可逆矩阵

哈尔滨师范大学
学年论文
题目浅谈可逆矩阵的判定、求法
学生赵怀志
指导教师高鹤讲师
年级2010级
专业数学与应用数学
系别数学与应用数学系
学院数学科学学院
哈尔滨师范大学
2012年11月
论文提要
在高等代数中矩阵占有很重要的部分,而可逆矩阵又是矩阵比较重要的一类,在多项式理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等相关理论中具有极其重要的地位，为此本文从最基本的矩阵出发阐述了可逆的定义、性质及相关的应用，体现了数学的逻辑性及严密性的特点，从整体把握可逆矩阵的思想方法，希望对大家有所帮助。

浅谈可逆矩阵的判定、求法
赵怀志
摘 要：本文主要介绍了有关可逆矩阵的定义、判定、性质、求法，。

对可逆矩阵相关知识做了一个较为详尽的总结。

关键词：可逆 单位矩阵 初等变换。

1 预备知识：
定义1 由 n m ⨯个实数ij a 排成的一个 m 行n 列的矩形数表
A =11
1212122212
mn n n m m a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
称之为 n m ⨯ 矩阵，位置（
i ,j ）上的元素，一般用ij
a 表示（强调两个足标的意义）。

矩阵可简记为n m A ⨯或}{ij a A =或n m ij a A ⨯=}{ .
特殊矩阵:
方矩阵 若 n m =，称A 为n 阶（方）矩阵，也可记作 n A . （强调矩阵的（主）对角线，）
而nn a a a ,,,2211 称之为对角元素；（反主对角线）。

当 1==n m 时，即 ()11a A =， 此时矩阵退化为一个数11a .
矩阵相等 若同型矩阵n m ij a A ⨯=}{和n m ij b B ⨯=}{在对应位置上的元素都相等
即,,,1;,,1,
n j m i b a ij ij ===
零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。

一般记作O ；或 n m O ⨯ . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。

负矩阵 设 n m ij a A ⨯=}{，称矩阵 }{ij a A -=- 为矩阵A 的负矩阵。

三角矩阵 设}{ij a A =是 n 阶矩阵。

1）若A 的元素满足 j i a ij >∀=,0，称A 是上三角矩阵； 2）若A 的元素满足 j i a ij <∀=,
0 ，称A 是下三角矩阵；
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n a a a a a a A 000222
112
11 和
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=nn n n a a a
a a a A
21222111000。

对角矩阵 若元素满足 j i a ij ≠∀=,
0；其形状是
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=nn a a a A
0000002211 ， 记作 }{},,{,2211ii nn a diag a a a diag A == .
单位矩阵 对角元素为1的对角矩阵，记作E 或n E （n 阶），即
1
00010001E ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。

矩阵基本运算：
加法运算设 }{ij a A = 和 }{ij b B = 是 n m ⨯ 的矩阵，A 与B 的加法（或称和），记作A+B ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵
B A c
C ij +==}{⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛+++++++++=mn mn m m m m n n n n b a b a b
a b a b a b
a b a b a b a
221122222221
211112
121111
矩阵的减法: )(B A B A -+=-⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛---------=mn mn m m m m n n n n b a b a b
a b a b a b a b a b a b a
2
2112222
2221211112
121111
由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中O C B A ,,,为同型矩阵）。

（1） 交换律 A B B A +=+
（2） 结合律 )()(C B A C B A ++=++ （3） A O A =+ （4） O A A =-
数乘矩阵： 数λ与矩阵n m ij a A ⨯=}{的乘积（称之为数乘），记作A λ 或λA ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵
λλA A c C ij ===}{⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a
a a a
a a a λλλλλλλλλ 2
122221
112
11 。

由定义，数乘运算满足下列运算法则（设O B A ,,是同型矩阵，μλ,是数）： （1） 数对矩阵的分配律 B A B A λλλ+=+)( （2） 矩阵对数的分配律 A A A μλμλ+=+)( （3） 结合律 )()(A A μλλμ= （4） O A =⋅0
矩阵乘法： 设}{ij a A =是一个s m ⨯矩阵，}{ij b B =是一个n s ⨯矩阵，A 与B 的乘法，记作AB ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵 }{ij c AB C ==，其中
∑==+++=s
k kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1
2211
),,2,1;
,,2,1(n j m i ==.
由定义，不难看出（强调）：
（1） 只有在左矩A 的列数和右矩阵B 的行数相等时，才能定义乘法AB ； （2） 矩阵C=A B 的行数是A 的行数，列数则是B 的列数； （3） 矩阵C=AB 在
),(j i 位置上的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素
的乘积之和。

