结构动力学多自由度线性体系Wilson-θ法程序编写
结构动力学大作业2
结构动力学大作业班级：学号：姓名：目录1. Wilson-θ法原理简介 (2)2. Wilson-θ程序验算 (3)2.1△t的影响 (4)2.2 θ的影响 (5)3. 非线性问题求解 (5)4. 附录 (8)Wilson-θ法源程序 (8)1. Wilson -θ法原理简介图1-1Wilson-θ法示意图Wilson-θ法是基于对加速度a 的插值近似得到的，图1-1为Wilson-θ法的原理示意图。
推导由t 时刻的状态求t +△t 时刻的状态的递推公式：{}{}{}{}()t tt t t y y y y tτθτθ++∆=+-∆ (1-1)对τ积分可得速度与位移的表达式如下：{}{}{}{}{}2()2t t t t t t yy y y ytτθττθ++∆=++-∆ (1-2){}{}{}{}{}{}23()26t t t t t t t y y y y y ytτθτττθ++∆=+++-∆ (1-3)其中τ=θt ，由式(1-2)、(1-3)可以解出：{}{}{}{}{}266()2()t t t tt t t y y y y y t tθθθθ+∆+∆=---∆∆(1-4){}{}{}{}{}3()22t t t t t t t tyy y y y t θθθθ+∆+∆∆=---∆(1-5)将式(1-4)、(1-5)带入运动方程：[]{}[]{}[]{}{}m y C y k y P ++=(1-6)[]{}[]{}[]{}{}t t t t t t t tm y C y k y P θθθθ+∆+∆+∆+∆++= (1-7)注意到此时的式子为{{}t t y θ+∆}和上一个时刻{}t y 、{}t y、{}t y 以及t +θ△t 时刻的荷载{}t t P θ+∆相关，可以运用迭代的思想来求解，下图给出线弹性条件下Wilson -θ法的流程图：图1-2Wilson-θ法流程图2.Wilson-θ程序验算对线弹性条件下的Wilson-θ法进行MATLAB编程，源代码见附录。
威尔逊—θ法在matlab中的实现
^
^
k u(ti +θ∆t) = P(ti +θ∆t)
其中
^
k=k+
6
m+ 3 c
(θ∆t)2 θ∆t
（10） （11）
•
^
P(ti
+ θ∆t )
=
Pi
+θ
( Pi +1
−
Pi
)
+
6 [ (θ∆t ) 2
ui
+
6 θ∆t
•
ui
+
••
2 ui
]m
+
(3 θ∆t
ui
+
2 ui
+
θ∆t 2
••
ui
)c
（12）
（2）
•
τ 2 ••
τ 3 ••
••
u(ti +τ ) = u(ti ) +τ u(ti ) + 2 u(ti ) + 6θ∆t [u(ti +θ∆t) − u(ti )]
（3）
当 τ = θ∆t 时，由式（2）和式（3）得到
•
u(ti
+ θ∆t )
=
•
u(ti
)
+ θ∆t
••
u(ti
)
+
θ∆t 2
加速度 0.00E+00 -7.41E-04 -1.21E-03 -1.42E-03 -1.58E-03 -1.54E-03 -1.44E-03 -1.18E-03 -8.64E-04 -4.67E-04 -2.70E-05 3.80E-04 8.26E-04 1.10E-03 2.48E-03 7.78E-03 1.49E-02 8.72E-03 -1.65E-03 -6.50E-04 -1.54E-03 -2.86E-03 -4.51E-03 -6.70E-03 -8.43E-03 -3.74E-03 1.78E-03
中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法与精确解的误差分析
中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法与精确解的误差分析作者：于津津贾慧敏宋敏来源：《教育周报·教育论坛》2018年第05期摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。
但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。
关键词：结构动力学;中心差分法;纽马克法;威尔逊-θ法一、引言：结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q ;;（1）为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。
如图1所示，该体系在冲击荷载 p（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k单位N/cm。
另：自由振动的周期T1=4.45，T2=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，T2=0.28，并假定X0=0;V0=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。
取δ=0.25，γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。
取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。
