(仅供参考)张量分析提纲及部分习题答案

第一章 矢量和张量
1.1 矢量及其代数运算公式
（1） 试给矢量下个定义；
（2） （1.1.13）Schwartz 不等式，即三角不等式。

在某空间中，定义了距离，则两边之和
大于第三边。

（3） 试证明（1.1.22）；并回顾矩阵理论中，如C AB =，则()()()det det det C A B =的
证明方法；
1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
（4） 矢量的数学表示方法：基矢量及分量；为使用方便，如算内积，引入对偶的逆变基
矢量及相应分量。

（5） 1
ij
ij g g -⎡⎤⎡
⎤=⎣⎦⎣⎦（1.2.23b ）；指标升降关系（1.2.29）。

1.3 曲线坐标系
（6） 自然基矢量（1.3.8），一般称协变基。

（7） （1.2.11）；逆变基矢量是坐标面的梯度。

（8） 坐标i x 一般是不存在的。

例：()123I II x x x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则()()32I II I x x y x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，()12223I
I II II
x x
x x ∂⎧==-⎪⎪∂⎨∂⎪==⎪∂⎩
r g i j r g j ， ()()()()2211121124
21222214669I II I I I II II I II
I I II I II I II II I II II dx g dx g dx x dx x x dx Pdx Q dx dx g dx g dx x x dx x dx P dx Q dx ⎧⎡⎤=+=+-=+⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=+=-+=+⎩。

当
i i
II I
P Q x x ∂∂=
∂∂时，坐标(),I II x x 才可能存在。

即向量场(),P Q 无旋时，其在两点间的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。

本例中，i i
II I P Q x x
∂∂≠∂∂，故相应的“协
变坐标”不存在。

（正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。

）
（9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12）。

（10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a ）不成立。

1.4 坐标转换
（11） 基的变换，也就是坐标变换（顺便说明一下什么是矢量）：
i i i i i u u u β''''===i i i u g g g ，即i i i i u u β''=。

我们说，基变换时，分量满足相应
i i i i u u β''=关系的量是矢量。

有了i i β'后，可以引入i i β'，表示对应的逆变换，且有
[]1i i
i i ββ''⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
（12） 与坐标相对应的基变换：j j i i x x β'
'∂=∂，i i j j
x x β''
∂=∂
（13） 举例说明用矢量表示应力，是怎样的力不从心；并说明一下“连续介质”中“连续”
的问题。

1.5 并矢与并矢式
（14） 并矢就是一个二阶张量；但张量不总能表示成一个并矢，而总是一个并矢式。

（15） 并矢的相等。

若=ab cd ，则a 与c 线性相关，b 与d 线性相关。

（16） 回到（13），连续介质中一点的应力状态σ=ζkk ，对任给的有向截面n ，有
()n σ=ζkk n ；
1.6 张量的基本概念
（17） 是定义在“坐标变换”上的。

（18） 张量的表示方法。

（19） 证明度量张量是张量：这个东西的定义是i
j
ij g g g ，其中ij i j g =g g ；在另一组基下，
这个东西是i j i j g '
'
''g g 。

我们要证明i
j
i j ij i j g g '
'
''=g g g g 。

()()()()()()()i j i i j j i i j j i j i j i j i j ij ij i j i j i j i i j j i j i j g g g ββββββ''''''''''
''''''''''=====g g g g g g g g g g g g g g g g g g
（20） 应力是一个张量，并且是对称张量，其内涵是？。

说明一下应力是张量，一点的应力状态表示成ij
i j σg g ，则在任一给定的面n 上，受
力是
()ij
i j σg g n ；二维情况下，应力记为xx xy xx xy yx yy yx yy σσσσσσσσ⎡⎤=+++⎢⎥
⎣⎦
ii ji ij jj
我们考察上图中各面（用外法线的单位矢量表示相应的面）的受力情况： 对i 面，单位面积上受力
()()ij
i j xx xy yx yy xx xy σ
σσσσσσ=+++=+g g n ii ji ij jj i i j
对-j 面，单位面积上受力
()()()ij
i j xx xy yx yy yx yy σσσσσσσ=+++-=--g g n ii ji ij jj j i j
考察斜边上的面元（sin cos x y n n θθ=-+=+n i j i j ）受力，
()()()()0n xx xy yx yy dl dy dx ma O dxdy a σσσσ+++--===ζi j i j ，所以，
()()()()()()()()()()()()s i n c o s n x x x y
y x y y x x x y y x y y x x x y x y x y y y x x x y x y x y y
y
x x x y y x y y
x y d y d x d l d l
n n n n n n σσσσσσθσσθσσσσσσσσσσσσ=-+++=-+++=+++=+++=++++=ζi j i j i j i j i j i j ii ji i ij jj j ii ji ij jj i j ζn
对静止的连续介质，有
0A
fd ρΩ
+Ω=⎰⎰⎰⎰⎰ζn ，0d fd ρΩ
Ω
∇Ω+Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ζ，
0f ρ∇+=ζ。