注: 矩阵乘法不满足交换律(对一般情况而言), 若两个矩阵A 和B 满足
BA AB =则称矩阵A 和B 是可交换的，如
1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 IA AI =。

2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。

3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。

矩阵乘法也不满足消去律，但矩阵乘法仍满足分配律和结合律： （1） 分配律 AC AB C B A +=+)(； CA BA A C B +=+)(。

（2） 结合律 )()(BC A C AB =。

（3） 数乘结合律 )()()(B A B A AB λλλ==, 其中 λ 是一个数。

（4） A IA AI ==。

矩阵转置： 设
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a
a a a a a a A 2
1222
21112
11 ，
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn n
n m m T a a a
a a a
a a a A 2122212
12111
将A 的行和列对应互换得到的m n ⨯矩阵，定义为的A 转置矩阵，记作T
A 。

由定义可知，ji ij T
A A )()(=，即T
A 在位置上的元素是矩阵A 在位置),(i j 上的元素。

2主要理论
一 定义 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵，若是存在F 上n 阶矩阵B ，使得
E BA AB ==
那么A 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵。

注 若矩阵A 可逆，那么A 的逆矩阵由啊唯一决定。

二 判定（以下列出的均为充要条件，即可由这些定理判定矩阵A 是否为可逆矩阵）：定理1设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B
E BA AB ==.
定理2 设矩阵A 为n 阶矩阵,则以下几个命题是等价的: (1)矩阵A 可逆;
(2)矩阵A 的行列式0A ≠; (3)矩阵的A 伴随矩阵*A 可逆;
(4)矩阵的A 伴随矩阵*
A 的行列式*0A ≠.
证 ()()12⇒ 因为矩阵A 可逆,所以存在n 阶矩阵使AB BA E ==,因此1AB A B E ===,所以0A ≠.
()()21⇒当0A ≠时,因为*
*
AA A A A E ==,所以**
A A A E A A A
==,所以存在
*A A 使得**
A A A
E A A A
==,所以矩阵A 可逆. ()()23⇒因为**AA A A A E ==,所以*
**AA A A A E A ===,又因为
0A ≠,所以*0A ≠,由()()21⇒的过程可知矩阵A 的伴随矩阵*
A 可逆.
()()32⇒因为矩阵*
A 可逆,所以*0A ≠,且存在()1
*A -使()1*A A E -=成立,则
一定有0A ≠(否则假设0A ≠），
()()()111**
**0A A E A A A A A A A E A ---⎢⎥=====⎢⎥⎣⎦
,由此可以推得矩阵A 为零矩阵,从而可得*A 也为零矩阵,则*0A ≠.这与*0A ≠相矛盾,所以*0A ≠.
()()34⇒和()()43⇒与()()12⇒和()()21⇒的证明方法一样.
定理3 矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B 使得()AB E BA E ==. 证 (必要性)矩阵A 可逆时,由定义可知存在n 阶矩阵B 使得AB BA E ==,所以存在n 阶矩阵B 使得AB E =.
(充分性)由AB E =两边同时取行列式可得1AB A B E ===,所以0A ≠,由定理2可知矩阵A 可逆.
定理4 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 为满秩矩阵(即()r A n =).
证 因为矩阵A 为满秩矩阵等价于*0A ≠,而由定理2知0A ≠又等价于矩阵A 可逆,因此矩阵A 为满秩矩阵等价于矩阵A 可逆.
定理5 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 等价(对矩阵A 施行初等变换可以使矩阵A 转化为单位矩阵E ).
证 (必要性)因为矩阵可逆,所以0A ≠.由定理4知,又因为()r E n =,所以()()r E r E n ==,即矩阵A 与单位矩阵E 是等价的.
(充分性)由矩阵A 与单位矩阵E 等价可得()()r E r E n ==,所以由定理4知矩阵A 可逆.
定理6 矩阵A 为可逆矩阵的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX B =的解唯一.
证 齐次线性方程组AX B =的解唯一等价于0A ≠,又等价于矩阵A 可逆. 定理7 矩阵A 可逆的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方AX B =的解唯一.
定理8 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的特征值均不为0.
证 (必要性)假设矩阵A 有一个特征值为10λ=,则10E A λ-=,又因为
()11n
E A A A λ-=-=-,所以0A ≠;,由此可得矩阵A 不可逆这与矩阵A 可逆相矛盾,所以由矩阵A 可逆可得矩阵A 的特征值均不为0.
(充分性)设矩阵A 的全部特征值为12n λλλ 、、
(其中()0,1,2,,i i n λ≠= ,因为12n A λλλ= ,而120n λλλ≠ ,所以0A ≠,因此矩阵A 可逆.
三．性质：
性质1 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵1A -可逆,且()1
1A A --=. 证明 因为矩阵A 可逆,所以11AA E A A --==,所以矩阵1A -可逆.设1B A -=则
E B A =-1,A B =-1,即()1
11A AA ---=.
性质2 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,当0k ≠时,则kA 可逆,且()1
1
1KA A K
--=
. 证明 因为矩阵A 可逆，所以存在矩阵B 使AB BA E ==，即1B A -=，又因