二、计算方法简介1、精确解计算根据精确解的计算公式可得：X1（t）=1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）X2（t）;=3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）速度的计算公式为位移的导数，加速度的公式为速度的导数。
（下同）2、中心差分法用位移向前一步的差分表示的速度后一步的差分表示的速度的平均来确定当前时刻的速度，得到以当前时刻t为中心的前后时刻位移的差分表示的速度，即：若：x=x0-1/（2×a1）×d x0+1/（2×a0）×d2x0; ;x1（t）=x0（1）;x2（t）=x0（2）;3、纽马克法当在t时刻的响应{x}t，{﹒x}t，{¨x}t，已知时，要求下一时刻t+Δt的响应值{x} t+Δt，{﹒x} t+Δt，{¨x} t+Δt，令在待求时刻动力学方程成立，即：{﹒x} t+Δt={﹒x}t+Δt（1-γ）{¨x} t +γΔt{¨x} t+Δt ;;（2）{x} t+Δt={x}t+{﹒x}tΔt+（0.5-δ）{¨x} tΔt^2+δ{¨x} t+ΔtΔt^2 ;（3）β，γ为按积分精度和稳定性要求而确定的参数，由式3可解得：1/{¨X}t+Δt;=βΔt 2（{X}t+Δt -{x}t）-βΔt ×1/{﹒x}t-（2β-1） ×1/{¨x}t ;;（4）将（4）带入（2）得：{﹒x}t+Δt =γ/βΔt 2×（{x}t+Δt -{x}t）+（1 –γ/β）{﹒x}t +（1 -1/2β）t{¨x}t ;;（5）{x}t +Δt 可由t +Δt 时刻的运动方程求得，即：[M]{¨X}t+Δt +[C]{¨X}t +Δt +[K]{X}t +Δt =[F] t +Δt ;;（6）將式（4）、式（5）代入式（6），可求得求得{X}t+Δt，后求{﹒X}t +Δt 和{¨X}t +Δt。
威尔逊法
P ( t )t i
P i(
t )
（9）
式（6） 、式（7）和式（9）代入式（8） ，得到计算 u(ti t ) 的方程
ˆ (t t ) P ˆ t( t ) ku i i
其中
ˆk k 6 3 m c 2 (t ) t
（10）
（11）
ˆ (t t ) P ( P P ) 6 u 6 u 2u m P i i i 1 i i (t ) 2 i t i 3 t ( ui 2ui ui )c t 2
(
3 t ui 2 ui ui ) C t 2
ˆ ˆ K u (ti t ) P(ti t ) 6 6 3 ui 1 3 2 (u (t i t ) u i ui ) 2 ui (1 ) ui t t t ui 1 ui (ui 1 ui ) 2 t 2 u u t u (ui 1 2 ui ) i 1 i i 6
（16）
其中等效刚度矩阵和等效载荷向量分别为
6 3 ˆ K K (t ) 2 M t C ˆ (t t ) P (P P
i i i 1
6 6 Pi ) u ui 2 ui M 2 i t (t )
（12）
又式（10）得到 u(ti t ) 代入式（6）求得 u(ti t ) ，再把 u(ti t ) 代 入式（1） ，并取 t ，得到
i 令式（2）和式（3）中的 1 ，并取 t ，可得到 t t 时刻的速度和 3 2
u( t u i t ) i1
6 t
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
结构动力响应数值计算方法对比分析
结构动力响应数值计算方法对比分析作者：李涵来源：《青年生活》2019年第21期摘要：中心差分法、纽马克法、威尔逊-法是结构动力学中常用的三种方法，为了系统的比较其优缺性，本文针对一个双自由度的体系，首先根据已知条件计算出振动微分方程，运用Matlab计算出可求出12个步长内相应的位移值，即精确解。
然后分别运用中心差分法，纽马克法，威尔逊-法求出其近似解;最后通过三种方法的近似解与精确解相对比，进而分析出三种计算方法的优缺性，为结构动力计算提供依据。
关键词：动力计算、中心差分法、纽马克法、威尔逊-法1、动力体系概况2、精确解推导针对该双自由度体系，理论推导出系统的位移表达式，通过代入各时刻周期得出位移在各时刻的具体数值，即位移精确解。
对位移方程求一阶导数得出速度方程，求二阶导数求出加速度方程。
代入各时刻的周期值，通过Matlab计算得出位移、速度、加速度的数值如下：3、三种数值计算方法3.1、中心差分法中心差分法是基于用有限差分代替位移对时间的求导，对位移一阶求导得到速度，对位移二阶求导得加速度。
通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
3.2、纽马克法纽马克-β法是一种将线性加速度方法普遍化的方法。
通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
3.3威尔逊-法通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
4、近似解与精确解对比分析从上述结构的位移、速度、加速度可以看出，三种方法都能大致表示该体系大体运动趋势，并且误差较小。
其中，在描述物体位移时，中心差分法较后两种方法更为精确。
然而在描述速度和加速度时，中心差分法表现出了较大的误差，而纽马克和威尔逊法则能更详尽的表征物体速度和加速度。
5、结论中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法均是结构动力计算中的常用方法。
