可逆矩阵

哈尔滨师范大学

学年论文

题目浅谈可逆矩阵的判定、求法

学生赵怀志

指导教师高鹤讲师

年级2010级

专业数学与应用数学

系别数学与应用数学系

学院数学科学学院

哈尔滨师范大学

2012年11月

论文提要

在高等代数中矩阵占有很重要的部分,而可逆矩阵又是矩阵比较重要的一类,在多项式理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等相关理论中具有极其重要的地位，为此本文从最基本的矩阵出发阐述了可逆的定义、性质及相关的应用，体现了数学的逻辑性及严密性的特点，从整体把握可逆矩阵的思想方法，希望对大家有所帮助。

浅谈可逆矩阵的判定、求法

赵怀志

摘 要：本文主要介绍了有关可逆矩阵的定义、判定、性质、求法，。对可逆矩阵相关知识做了一个较为详尽的总结。

关键词：可逆 单位矩阵 初等变换。

1 预备知识：

定义1 由 n m ⨯个实数ij a 排成的一个 m 行n 列的矩形数表

A =11

1212122212

mn n n m m a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

称之为 n m ⨯ 矩阵，位置（

i ,j ）上的元素，一般用ij

a 表示（强调两个足标的意义）。

矩阵可简记为n m A ⨯或}{ij a A =或n m ij a A ⨯=}{ .

特殊矩阵:

方矩阵 若 n m =，称A 为n 阶（方）矩阵，也可记作 n A . （强调矩阵的（主）对角线，）

而nn a a a ,,,2211 称之为对角元素；（反主对角线）。 当 1==n m 时，即 ()11a A =， 此时矩阵退化为一个数11a .

矩阵相等 若同型矩阵n m ij a A ⨯=}{和n m ij b B ⨯=}{在对应位置上的元素都相等

即,,,1;,,1,

n j m i b a ij ij ===

零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作O ；或 n m O ⨯ . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。

负矩阵 设 n m ij a A ⨯=}{，称矩阵 }{ij a A -=- 为矩阵A 的负矩阵。

三角矩阵 设}{ij a A =是 n 阶矩阵。

1）若A 的元素满足 j i a ij >∀=,0，称A 是上三角矩阵； 2）若A 的元素满足 j i a ij <∀=,

0 ，称A 是下三角矩阵；

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=nn n n a a a a a a A 000222

112

11 和

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=nn n n a a a

a a a A

21222111000

。

对角矩阵 若元素满足 j i a ij ≠∀=,

0；其形状是

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛=nn a a a A

0000002211 ， 记作 }{},,{,2211ii nn a diag a a a diag A == .

单位矩阵 对角元素为1的对角矩阵，记作E 或n E （n 阶），即

1

00010001E ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭

零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。

矩阵基本运算：

加法运算设 }{ij a A = 和 }{ij b B = 是 n m ⨯ 的矩阵，A 与B 的加法（或称和），记作A+B ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵

B A c

C ij +==}{⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛+++++++++=mn mn m m m m n n n n b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a

221122222221

211112

121111

矩阵的减法: )(B A B A -+=-⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛---------=mn mn m m m m n n n n b a b a b

a b a b a b a b a b a b a

2

2112222

2221211112

121111

由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中O C B A ,,,为同型矩阵）。 （1） 交换律 A B B A +=+

（2） 结合律 )()(C B A C B A ++=++ （3） A O A =+ （4） O A A =-

数乘矩阵： 数λ与矩阵n m ij a A ⨯=}{的乘积（称之为数乘），记作A λ 或λA ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵

λλA A c C ij ===}{⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=mn m m n n a a a

a a a

a a a λλλλλλλλλ 2

122221

112

11 。

由定义，数乘运算满足下列运算法则（设O B A ,,是同型矩阵，μλ,是数）： （1） 数对矩阵的分配律 B A B A λλλ+=+)( （2） 矩阵对数的分配律 A A A μλμλ+=+)( （3） 结合律 )()(A A μλλμ= （4） O A =⋅0

矩阵乘法： 设}{ij a A =是一个s m ⨯矩阵，}{ij b B =是一个n s ⨯矩阵，A 与B 的乘法，记作AB ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵 }{ij c AB C ==，其中

∑==+++=s

k kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1

2211

),,2,1;

,,2,1(n j m i ==.

由定义，不难看出（强调）：

（1） 只有在左矩A 的列数和右矩阵B 的行数相等时，才能定义乘法AB ； （2） 矩阵C=A B 的行数是A 的行数，列数则是B 的列数； （3） 矩阵C=AB 在

),(j i 位置上的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素

的乘积之和。

注: 矩阵乘法不满足交换律(对一般情况而言), 若两个矩阵A 和B 满足

BA AB =则称矩阵A 和B 是可交换的，如

1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 IA AI =。 2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。

3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。

矩阵乘法也不满足消去律，但矩阵乘法仍满足分配律和结合律： （1） 分配律 AC AB C B A +=+)(； CA BA A C B +=+)(。 （2） 结合律 )()(BC A C AB =。

（3） 数乘结合律 )()()(B A B A AB λλλ==, 其中 λ 是一个数。 （4） A IA AI ==。 矩阵转置： 设

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=mn m m n n a a a

a a a a a a A 2

1222

21112

11 ，

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=mn n

n m m T a a a

a a a

a a a A 2122212

12111

将A 的行和列对应互换得到的m n ⨯矩阵，定义为的A 转置矩阵，记作T

A 。

由定义可知，ji ij T

A A )()(=，即T

A 在位置上的元素是矩阵A 在位置),(i j 上的元素。