为0k ≠,所以kAB kBA kE ==,所以()()11kA B B kA E k k ⎛⎫⎛⎫
⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
所以kA 可逆,且()1
111kA A B k k
--=
=. 性质3 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵T A 可逆,且()()11T
T A A --=.
证明 因为矩阵A 可逆,且()()11
T T T T A A A A E E --===,所以矩阵T A 可逆
且()()1
1T
T A A --=.
性质4 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,则1
1A A --=.
证明 因为矩阵A 可逆,所以1AA E -=,所以111AA A A E --===, 所以
11A A
-=
,即1
1A A --=.
性质5 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若0AB =,则0B =.
证明 因为矩阵A 可逆,所以它的逆矩阵1A -存在,使0AB =两边都左乘1
A -可得1100A A
B A --==,又因为1AA E -=,所以0EB =,即0B =.
性质6 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若AB AC =,则B C =.
证明 因为矩阵A 可逆,所以1A -存在,因为使AB AC =两边都左乘1A -可得11A AB A CA --=,所以EB EC =,即B C =.
性质7 若矩阵A 、B 均为可逆矩阵,则矩阵AB 可逆且()1
11AB B A ---=.
证明 因为矩阵A B 、为可逆矩阵,所以它们的逆矩阵11
A B --、均存在,又由于
1111111()()()()B A AB B A AB B A A B B B E -------====
111111
()()()()AB B A AB B A A B B A AA E ------==== 所以()
()()1
1
111AB B
A B A E -----==,所以矩阵AB 可逆且()1
11AB B A ---=.
推论 若矩阵12K A A A 、、
均为n 阶可逆矩阵,则矩阵12K A A A 可逆,且1111
1221
k k A A A A A A ----= （）.
性质8 可逆阵A 的乘方仍可逆且()()1
1m
m A A --=
证明 可借助性质7，令12k A A A A ==== ，即可得证。

四．求法：
方法1 定义法：设A 是数域p 上的一个n 阶方阵，如果存在p 上的n 阶方阵B ，使得E BA AB ==，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为1A -.
例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22350A A E -+=，求1A -. 【解】
22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E
23
-A - A =E
552323
A (- A - E) = - A - E = E
5555
23
A A = - A - E
55∴∴∴∴ 可逆且
方法 2 伴随矩阵法：1*
1A A A
-=
. 定理n 阶矩阵ij A α=为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且
1121112
2221121
n n n
n
nn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
其中ij A 是A 中元素ij α的代数余子式.矩阵1121112
22212n n n
n
nn A A A A
A A A A A ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
称为矩阵A 的伴随矩阵，
记作*A ，于是有1*
1A A A
-=
. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意()*ij A A n n =⨯元素的位置及符号.特别对于2阶方
阵11
1221
22a a A a a ⎛⎫=
⎪⎝⎭，其伴随矩阵2212*
2111a a A a a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.
②对于分块矩阵ij A B C D ⎛⎫
⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.
例2：已知101210325A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，求1A -.
【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0
∴A 可逆.由已知得
1112132122233132
33A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A
= - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A
= 1
1
*5
11
5212
211102*********
1122A A A -⎛⎫-
- ⎪--⎛⎫ ⎪
⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭- ⎪
⎝⎭
方法3 初等变换法：()()1A E E A -−−−−
→ 初等变换
注 ： ①对于阶数较高()3n ≥的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.
②也可以利用1A E E A -⎛⎫⎛⎫
−−−−
→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当逆矩阵可逆可利用
()()1
1,A E A B E A B C CA --⎛⎫⎛⎫−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等变换初等列变换
求得1A B -和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换
即求出了1A B -或1CA -. 例3：求矩阵
121310102A -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
的逆矩阵。