本文针对具体的计算实例，分别计算出三种方法的动力响应结果，并与精确解进行对比。
经过分析，中心差分法能更精确的表示物体位移响应，而纽马克和威尔逊法在表征物体速度和加速度方面相较于中心差分法更为精确，三种方法，各有其优缺点，应视具体情况采用相应的计算方法。
子结构拟动力试验的CD-Wilson θ法研究
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｎ ＣＤ － Ｗ ｉ ｌ ｓ ｏ ｎ ０ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｎ ｓ ｕ ｂ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕｒ ｅ ｐ ｓ ｅ ｕ ｄｏ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｔ ｅ ｓ ｔ ＷＡ Ｎ Ｇ Ｘ ｉ ａ ｏ ｆ ｅ ｎ ｇ ， Ｃ Ａ Ｉ Ｘ ｉ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ， Ｔ Ｉ Ａ Ｎ Ｓ ｈ ｉ ｚ ｈ ｕ ’
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｎ ｕ ｍｅ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｃ ａ ｌ ｌ ｂ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ｌ ａ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒａ ｇ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｗ ｉ ｈｏ ｔ ｕ ｔ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｍｐ ｉ ｌ ｃ ｉ ｔ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ｌ ａ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒａ ｇ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｗ ｉ ｔ ｈ ｕ ｎ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｉ ｌ ｔ ｙ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｂ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｐ ｓ ｅ ｕ ｄ ｄｙ ｏ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｔ ｅ ｓ ｔ ． Ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｈｅ ｔ Ｃ Ｄ・ Ｎｅ ｗ ｍａ ｒｋ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｉｔ ｗ ｈ ｌ ｒｇ ａ ｅ ｕ ｐ ｐ ｅ ｒ ｆ ｅｑ ｒ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｔ ｈ ａ ｔ ｌ ｅ ａ ｄ ｓ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｔ ｅ ｐ ｂ ｅ ｃ ｏ ｍｅ ｓ ｍａ ｌ ｌ ｅ ｒ ， ｔ ｈ ｅ ＣＤ－ Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ ０ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｉ ｓ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ｅ ｄ ｂ ｙ ｅ ｘ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｄ ｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｎｄ ａ ｉ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ － ０ ｍｅ ｔ ｈ ｄ． ｏ Ａｆ ｔ ｅ ｒ ｃ ｌｃ ａ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｍｏ ｄｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ － ０ ｍｅ ｔ ｈ ｄ， ｏ
Wilson_方法在结构动力分析中的应用研究
第20卷 第3期2003年08月工 程 数 学 学 报JOURNA L OF E NGI NEERI NG MATHE MATICSV ol.20N o.3Aug.2003文章编号:100523085(2003)0320082205Wilson 2θ方法在结构动力分析中的应用研究Ξ马小燕1, 王一兵2(12西安电力高等专科学校数学组 22西安交通大学建筑工程与力学学院,西安710049)摘 要:介绍了逐步积分Wils on 2θ方法在砖混建筑结构动力分析中的应用。