（21） 证明应力是一个张量；
记ij σ：表示在给定基{}i g 下，在面j g 上，单位面积受力j F 在i g 方向上的分量为
1
ij j σg ；（此即ij σ的物理意义，这是因为()11
i j
i ij j j ij j j σσ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭
g g g F g g g ，
11i
j i ij i ij j j σσ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭
F g g g g g ）
； 对应地，记i j σ''：表示在给定基{}i 'g 下，在j 'g 上，单位面积受力j 'F 在i 'g 方向上的分量为
1ij j σ''
g ；
下证：i
j
i j ij i j σσ'
'
''=g g g g ，
；
1.7 张量的代数运算
（22） 并乘、缩并、矢积。

1.8 张量的矢积
（23） 置换张量（Eddington 张量）与ε~δ等式。

（24） 证明置换张量是张量，（1.8.11）。

（25） 广义Kronecker δ；（1.8.17），（1.8.18），（1.8.19），（1.8.20） （26） 矢积，用置换张量表示。

（27） 置换张量表示的混合积。

习题
1.1-1.7：略；
1.8 ：(
)11112131
2
3221
2223331
32
330i
k
ik g g g dx d d g dx dx dx dx dx g g g dx g g g dx ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪≤== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
r r ；
1.9-1.13：略； 1.14：
注意，所谓斜圆锥是指，O 点沿z 方向在大圆平面上的投影M 在大圆的直径上。

1x θ=，2x z =，()sin QN R θπ=-r j ，
()cos PN R θπ=--r i ，PM C =-r i ， ()cos MN PN PM R C θ=-=+r r r i ；
对斜圆锥面上任一点（图中黑点处），不难由相似三角形得到，
()cos sin z z
R C R z H H
θθ=
+++r i j k ，进而可得，sin cos Rz zR H H θθθθ∂-==+∂r g i j ，cos sin z R C R z H H
θθ∂+==++∂r g i j k ，
()222
2
22222sin 1
sin 2cos R z RCz
H H a RCz R CR C H H H αβ
θθθ⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；
1.15-1.18：略；
1.19：相应的线元矢量是k
k dx g （带～表示不求和），其长度
()()k k
k
k k k k
k
kk ds dx dx dx g dx ==
=
g g g ；
1.20：cos k l k l
kk ll
g g g θ=
=
g g g g
1.21-1.26：略；
1.27：因为定义适用于任何坐标系，所以有
()()0lim j j j j i
j j i i i t x t t x t dx x dx v v t dt x dt
β'''''
'∆→+∆-∂====∆∂；
1.28：（连续介质中，某物质点的拉格朗日坐标是不会变的，因为拉格朗日坐标就固结在物质上；变的是拉格朗日坐标与欧拉坐标的相互关系，欧拉坐标即空间坐标，是固结在空间中的，一般也就是笛卡尔坐标。

）
()()()()()ˆˆˆˆˆi j i j i j i j i j ij ij d d d d dx dx dx dx g g dx dx -=-=-r
r r r g g g g ， ()1ˆ2
ij ij ij g g ε=
-。

i j ij εg g 显然是张量（把i j
ij εg g 看作是并矢式即可），且是对称张量，因为ij ji εε=；
浅释“应变是张量”：应变反应了一种“连续可微”的变形，而所谓“连续可微”，在
无穷小邻域内，就是线性（这一点，在单变量函数中表现得尤为明显）；而所谓“应变”就是将一点邻域的任意微矢径（神一样的d r ）“连续可微地”，也就是“线性地”映射成另一个微矢径。

