(完整版)1.1.1 正弦定理
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人教版A版 高中必修五
第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理
学习目标
• 1. 掌握正弦定理的内容； • 2. 掌握正弦定理的证明方法； • 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
学习重点：
正弦定理的内容； 正弦定理的基本应用。
学习难点：
正弦定理的证明。
在初中阶段我们学过：在同一个三角形中，大 边对大角，小边对小角。
C 180°（A B）=105°
得 sin A a sin B 1 b2
由b c sin B sin C
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
得c bsin C 4 sin B
2 sin105 sin 45
2
62
2
A 30
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，sina
A
b sin B
c sin C
k
则k为( A )
A.2R B.R C.4R D.R
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求a和b。
（保留两个有效数字）.
解 ： 根据正弦定理
ac sin A sin C
a
c sin A sin C
10sin 45 sin 30
10
2 14
Q 又
B 180 ( A C ) 105
bc sin B sinC
b c sin B 10 sin105 19
sinC
sin 30
例2 在ABC中，已知 a 4,b 4 2, B 45，求A,C和边c .
解：由 a b sin A sin B
4
③ 无解 ④ b 3 1或 3 b c 2R(R为三角形外接圆的半径） sin A sin B sin C
2、正弦定理的推导过程； 3、正弦定理在解三角形中的应用。
【作业】
• 必做题：P4，1、2 • 选做题：P10，6、7 • 预习新课：余弦定理
证法二：
证明：做∆ABC的外接圆e O ，设其半径为R。
过点B做直径A’B，连接A’C。 则∠A’CB=90°,∠A=∠A’。
sin A sin A' a 2R
2R a sin A
2R b
同理：
2R
sin B c
sin C
所以
a b c 2R sin A sin B sin C
【课堂练习】
（3）在△ABC中，根据下列条件解三角形。
① A 600, B 450,c 20
② a 1,b 2, B 450
C 75
① a 30 2 10 6
b 20 3 2
A 30
C 105
②
c 6 2
2
【课堂练习】
③ a 4,b 2, B 450 ④ c 6，A ,a 2,求b
aC
？对于锐角和钝角三角形，以上关系是否仍然成 立呢？
对于锐角∆ABC，有
a b c sin A sin B sinC
对于钝角∆ABC，有
a b c sin A sin B sinC
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
a b c sin A sin B sinC
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
① 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其
它的边和角。
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对 边a,b,c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形。
【课堂练习】
那么在三角形中，边和角之间有没有准确的量 化关系呢？
• 如图，∆ABC中，∠A所 对的边BC长为a，∠B所 对的边AC长为b，∠C所 对的边AB长为c。
【探究一】三角形中的角和边的关系
根据三角函数定义，找出直角三角 形中的边角关系。
A
c
b
a b c sin A sin B
sinC 1
abc B sin A sin B sinC
【课外作业】
用向量法证明正弦定理。
A
r e
B
C
第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理
学习目标
• 1. 掌握正弦定理的内容； • 2. 掌握正弦定理的证明方法； • 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
学习重点：
正弦定理的内容； 正弦定理的基本应用。
学习难点：
正弦定理的证明。
在初中阶段我们学过：在同一个三角形中，大 边对大角，小边对小角。
C 180°（A B）=105°
得 sin A a sin B 1 b2
由b c sin B sin C
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
得c bsin C 4 sin B
2 sin105 sin 45
2
62
2
A 30
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，sina
A
b sin B
c sin C
k
则k为( A )
A.2R B.R C.4R D.R
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求a和b。
（保留两个有效数字）.
解 ： 根据正弦定理
ac sin A sin C
a
c sin A sin C
10sin 45 sin 30
10
2 14
Q 又
B 180 ( A C ) 105
bc sin B sinC
b c sin B 10 sin105 19
sinC
sin 30
例2 在ABC中，已知 a 4,b 4 2, B 45，求A,C和边c .
解：由 a b sin A sin B
4
③ 无解 ④ b 3 1或 3 b c 2R(R为三角形外接圆的半径） sin A sin B sin C
2、正弦定理的推导过程； 3、正弦定理在解三角形中的应用。
【作业】
• 必做题：P4，1、2 • 选做题：P10，6、7 • 预习新课：余弦定理
证法二：
证明：做∆ABC的外接圆e O ，设其半径为R。
过点B做直径A’B，连接A’C。 则∠A’CB=90°,∠A=∠A’。
sin A sin A' a 2R
2R a sin A
2R b
同理：
2R
sin B c
sin C
所以
a b c 2R sin A sin B sin C
【课堂练习】
（3）在△ABC中，根据下列条件解三角形。
① A 600, B 450,c 20
② a 1,b 2, B 450
C 75
① a 30 2 10 6
b 20 3 2
A 30
C 105
②
c 6 2
2
【课堂练习】
③ a 4,b 2, B 450 ④ c 6，A ,a 2,求b
aC
？对于锐角和钝角三角形，以上关系是否仍然成 立呢？
对于锐角∆ABC，有
a b c sin A sin B sinC
对于钝角∆ABC，有
a b c sin A sin B sinC
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
a b c sin A sin B sinC
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
① 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其
它的边和角。
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对 边a,b,c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形。
【课堂练习】
那么在三角形中，边和角之间有没有准确的量 化关系呢？
• 如图，∆ABC中，∠A所 对的边BC长为a，∠B所 对的边AC长为b，∠C所 对的边AB长为c。
【探究一】三角形中的角和边的关系
根据三角函数定义，找出直角三角 形中的边角关系。
A
c
b
a b c sin A sin B
sinC 1
abc B sin A sin B sinC
【课外作业】
用向量法证明正弦定理。
A
r e
B
C