通过对单质点结构剪切模型在正弦激励下的模拟计算,研究Wils on 2θ方法中各参数对该方法计算精度的影响。
提出Wils on 2θ方法适合砖混建筑结构动力分析的最优参数选择。
关键词:Wils on 2θ方法;逐步积分;剪切模型;精度;稳定性分类号:AMS (2000)70J35 中图分类号:T B115 文献标识码:A1 前言逐步积分方法在工程实际当中应用非常广泛。
许多工程振动问题无法得到其精确解。
例如在地震工程问题中,研究建筑结构在地震激励作用下结构的响应时,由于地震激励的复杂性(地震波的随机性,基础场地的个性等)无法得到其精确解。
这种情况就需要用数值方法求解,逐步积分是求解复杂振动问题最常用的数值方法。
研究逐步积分方法的求解精度,对工程实际应用是非常重要。
本文采用W ils on 2θ方法,对建筑结构动力分析模型(剪切模型),受正弦地震激励作用下,进行了模拟计算。
并与精确解进行比较,分析研究W ils on 2θ方法的计算精度和稳定性。
图1 剪切模型2 Wilson 2θ法2.1 数学模型和假设结构动力分析的单质点剪切模型如图1所示。
m 为质点质量,k 层间侧向刚度,当地面有水平加速度¨x g 时质点运动方程为(无阻尼)。
m ¨x +kx =-¨x g(1)式中x 表示质点相对地面的水平位移,¨x 表示质点相对地面的水平加速度,¨x g 为地面运动加速度(地震加速度)。
结构动力学多自由度线性体系Wilson-θ法程序编写
多自由度线性体系Wilson -θ法程序编写【摘要】本文主要介绍了通过使用Matlab 软件，Wilson-θ法编写多自由度线性体系的程序的原理、流程图、具体算例以及使用注意事项。
通过该程序可以得到剪切型结构在任意函数荷载作用下各质点的位移函数。
【关键词】Matlab ；多自由度；Wilson-θ法1.wilson-θ法原理wilson-θ法中最主要的步骤就是推导由t 时刻的状态求t t ∆+时刻的状态的递推公式，现推导如下：对τ积分解出代入整理，得其中本程序的核心就是对以上公式的循环使用。
{}{}{}{})(t t t t t y y tyy -∆+=∆++θτθτt ∆=θτ{}{}{}{}{})(22t t t t t t yy t y y y-∆++=∆++θτθττ{}{}{}{}{}{})(6232t t t t t t t yy ty y y y -∆+++=∆++θτθτττ{}{}{}{}{})(21t t t t t t t yy t y t y y -∆+∆+=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{})2(6)(2t t t t t t t yy t y t y y +∆+∆+=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{}t t t t t t t y y t y y t y 26)()(62-∆--∆=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{}t t t t t t t yty y y t y 22)(3∆---∆=∆+∆+θθθθ[]{}[]{}[]{}{}t t t t t t t t P y k y C ym ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ []{}[]{}[]{}{}P y k y C ym =++ []{}[]R y k t t =∆+θ[][][][]c tm t k k ∆+∆+=θθ3)(62[]{}{}{}[]{}{}{}[]{}{}{})223()26)(6()(2t t t t t t t t t t yt y y t c y y t y t m P P P R ∆++∆++∆+∆+-+=∆+θθθθθ{}{}{}{})(t t t t t t P P P P -+=∆+∆+θθ2.程序流程图求出各常数值For I=1 to n[][][][]c a m a k k 1++=3.具体应用算例如图所示，两自由度框架结构，其中初始静止，求各层位移。
基于Newmark-β法的Matlab简单程序编写
基于Newmark-β法的Matlab简单程序编写李坤明;黄菲【摘要】我们知道,对于结构动力学问题的直接求解往往是比较困难的,而Newmark-β法的出现,很巧妙地将这种困难化解.Newmark-β法是一种时程分析的方法,它将动力学微分方程的求解问题转化为若干个代数方程逐步求解,是一种隐式积分法,可以得到足够精确的解.本文基于Newmark-β法的理论知识,用Matlab 对一个简单动力学问题的求解进行编程运算.【期刊名称】《四川建材》【年(卷),期】2018(044)009【总页数】3页(P65-66,90)【关键词】Newmark-β法;编程;结构力学【作者】李坤明;黄菲【作者单位】西华大学土木建筑与环境学院,四川成都 610039;西华大学土木建筑与环境学院,四川成都 610039【正文语种】中文【中图分类】TP3131 逐步积分法在结构动力学问题的分析中，对于承受任意动荷载的线性结构，我们可以采用Duhamel、频域分析等方法，这些方法都可以很方便地求解出所需要的结果。
但是上面的两种方法都用到了叠加原理，所以它们只适用于求解线性结构体系，同时也必须要求这种体系的特性在反应过程中不能发生变化[1]。