因为这一映射是线性的，所以可以用张量来表述。

（参见本书P263页）
引入P263的变形梯度ˆi i =F g g
，则ˆi
i =F g g ，注意F 是确定的张量。

下利用F 证i j i j ij i j εε''''=g g g g ，即要证ˆˆi j i j ij i j g
g ''''=g g g g ()()()()()()()()()()()()ˆˆˆˆˆˆi j i j i j i i j j ij i j i j i j i j i j i j i j i j i j i i j j i j i j i j g g ββββ''''''''''''
''''''''⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦g g g g g g F g F g g g F g F g g g F g F g g g F g F g g g g g g g g g
1.29-1.30：略；
1.31：坐标变换时，有k i i k
v v β''=，k
k i i x x
β'
'∂=∂，因为
()()k k
m k n k m n m n m n n m n m n m n m k k m n k k m n k k k k m n k k n
m
m n k n m m n n m n m n m m n k k n m m v v v v x x x x v v v v v x x x x x x v x βββββββββββββββββββ''''''''
''''
'''''
'''''''''''''''⎡⎤∂∂∂∂⎛⎫⎢⎥-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∂=∂n m m n k k n k m k k k
n m n m n n m m n n m n m m n n m n m m n v v v v v x x x x x x x x x
v v x x βββδβδβ''''''''''
''
∂∂∂∂∂∂∂-=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂1.32-1.37：略；
1.38：（参见本书P169）1kl kl ij ki lj kl ij E E
γγ
εδδσδδσ+=
-，故可在任意坐标下，:=εD ζ，其中1ijkl ki lj kl ij D g g g g E E
γγ
+=
-； 1.39：123123123i j k
m i
n j
l k
m n l
ijk m n l ijk mnl c c c c e a b a b a b e a a a be ab ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== 1.40-41：略；
1.42：2
3
123d dx dx =⨯a g g ；… 1.43：略；
1.44：()()()()()()⨯⨯=-A ΒC D A C ΒD A D ΒC ()ijk
i j k a b ε⨯=A Βg ，()i
j
k ijk c d
ε⨯=C D g ，
()()()()()()()()()
ijk m n l m n ijk m n i
j j i i j k mnl i j mnk
i j m n m n i j j i i j i j a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d εεδδδδδ⨯⨯===-=-=-A ΒC D g g A C ΒD A D ΒC
1.45-46：略；
1.47：方法一：要证1**1
....p
r p p q q q r p q
T T βββ''
'''
'
=；。

*1..1..1....12'3'23'1'31'2'''1..''r p r p q p q p p q p p q p q r p q
p q q p q q p q q i j k p q p i p q j k q T T T T T ββββββββββββ'''''''''
'''''''''''''''
'''
==
方法二：*
*........11:22
kp
q
kij p q kij p
q q k p ij q k p ij q k p T T T ε===-=-T g g g g g g g g g εT ， 1.48-1.51：略。

第二章 二阶张量
2.1 二阶张量的矩阵
（28） 二阶张量的四个矩阵及相应关系； （29） （2.1.7c ）
2.2 正则与退化的二阶张量
（30） （2.2.3）的证明： []...i l j m k n
ijk l m n T u T v T w ε=T u
T v T w
[]() (1)
det 6
1611 (66)
rst i j k l m n
ijk r s t lmn i j k l m n r s t r s t r s t r s t r s t r s t ijk r s t l m n n l m m n l l n m m l n n m l i j k l m n i j k l m n ijk l m n ijk n l m i j k l m ijk l m n T T T u v w T T T u v w T T T u v w T T T u v w T T T u v εεεεδδδδδδδδδδδδδδδδδδεεε==++---=++=T u v w n
w
2.3 二阶张量的不变量 2.4 二阶张量的标准型
（31） 实对称二阶张量的标准型；由λ=N a a 确定；()3
21
23N
N N λλϕλϕλϕ∆=-+-；
（32） 2
2
min
max max 22
xy y x τσσσστ+⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=
； 说明：以二维为例，如记max min σσ=+ζii jj ，则任一面cos sin θθ=+n i j 上的受力
为
m
a x m c o s s i n n σσθσθ=
+i j ，θσθσσ
2min 2max sin cos +=nn ，
θθσθθσστsin cos sin cos min max -=n ；
（33） 非对称二阶张量的标准形
三个不等实根；一个实根与一对共轭复根；有一个二重根；有一个三重根；
2.5 几种特殊的二阶张量
（34） 反对称二阶张量； （35） 正交张量；
2.6 二阶张量的分解
（36） 二阶张量的加法分解；
（37） 二阶张量标量不变量的进一步分析；
（38） 二阶张量的极分解；
2.7 正交相似张量
习题
2.1：略；
2.2： (i)
mi
n
m
n
n
i ni m n m n T g g T T T δ===；故()()**
11ϕϕ'=T T ；高阶矩证明略。

