关于圆的切线的各种定理

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA（切线性质定理）

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点

∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）

证明：连结OA、OB

∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点

∴OA⊥AP、OB⊥PB

∴∠OAP=∠OBP=90°

在△OPA和△OPB中：

∠OAP=∠OBP

OP=OP

OA=OB=r

∴△OPA≌△OPB（HL）

∴PA=PB，∠APO=∠BPO

弦切角概念

顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；

（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；

（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．

弦切角定理

弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]

几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC

∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ

∴∠1=∠2

证明：作AD⊥EC

∵∠ADC=90°

∴∠ACD+∠CAD=90°

∵ED与⊙O切于点C

∴OC⊥ED

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°

∴∠OCA=∠CAD

∵OC=OA=r

∴∠OCA=∠OAC

∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD

又∵∠ACD=90°-∠CAD

∴∠ACDC=1/2∠COA

∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。