然而，在另一方面，我们的实际生活中有很多重要的结构动力学问题，整个反应体系并不能单纯地认为是线性变化的，比如，在足以引起强烈破坏的地震作用下，很多建筑物的反应，我们都必须考虑非线性反应的影响。
所以，我们还必须要发展对于非线性结构的动力响应的分析方法。
对于非线性体系的动力响应问题，发展出了最有效的分析方法—逐步积分法[1]。
在这种方法中，我们采用一系列的短时间增量Δt来计算反应，而通常为了方便起见，我们将Δt取为等间距的时间步长。
在每个时间间隔的起点和终点建立动力平衡方程，并以一个假设的反应机理为根据，近似地计算在时间间隔内体系的运动(通常忽略在时间间隔内产生的不平衡)，体系的非线性特性可以用每个时间间隔的起点所求得的当前变形状态的新特性来说明。
重庆大学结构动力学考试题
( x) Ao l (1 ) ，EI ( x) EI o (1 ) 3 ， i ( x) (1 ) 2 ( ) i 1 ， （假设其模态为：
i＝1,2,…,n） 。采用 Rayleigh-Ritz 法求：
x l
x l
x l
x l
(1) 系统前２阶频率和振型函数。 (2) 若在梁的自由端作用有集中力 P0 sin t ，求梁的横向稳态振动。
2015 级结构动力学期末复习题
1．试解释“动力自由度”。 2．在允许大变形的情况下，请采用拉格朗日方程求出下图所示系统在指定的广 义坐标下的运动微分方程。若仅考虑小变形振动，写出该系统的运动微分方 程。图中弹簧 1 未变形时的原长为 l1 ，弹簧 2 未变形时的原长为 a。
q1 k1 m1 P(t) x
q) (a+ 2
弹簧1
弹簧2 k 2
y q3 m2
3. 论述多自由度体系质量矩阵和刚度矩阵正交性的意义，并写出广义正交性的 表达式且加以证明。 4. 解释多自由度体系如何形成一致质量矩阵、一致刚度（包括几何刚度）矩阵 和一致荷载列阵。 5. 一栋多层框架楼房，在地震作用下发生振动，论述求解该结构弹性动力反应 的振型叠加法的原理及求解步骤。 6．针对非线性多自由度体系动力反应的求解，试写出 Wilson-θ 法、Newmark-β 法和中央差分法中的一种方法的分析步骤。并就你所知，讨论逐步积分法在 非线性动力时程分析中的稳定性、精度方面的优缺点，提出你的改进意见和 方法。 7．分析惯性式测振仪的工作原理、力学模型，并比较位移计和加速度计在力学 原理和应用方面的的异同。 8．下 图 所 示 长 度 为 l 的 悬 臂 梁 ， 质 量 和 刚 度 的 分 布 规 律 可 表 示 为 ：
wilson法和newmark法的理论过程
第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）§3.1 绪言对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程[]{}[]{}[]{}{}++=（3.1）M u C u K u F(t)这里，{}u、{}u、{}u及{}F t分别表示加速度、速度、位移及所()作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。
从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。
但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。
目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。
一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Ritz变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。
通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。
还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。
显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。
用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。
二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。
线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。
主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。
多自由度体系wilson-θ法程序编写
多自由度体系wilson-θ法程序编写多自由度体系Wilson-θ法是一种广泛应用于多体动力学和结构动力学领域的数值计算方法。
本文将介绍如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。
一、引言多自由度体系Wilson-θ法是一种基于有限元法的数值计算方法，适用于求解多体动力学和结构动力学中的问题。
该方法通过将体系分解为一系列有限元子系统，并采用θ矩阵方法进行求解，能够有效地处理大规模的多自由度体系。
二、程序编写1. 导入必要的库和模块在编写程序之前，需要导入必要的库和模块，包括numpy、scipy 和matplotlib等。
这些库提供了必要的数学运算、数值分析和图形绘制等功能。