（这是利用ij g 的
证法，转置基矢量的证法更简单。

）
2.3：...i i k j k j T A B =；...i i k i k i T A B =；...i i k
j k j S B A =，...i i k
i k i S B A =；故一阶矩等；
()()(
)(
)()(
)()()()()11
221
11
22211221
112221111221
2
2311
..........................n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n
i j i k j i j i j i k j i k j n j i j i j i k j i k j i k j i i k i k j i k i k k i k i k i k j i T T
T A B A
B A B A B A B A B A B ---===T g g g g g g g g g g g g g g ()()()()()()(
)()()()()11
22
11122211
2
2
111
222311221
112211..........................n n
n n n n
n
n n n
n n n n n n n n
n
n
i j i k j i j i j i k j i k j j i j i j i k j i k j i k j i j k j k i k j k j j k j k j k j k i T T T A B A
B A B B A B A B A B A ---'===T g g g g g g g g g g g g g g
2.4：（1）
[][][
]......123231123132213321......1232313121321323211m ijk m ijk m ijk
i m j k i j m k i j i k m m m m m m m m m m m m m m m m m m
m m m m m m T u v w u T v w u v T w T u v w T u v w T u v w T u v w T u v w T u v w u T v w u T v w u T v w u T v w u T v w u T v w u v εεε++=++++---=+++---+T u v w u T v w u v T w ()[]
......232313121322133211m m m m m m
m m m m m m T w u v T w u v T w u v T w u v T w u v T w ϕ⎛⎫
⎪⎪
⎪++---⎭=T u v w （2）略： 补充：[]()[]3ϕ=T u T v
T w T u v w
()[]()()()()[]
3 (16)
l m n ijk r s t
i j k lmn rst
l m n r s t i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k lmn r s t s t r t r s r t s s r t t r s l m n r s t l r m s n t r s t lmn r s t lmn T T T u v w T T T u v w T T T u v w T u T v T w ϕεεεεδδδδδδδδδδδδδδδδδδεε==++---===T u v w T u T v T w （注意每一项都一样） 2.5-2.7：略；
2.8：因为转置后其各阶矩与相应不变量都不变，故特征多项式不变，所以
()()()()...det det det i i i i j j j j j j i i T T T λλδλδλδ∆=-=-=-
2.9：注意：()'''=A B B A ；所以X 与Y 均对称； (i)
i
k
j k j X T T =， (i)
i
k
j k j Y T T =，可证X 与Y
的各阶矩相等。

2.10-2.13：略；
2.14：()()()()111 (i)
i j m n m j m j
i n m i m j m j j T T δ---'⎡⎤'====⎢⎥⎣
⎦
T T T g g g g T g g g g G 2.15：(
)()()
()()1
1111 (i)
j
i
k m n j m n i n m n i m n i n i j
k
j
A B B δδ-----===B
A A
B B A g g B g g g g
2.16：对称已证。

()()()()()==0''≥u T T u u T T u u T u T 2.17：略；
2.18：()()'===Q u Q v Q u Q v u Q Q v u v ，
因为u 、v 是任意的，所以'=Q Q v v ； '=Q Q G ；
2.19-2.20：[]()[]det =Q u
Q v Q w Q u v w ，
()()()()()det ⨯=⨯⎡⎤⎣⎦Q v Q w Q u Q v w u ， ()()()()det ⨯=⨯⎡⎤⎣⎦Q v Q w Q Q v w ，
()()()()()()()11det det --'⨯=⨯=⨯Q v Q w Q v w Q Q Q v w
2.21：见书P86定理。

2.22：()()22....1..1122i l i l i l i l l i l i T T T T T T ϕϕ=-=-，..11
3
i i i j j j D N ϕδ=-N ，
()()()()()2.1.1.1.12.1.1..1.1.1221..1211
1
233
1111111233266181123i l i i l l
i l l l i i i i l l i l i l l i i l l l i i l i l i i l l i
i l l i N N N N N N N N N N N N ϕϕϕϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδδϕϕϕ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=----- ⎪⎪⎢⎥
⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦
⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-++- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=
--=⎢⎥⎣⎦D N N N N N N N N N N N N ()2113
ϕ-N
()3....1.1.12..1.1.1.1 (1)
111166
3
3
3
111116339316ijk l m n ijk l l m m n n
lmn i j k lmn i i j j k k ijk l m l m m l l m n n lmn i j i j j i i j k k l m n i j k ijk lmn D D D N N N N N N N N N N N ϕεεεεϕδϕδϕδεεϕδϕδϕδδϕδεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--- ⎪⎪⎪
⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
⎡
⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
=D N N N N N N N ()()()()21..1..1.2231..1.1.131..1..1.111339
111139927111181818l m n m l n l m n i j k j i k i j k n l m n l m n m l n l m k i j k i j k j i k i j
ijk m n ijk l n
ijk l imn j k ljn i k lmk i N N N N N N N N N N N N N N ϕδϕδϕδδϕδϕδδϕδδϕδδδϕϕεεϕεεϕεε⎡⎤
--+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
-++-⎢⎥⎣⎦=---N N N N N N N N N N N ()()()()()()()()()().22231.1.1.331..1..1..221.1.1111154545427
111181818
111272727m j
ijk n ijk m ijk l
ijn k imk j ljk i j k k j m n i k k i l n i j i j l m
m n m n j k l n l n i k l m m l i j
k n j m i n k m j l N N N N N N N N N N N N εεϕεεϕεεϕϕϕϕδδδδϕδδδδϕδδδδδϕδϕδϕ+++-=------+++N N N N N N N N N N N ()()()()23
.33331 (33)
123127
1212627327
l i j k k j j k j k N N N N N ϕϕϕϕϕϕϕϕ-=--+=-+N N N N N
N N N ()()()()()()()()()2
2311122
123.2
.3.3
.3.1
.22
2
1.1.
2.33
3
31
22
.2.3.1
.1.1
.2
2
232331131212
123.2.3.3.2.3.1.3.1.1.2.2.1.1.2.32221223311.1.2.2.3.3.1.2.1113313
166
N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N ϕϕϕ=-=++-++=-+-+--
++=--+-+-+D
N N ()22331.3.2.1.3N N N N ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦； 2.23：各自的特征多项式为(
).det 0i i
j k j N N δ-=，(
)
.det 0i i
j k j D D δ-=，又
..113i i i j j j D N ϕδ=-N ，代入得.11det 03i i i j j k j N D ϕδδ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭N ，比较得：
11
3
k k D N ϕ=-N ；
2.24：（1）略。