()121100,310010102001A E -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭121100053310023101-⎛⎫
⎪
→-- ⎪ ⎪-⎝⎭
1121005553
31010555912001555⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪→-- ⎪
⎪ ⎪--
⎪⎝
⎭2411009
99211010
33312500199
9⎛
⎫- ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭
即求的1
2419992113331259
9
9A -⎛⎫- ⎪ ⎪
⎪→=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭
方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：
1
1
1
11111111
11111A A 000B 0
C O A A A CB A O A O B
D B O B B DA B B O A O B B O A
O ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
例4：已知005200
2112001100A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
-
⎪⎝⎭
，求1A -. 【解】 将A 分块如下：
120052002112001100O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫
⎪==
⎪ ⎪⎝⎭
- ⎪ ⎪⎝⎭
其中15221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
可求得1*11112125A A A --⎛⎫=
= ⎪-⎝⎭，1*
222
1211113A A A -⎛⎫== ⎪-⎝⎭
从而1121
1
120033110
0033012002500A A A ---⎛
⎫
⎪
⎪⎛⎫
⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
方法5 用Caley hamilton -定理求逆矩阵： 设A 是数域P 上的n 阶方阵
()110n n n n f E A A a A a A a E λλ-=-=++++= 为A 的特征多项式，则：()110n n n n f E A A a A a A a E λλ-=-=++++=
于是()1
2111n n n A a A a E a
----+++ 因此
()1
2111n n n A a A a E a
---+++ 例5：已知224232111A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，求1A -.
【解】 A 的特征多项式()324710f E A λλλλλ=-=-++ 由Caley hamilton -定理知：()32470f A AE A A A =-=-+=
()1
25216147024105010A A A E ---⎛⎫
⎪=-+= ⎪ ⎪
⎝⎭
方法6 三角矩阵的一种求逆法：
定理：如果n 阶矩阵1112
12221
2000
n n n n nn t t t t t t t t --⎛⎫
⎪ ⎪
=
⎪
⎪⎝⎭
可逆， 那么他的逆矩阵是1111111112
1111122222122210000
n n n n nn t t t t t t t T t ααααα---------⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
其中()()1
111111
11,2,,11,2,2;3,4,,ii i i ii ij jj ij kj ik kk i k j t t i n t t t t i n j n ααα-
++++--+<<⎧=-⨯=-⎪
⎨=--=-=⎪⎩
∑ 例6：求上三角阵13
1201
1300250002A ⎛⎫
⎪-
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
的逆矩阵. 【解】 由定理知：
()1
1222121233323111
133313231222134443411
2444243423331111444142412223413333
1
2
2
5
2
14
12t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t αααααααααα--------=-⨯==-=-=--⨯=-=-=-
=--⨯=-
=--+=-
1
1132211012415002410002A -⎛
⎫-- ⎪ ⎪
⎪
- ⎪= ⎪
⎪
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
3 结束语
本文关于可逆矩阵的判定本文给出了相应的判定方法，从整体上把握了可逆矩阵本身的性质，思路清晰，进而又详细介绍了可逆矩阵的若干求法并且每种求法都配以相应的例题，尽管如此，可逆矩阵的求法还有很多，由于本文篇幅及本人水平有限，在本文里不能一一列举。

最后，衷心希望本文对大家用所帮助。

参考文献：
（1）高等代数（第三版）王萼芳、石生明高等教育出版社 2003年7月
（2）线性代数（数学专业用）李尚志编著高等教育出版社 2008年4月
（3）高等代数（第五版）张禾瑞郝鈵新高等教育出版社 2007年6月。