2. 定义体系结构和有限元节点首先需要定义多自由度体系的结构和有限元节点的位置。
可以使用网格划分工具将体系划分为有限元网格，并定义每个节点的位置和编号。
3. 构建有限元矩阵和求解器使用Wilson-θ法进行数值计算，需要构建有限元矩阵和求解器。
该矩阵可以采用三角矩阵的形式进行表示，并使用θ矩阵方法进行求解。
在程序中，需要实现矩阵的构建、求解器的初始化等操作。
4. 迭代求解体系响应使用构建好的矩阵和求解器，可以进行迭代求解多自由度体系的响应。
在每次迭代中，需要输入当前时刻的体系响应作为初值，并输出下一时刻的响应结果。
5. 结果可视化最后，可以使用matplotlib等库将求解得到的响应结果进行可视化。
可以将时间历程、振型、频率响应等结果进行绘制，以便更好地分析体系的动态特性。
三、示例代码以下是一个简单的示例代码，用于演示如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。
代码中假设体系由3个自由度的弹簧-质量系统组成，采用三角形矩阵进行求解。
```pythonimport numpy as npfrom scipy.sparse import csc_matrix, dia_matriximport matplotlib.pyplot as plt# 定义体系结构和有限元节点nodes = np.array([[0], [0.5], [1]]) # 节点位置数组degrees_of_freedom = 3 # 自由度数量system_size = len(nodes) # 体系大小node_indices = np.arange(system_size) # 节点编号数组# 构建有限元矩阵和求解器theta_matrix = csc_matrix(dia_matrix(system_size - degrees_of_freedom, 0)) # θ矩阵mass_matrix = csc_matrix(np.diag([0.5, 0.5, 1])) # 质量矩阵solution = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始响应数组forces = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 输出力数组forces[:degrees_of_freedom] = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始输出力数组为零向量solver = theta_matrix.dot(solution) +theta_matrix.dot(forces) + mass_matrix # 初始化求解器theta_vector = np.zeros(system_size) # θ向量用于控制有限元矩阵的构造和更新# 进行迭代求解体系响应for iteration in range(100): # 迭代次数限制为100次response = solver.dot(theta_vector) # 输入当前时刻的响应作为初值进行迭代求解下一时刻的响应结果输出为力向量output_forces在每个节点上作用在体系的上结果可与theta向量用于控制有限元矩阵的构造和更新为了演示程序的基本结构和流程以上给出了一个简单的示例代码其中包含的主要内容有定义体系结构和有限元节点构建有限元矩阵和求解器以及进行迭代求解体系响应结果可视化等当然在实际应用中可能还需要考虑更多的因素例如如何处理边界条件如何处理体系的非线性特性等等因此在实际应用中需要根据具体问题对程序进行适当的修改和优化以下是一些可能需要的注意事项和技巧：1. 选择合适的有限元网格划分工具和算法，以确保计算的精度和效率。
结构动力学数值积分方法-wilson
(10)
求解(10)式，得到位移 u t t 。然后采用(6)式计算得到加速度 a t t 。
a t t
6
t
2
6 u t t u t t v t 2a t
(11)
将加速度 a t t 代入到(1)式中，并令 t ，可以计算出加速度 a t t 。
其中，激振力可以用下式表达。
p t t p t p t t p t
(8)
(9)
由振动控制方程得到关于 u t t 表达式如下：
6m 3c k u t t 2 t t p t p t t p t 6 6 t 3 m u t v t 2 a t u t 2v t a t c 2 t 2 t t
2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3/3
西安交大 航天学院 仲继泽(hnskzjz@)
结构动力学数值积分方法(Wilson-θ) 及其 Matlab 实现
Xjtu-Zjz
Wilson-θ 方法是线性加速度方法的一种拓展。 假设加速度在时间段 t , t t 内线性变化，首先计算时刻 t t 的位移，然后通过内插得到 t t 时刻的位移 (u)、速度(v)及加速度(a)。其中 1 ，相关研究证明， 1.37 时，Wilson-θ 方法 是无条件稳定的。一般情况下，取 1.4 (至于为什么，本人没有做深入的研究)。 Wilson-θ 方法理论推导如下： 记 t 为时间段 t , t t 内的任一时刻，对于一个单自由度振动系统来说， 其初始时刻 t 的位移 u t 、速度 v t 及加速度 a t 为已知量，其 t 时刻的加速 度可以用 t 时刻和 t t 时刻的加速度线性表达，见下式。
f6_??????