（2
）1
101
3002423
7
101002400
3003009⎡⎤⎡⎤
⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥'=-
--=⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
T T ；
11002100223
101004
0200
3009003⎡⎤
⎡⎤-⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=--
-=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
T T ； 1=H ；()1
11-=H Q T ；
2.25：注意1、2、3应指一组给定的正交方向。

i σ表示在i 方向上所受力的模；故（1）、（2）、
（3）的应力状态在1、2、3所对应的标准正交基下可写为
（1）0
00000000σ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）000000000σ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
；
（3）纯剪切，故可表示为121312231323000σσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为20σ=，所以为1313
000000σσ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，即为0000000ττ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，正负号应指力矩方向。

参见下图。

题中其余问题略。

2.26：λ=T a a ， λ=Q T a Q a ，λ'=Q T Q Q a Q a ，()()λ=T Q a Q a ，对比
λ=T a a 可得：=a Q a ；λλ=；
2.27：m m m λ=M a a ，2m m m m λλ===N a M M a M a a ；
2.28：设
111112121313212122222323313132323333A A A A A A A A A =++++++++A e e e e e e e e e e e e e e e e e e
取112233=-++Q e e e e e
e ，则
111112121313212122222323313132323333A A A A A A A A A '=---++-++=Q A Q e e e e e e e e e e e e e e e e e e A
得12120A A =-=，13130A A =-=，21210A A =-=，31310A A =-=； 同理若设112233=-+Q e e e e e e ，可证得23320A A ==；故111222
333
A A A =++A ee ee ee
是
对称张量；进一步取211233=-+Q e e e e e e ，112222113333A A A '=++=Q A Q e e e e e e A ，所以1122A A =；同理若设113223=--Q e e e e e e ，可得2233A A =，故A 是球形张量； 2.29：略；
补充：对任意a ，b ，若()
()()C =T a T b a b
，则()(),,∠=∠T a T b a b ；记112233a a a =++a g g g ，112233b b b =++b g g g ，i i =T g g ，()cos ,∠=
⎡⎤⎣⎦a b
a b a b
，()()()cos ,∠=
⎡⎤⎣⎦T a T b T a T b T a T b
；又
()()()111112211213311322222332233333
a b g a b a b g a b a b g a b g a b a b g a b g =++++++++a b ()()()()()111112211213311322222332233333
a b g a b a b g a b a b g a b g a b a b g a b g =++++++++T a T b ()()()C =T a T b a b
因为a ，b
任意，所以有ij ij g Cg =； ()cos ,a b g a b a b g a b a b g a b g a b a b g a b g ∠=⎡⎤⎣⎦++++++++a b
a b a b
()()
()
11112121313222223233333cos ,222g a a g a a g a a g a a g a a g ∠=⎡⎤⎣⎦+++++T a T b T a T b T a T b
333
g 故()()cos ,cos ,∠=∠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b T a T b ；反之应该也亦然；
第三章张量函数及其导数
3.1 张量函数、各向同性张量函数的定义和例 3.2 矢量的标量函数 3.3 二阶张量的标题函数 3.4 二阶张量的二阶张量函数 3.5 张量函数导数的定义，链规则
（39） 有限微分()()()()01
;lim h h h →''=+-=⎡⎤⎣
⎦F v u F v u F v F v u （40） ()();*n
''=T A C T A C
（41） 链规则：如()()()
=H T G F T ，F 是n 阶的，则()()()*n
'''=H T G F F T
（42） ()()()()()::d d d ''=⊗+⊗⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦H T U T V T T U T T V T （3.5.31）
3.6 矢量的函数之导数
（43） ()i i
i i f f
f v v ∂∂'==∂∂v
g g （3.6.7）；()...i i j j j j j
j F v v v ∂∂∂'====∂∂∂F F F v g g g g （3.6.13） （44） i
i
v ∂∇=
∂g （3.6.18） 3.7 二阶张量的函数之导数
（45） ()...i j ij
S ∂'=
=∂F
F S g g （46） 自变量为对称的二阶张量时； （47） 一些例子及常用的导函数公式；
习题
3.1：是各向同性函数；()2
2
2
2
~e
e e
e ===Q v v v v
3.2：（1）是；(
)()()()()
33
2
11
:::i j
m
n
ij mn
ij i
j
mn m n
ij i j f T T
T T
T ======∑∑T T g g g g
e e e e
（2）是； 3.3：略；
3.4：（1）是；()()'
'''''====H Q H Q Q T Q Q T Q T （2）不是；
()()()()
''''''====≠=H Q H Q Q T A T Q Q T Q Q A Q Q T Q T Q A Q T T A T H T
3.5：()'''====H Q H Q Q A T Q A T A Q T Q ；故=Q A A Q ；故A 中球形张量； 3.6：显然H H H ++=P D ΩH ；且H P 是球形张量，H Ω是反对称张量，关键要证H
D 是偏
斜张量；即要证()2
2
2
2
12123
ϕϕ++-
-P D ΩG 是偏斜张量。

