二元函数的极限与连续的分析。三元及更多元函数的极限与连续情形更复杂，有待进一步的探究。