Consistent-mass
M
C
e
ml 420
54 22l
156 13l
13l 4l 2
22l 3l 2
13l 22l 3l 2
4l 2
静力凝聚法
当采用集中质量阵，而结构体系的自由度又存在转角时，转动自由 度的惯性力为0，此时可以采用静力凝聚法，消去无质量的自由 度。若平动和转动自由度分别用下标t和θ区分，则采用集中质量 方法时，存在转角自由度体系的运动方程可写为如下形式，
T T (q1, q2 ,, qN , q1, q2 ,, qN )
V V (q1, q2 ,, qN )
Wnc Q1q1 Q2q2 QNqN q1, q2, …, qN为广义坐标，
t2
(T V )dt
t2 Wncdt 0
t1
t1
பைடு நூலகம்
Q1 , Q2, …, QN为非保守力，例如外力、阻尼力等。
下面通过算例来介绍如何应用Lagrange方程，从算例中可 以看到，用Lagrange运动方程建立的运动方程不限于线 性问题。
6.2 Lagrange运动方程
算例6.1 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆 的 质 量 分 别 为 m1 和 m2 ， 忽 略 杆 的 分 布 质 量 ， 采 用 Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。
结构动力学
（2003秋）
结构动力学
第六章
多自由度体系的运动方程
第六章 多自由度体系的运动方程
以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运 动仅需一个运动方程来描述，求解这个运动方 程，就可以得到单自由度体系的位移、速度和 加速度以及能量等。
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如 多层建筑结构、大跨桥梁结构、空间网架结构 等等。为合理反映振动过程中惯性力的影响， 需要采用更多的自由度描述结构体系的质量分 布并确定体系的变形。
第四章结构动力学多自由度体系详解
此时惯性力
设解为 y1(t) Y1 sin(t )
y2
(t)
Y2
s
in(t
)
幅值
m1y1(t) m1 2Y1 sin(t )
m2
y2
(t
)
m2
2Y2
s
in(t
)
2m1Y1 2m2Y2
Y1 ( 2m1Y1)11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1) 21 ( 2m2Y2 ) 22
振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型。
(k11 2m1
k21Y1 (k22
)Y1 k12Y2
2m2 )Y2
0 0
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
D (k11 2m1)
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
第1振型
第2振型
（2）求频率(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22 0
若有 m1 nm2 [(n 1)k2 2nm2 ](k2 2m2 ) k22 0
k1 n k2 （3）求主振型
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
1 :
Y21 Y11
k22
二、 柔度法
m2 y2 m2
m1y1 m1
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y2(t)12
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 (t) 22
结构动力学方程的数值解法研究
结构动力学方程的数值解法研究
韩爱红;钱晓军
【期刊名称】《低温建筑技术》
【年(卷),期】2015(037)008
【摘要】本文介绍了求解结构动力学方程的数值积分方法,主要包括:线性加速度法、Wilson-θ法、Newmark-β法、中心差分法、Houbolt法和精细积分法;论述了各种数值积分方法的基本原理、稳定性和适用范围;通过算例,指出了各种数值积分方
法的优缺点,证实了精细积分法在计算精度和在长步长、长时间内中保持稳定性的
优越性.