设 1
322313211132121312
1
310
001310
111033
1013N w w N w w N w w N w w N w w w w N ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦
⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
T
112233
132
132.1.2.2.3.3.1
2223311
321321.1.2.2.3.3.1222
123231312
N w N w N
w T T T T T T w N w N w N T T T T T T N N w N N w N N w ϕ--=++=++-=+++++
()()2222
122
2
1112
322
111
31122
1
111
123
11330111102133
3011133N w w N w w w w N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++--⎡⎤⎡
⎤-⎢⎥⎢⎥
-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
P D ΩG
其迹为：
()2
2
2
22222222111213112311232313121111222203333N N N w w w N N w N N w N N w ϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-----++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 3.7：()()2110
12!cos n
n
n R n ϕ
ϕ∞
==
-=∑；()()()2120
1121!sin n
n n R n ϕϕ∞
==--+=-∑；
130R =；2112sin R R ϕ=-=；2211cos R R ϕ==；230R =；31320R R ==；331R =； 3.8-3.10：略； 3.11：()()()
()()2
2
;lim
lim
2h h h h h
h
ϕϕϕϕ→→+-+-''====v u v v u v v u v u v u ，故
()2ϕ'=v v
3.12：()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()000
;lim
lim
::lim
:::h h h f h f h h f h h h o h h o h h f ϕψϕψϕϕψψϕψψϕϕψ→→→+-++-'==''++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦='''=+=T S T T S T S T T T S T T S T T S T T T T S T T S T S
故()()()()()f ψϕϕψ'''=+T T T T T ；
3.13：'=Q Q G ，求导得0''+=Q Q Q Q ，故'''=-=-Q Q Q Q Q Q ； 3.14：()()()()()ϕ'''=+V W V U V W V U V ； 3.15：()i j ij f f T ∂'=
∂T g g ，i j ij T '==T Q T Q g g ，()
()i j ij
f f f T ∂'''==∂T
g g Q T Q ；注意，如果i i =Q g g ，则i i
=Q g g ； 3.16：()i i
v
∂'=
∂F F v g ，i
i v ==v Q v g ，()()i i i i i i v v v ∂∂∂''===∂∂∂F F F F v g Q g g Q （因为F 是各向同性函数），()()~
i
i v
∂'''==∂F F v Q
g Q F v ； 3.17：
1.i m
i n m n
T d d T ϕ∂==∂g g G T ；
()2111.1
11222
i l i l i l l i m l i n m i l n m n m
n i m l n l m i n m n m
n T T T T d T T T d T ϕϕδδδδϕϕ∂-'==--=-=-∂g g G g g g g G g g G T T ()3 (1)
1116...66611 3.7.2222
ijk l m n lmn i j k qjk m n iqk l n ijq l m pmn j k lpn i k lmp i j p q i j q i q i j q i q
i j p p i j i p i p T T T d T T T T T T d T T T T T T T T T b εεϕεεεεεεδδ∂==++=∂=+--=T 3.18：
()()()()()()11det det det det det m
m
m m d d d m m d d d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤'⎣
⎦⎣⎦⎣⎦===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦T T T T T T T
T T
3.19：
()()q p
pq i
j q p j i i j p q i j i j ij
T d d T δδ∂'===∂g g T g g g g g g g g g g T 3.20：
()()()()
2
...........i j m n i m j
j i n m j i m l
l i k m j l m k i j l k k l j i m k l i j m k
l l
k k
m j i i j l i s j j s i m j j l i j i s s i d T T T T T T d T T T T T δδδδ⎡⎤'∂∂⎣⎦===+∂∂=+=+T g g g g g g g g g g g g g g g g g g T g g g g g g g g g g g g g g g g
3.21：记()3
2
123det *λλϕλϕλϕ-=-+-=G T ；
212*
32d d λϕλϕλ
=-+()()()2212231213121*
d d d d d d d d ϕϕϕλλλλϕϕλλϕλϕϕ-''
'''=-+-=-+--=-+--+-G G T T G G T G T T T
T
T
T
()()()()()2221212
11222211*d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d λλϕλϕϕϕϕϕλλϕϕλϕλ⎡⎤'''-+--+-'⎢⎥''⎣⎦==--+-'
'
'=+--+-
G G T G T T T T T G G T T T T T T T
T T GG G T T T T T
3.22：()()2
2i j
ij i j ij g v v g v v k i j j i k ij k ij k k
d e e g v g v e f d v
ϕδδ∂==+==∂v g g v v v ； ()()(
)
()2
2
22f e
e f ===Q v v v Q v Q v v ，故是各向同性的；
3.23：()2****
0112*1
201101112d a a d d dw a a a a d d d d ϕϕϕϕϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦===+=+ζG εεεεε
；见书；
3.24：()3010122112010201
220120110120113223122d a a d d d d a a a d d d d d a a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦===--⎛⎫⎛⎫
=---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ζεεεεεG G εG ε
()()()()()()()21210010100100010111221122
12
12j k l k
k j k l j k l k
k j k l i j k l
ij kl ij kl ik jl il jk d d a d d a a a a a a a a g g g g g g ϕϕϕϕϕϕϕεεϕ⎡⎤⎛⎫
'-++ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦=='=--++++=+++⎡⎤
=+++⎢⎥⎣⎦
G εεζC εε
GG G G εεεG g g g g g g g g G εεG g g g g g g g g g g g g 3.25：见书110页；()()()2
012311232123,,,,,,k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=++ζG εε，因为应力和
应变的关系是二次式；故()
()2
2
01121324516a a a a a a a ϕϕϕϕ=++++++ζG εε；独
立的弹性系数，貌似1a 、2a 、3a 、4a 、5a ，有5个；
()()()()()()()()()2
2
601121324512
612131545111241112224a d d a a a a d a a d d d d d a d d a a a a a a d d ϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤'⎡⎤++++'++⎡⎤⎣
⎦⎣
⎦⎣⎦==++
⎡⎤'+'+⎣⎦'=++-+++++
εεG εεζC εεεε
εεεεGG GG G G εεεG εε
()()()()
2...................i j i j m n m n
j i j i n m n m k l
k l
i j n i m jn i m j n i m j j n i j n i m j n im j i m k l
k
l
j n i i n j m jn i i jn m m j n n i j j i n n i m j j i m n n im d d g g g g g εεεεεεεεεεεεεε
εεεεε⎡⎤'⎡⎤+∂++⎣⎦⎣⎦=∂∂+++=
∂=++++εεg g g g g g g g g g εg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g ()...........i i j n m m j i i j m j j im n i m j j m i
i i i i i i i i p q r s
q si rp r sq ip s iq rp s rq ip q ri ps p ir qs r sp iq p is rq g g g g g g g g g g g g g g g g g εεεεεεεεεεε+++=+++++++g g g g g g g g g g g g g g g g g g ()
()p q r s pr qs ps qr d g g g g d '+=+εεg g g g ε
故
()()()
()()()()
()()()()26121315451261231355451123135451111222411112+2224122=pq rs pq rs pq rs pq rs pr qs ps a d d a a a a a a d d a d d a a a a a a a a d d a g g a a g g a g a g a a g g g g ϕϕϕϕϕϕεεϕ⎡⎤'+'+⎣⎦'=++-+++++⎡⎤'+'+⎣⎦'=++-++++++-++++εεεεC GG GG G G εεεG εε
εεεεGG GG G εεG εG εε
()()6........14qr p q r s
i i i i i i i i q si rp r sq ip s iq rp s rq ip q ri ps p ir qs r sp iq p is rq
a g g g g g g g g g g g g g g g g εεεεεεεε⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++++⎢⎥⎣⎦
g g g g
由Voigt 对称性得35a a =，故独立的弹性系数为4个； 3.26：11
3
ϕ-
*
ζ=ζG ， ()()12
1****111112
.....1.1.1.11111111::32333233121212:332363eq i i i j n n n m
i i i j j j j i m m m n j j j i σϕϕϕϕσσϕδσσϕδσσϕδσσ⎧⎫⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫''''=++=-+--+-⎨⎬
⎪ ⎪⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ζζζζζG ζG ζG ζG g g g g 12
112
.212
(1231)
123
39j j i i i j i j j i j i ϕδσσσσϕχ⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+-= ⎪
⎝⎭()121212eq d d d d d d χσχ
χ
-=
=
ζ
ζ
ζ
； ()()()() (1)
1
.....11......1..114339114339111143333911133i
j
i
j
j i
j i m
m n n m n
i jq p i j
j ip q j i m m n n m m n n
jq p i
i jq p j i i j i ip q j j ip q i j j i i
j i j i i j i j d d d d d g g d d g g g g σσσσϕχϕσσσσσϕϕσσσσσσϕσσ∂∂=
+-∂∂∂=+-∂∂=+++-=++g
g g g ζζζ
g g g g ζg g g g g g g g g g g g g g ()..11*1142433939414333
j i j i i i j i j i σσϕϕϕ'+-=+-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭g g g g g g ζζG ζG ζ
第四章 曲线坐标张量分析
前一章中自变量的基矢量是不变的（或者说暂时没必要变）。