【总页数】3页(P81-83)
【作者】韩爱红;钱晓军
【作者单位】华北水利水电大学,郑州450008;华北水利水电大学,郑州450008【正文语种】中文
【中图分类】TU311.3
【相关文献】
1.反应堆时空动力学方程的解法研究
2.高速光驱粘弹性阻尼减振框架结构的动力学方程及有限元数值解
3.结构动力学方程的显式与隐式数值计算
4.斜压海洋动力学
的一种三维数值模式Ⅰ.动力学方程数值格式5.分数阶导数型粘弹性结构动力学方
程的数值算法
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第十四章结构动力学多自由度
k11 2m1
k21
k12
0
k22 2m2 频率方程
(equation of frequency)
• 存在两个特征解1 ，2 ;
• 其中最小的一个称第一频率，较大的一个称第 二频率。
9 / 67
§14-6 多自由度结构的自由振动
振型方程的解只可得出振幅的相对比值
A11 A21
k11
k12
m112
一、刚度法
取任意质量mi列动力平衡方程：
FIi FRi Fei FPi 0 n
根据叠加原理有
Fei kij y j
jn1
FRi ij yj
j 1
FI i mi &y&i
n
n
则 mi yi ij yj kij y j FPi
j 1
j 1
mn
yn (t)
y2 (t)
m1
y1 (t )
按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；
一般初始条件下的振动通常不能完全与某一振型 相对应,因此振动将是主振动的叠加。
y1 (t ) y2 (t )
AA11sin(1t AA21sin(1t
1) BA12sin(2t 2 ) 1) BA22sin(2t 2 )
多自由度体系自由振动的振型分解
A1TKA2 0
(i 1, 2,, n)
2 / 67
§14-6 多自由度结构的自由振动
写成矩阵形式
m1
m2
O
&y&1 11 12 L
mn
&y&M2 &y&n
21
L
n1
22
L
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初始静
将相应的数据输入到程序中，得出各层位移关于时间 的图像。图 1 为第一层，图 2 为第二层。 将所得数值解与精确解相比较，图中实线为数值解， 虚线为精确解。
由两张图，我们可以看出 数值解大致是与精确相近 的，但是仍然有些许的不 同，这可能是算法中仍然 有缺陷，说明程序仍然有 待改善。
t 2
yt
)
本程序的核心就是对以上公式的循环使用。
多自由度线性体系 Wilson-θ法程序编写
2.程序流程图
2
多自由度线性体系 Wilson-θ法程序编写
3.具体应用算例
如图所示，两自由度框架结构，其中 m1 m2 10200kg 11.45 1/ s k1 3000 kN/m k2 2000 kN/m P 0.217 kN
（4）θ的值应大于 1.37，通常取 1.4，优化值为 1.420815。 （5）从第一层开始为 m1，m2…… 【参考文献】 [1] 王焕定. 结构力学（第 3 版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010. [2] Anil K.Chopra. 结构动力学理论及其在地震工程中的应用（第 2 版）[M]. 北 京：高等教育出版社，2007.
t 2
yt
代入 my Cy ky P
m y tt C y tt k y tt P tt P tt Pt (Ptt Pt )
图1
3
多自由度线性体系 Wilson-θ法程序编写
4.程序使用注意事项
（1）本程序针对于剪切型刚架结构，对于其他结构无法使用。 （2）本程序中各质点的荷载必须是函数的形式（包括常数），即对于只有某些点的荷载无法 使用，且荷载函数输入时，必须采用 inline 语句。例如荷载为常数 10，则输入 inline（’10’）； 如荷载函数为 sin（at），则输入 inline（’sin(a*t)’,’t’）。 （3）本程序主要针对无阻尼情况，若有阻尼，只需输入阻尼矩阵即可。
tyt
(t ) 2 6
( y tt
2yt
)
解出
y tt
6 (t ) 2
( y tt
yt
)
6 t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yt
2yt
y tt
3 t
( y tt
yt ) 2yt
1.wilson- 法原理
wilson- 法中最主要的步骤就是推导由 t 时刻的状态求 t t 时刻的状态的递推公
式，现推导如下：
对 积分
yt y t
yt yt
ytt(y2t2tt
yt ) ( y tt
整理，得 k y tt R
其中
k
k
6 (t ) 2
m
3 t
c
R
Pt
(Ptt
Pt
)
m(
6 (t)
2
yt
6 t
yt
2yt ) c(3t yt 2yt
yt )
t
yt
yt
yt
2 2
yt
3 6t
( y tt
yt )
y tt
yt
tyt
1 2
t
(yt
t
yt
)
y tt
yt
图2
4
多自由度线性体系 Wilson-θ法程序编写
【摘要】本文主要介绍了通过使用 Matlab 软件，Wilson-θ法编写多自由度线性 体系的程序的原理、流程图、具体算例以及使用注意事项。通过该程序可以得到 剪切型结构在任意函数荷载作用下各质点的位移函数。
【关键词】Matlab；多自由度；Wilson-θ法