本章中，自变量是r ，当然也可以在固定的基下表达r ，但如果我们使用自然基矢量i i x
∂=∂r
g （在某些情况下可能是方便的），则i g 往往将不再是常的矢量，故有本章。

4.1 基矢量的导数，christoffel 符号
（48）
j k
ij k i
x
∂=Γ∂g g （4.1.4）
；第二类christoffel 符号； （49） k k
ij ji Γ=Γ（4.1.5）；
（50） k
i
j
ij k Γg g g 不是张量，及其证明；
（51）
,j k l
k l ij k ij kl ij l i
g x
∂=Γ=Γ=Γ∂g g g g （4.1.9）
；第一类christoffel 符号； （52） 一堆公式，感觉很像学《微分几何》； （53） ,12jk ij
ik ij k j i k g g g x x x ∂∂⎛⎫∂Γ=
+- ⎪∂∂∂⎝⎭（4.1.15）；12j k i j p
k p ik ij
j i k g g g g x x x ∂∂⎛⎫
∂Γ=+- ⎪∂∂∂⎝⎭
（4.1.18）； （54） i i p
jp j x
∂=-Γ∂g g （4.1.19）
（55）j =Γ（4.1.21）；1l n 2j
ji i g x
∂Γ=∂（4.1.22）； （56） 坐标转换公式2p l l p q l r
i j i j r pq i j p
x x x x x
βββ''
'''
''''∂∂Γ=+Γ∂∂∂（4.1.24），也说明了r pq Γ不是张量； 4.2 张量场函数对矢径的导数、梯度
（57） ()()''=T r;u T r u （4.2.3）；跟前面没有任何区别，只是这里默认r 变化时，基也
变化，因为i i x
∂=∂r
g ； （58） 梯度（同前）；
4.3 张量分量对坐标的协变导数
（59） ;i i i k m i i
i ij k jm i j i j j j
F F F F F x x x ⎛⎫∂∂∂=+Γ=+Γ= ⎪∂∂∂⎝⎭
F g g g g （4.3.3）；
（60）
;m j
i m ji i i j j
j F F F x x ∂∂⎛⎫=+Γ= ⎪∂∂⎝⎭
F g g （4.3.6）； （61） (
)
;;;k
k ik i j ik j j
g F F g F ==（4.3.11）
； （62） ;;j i j i j j i i j j F F x ∂∇=
==∂F F g g g g g ；;;j i j j i j i i j j
F F x
∂∇===∂F F g g g g g （4.3.12）； （63） ()..........ij k
ij k i j mj i im j ij m k k
k ml k ml m kl i j l l
l T T T T T x x x ∂⎛⎫∂∂==+Γ+Γ-Γ ⎪∂∂∂⎝⎭
g g g T g g g （4.3.20） （64） 梯度：
...;l jk i l
i l j k l
T x ∂∇=
=∂T T g g g g g （ 4.3.23）；
......;l
jk l i jk l i
l i j k i l j k l
T T x
∂∇==∇=∂T T g g g g g g g g g （4.3.24）；二者不是互为转置，而是轮转；
（65） 在直角坐标系中推导张量场方程，然后根据张量场方程对于坐标的不变性，把普通
偏导数，直接写出曲线坐标系中张量分量满足的方程式。

（66） 度量张量G 的任何分量的协变导数恒为零：0i jk g ∇=，0j
i k δ∇=；0
jk
i g
∇=（4.3.26）；
（67） 度量张量ε的任何分量的协变导数恒为零：0l ijk ε∇=，0ijk
l ε
∇=（4.3.27）
； （68） 对张量分量缩并与求协变导数的次序可以调换（Leibnitz 法则）；
（69） 两个张量分量乘积的协变导数服从函数乘积的普通偏导数的运算法则；
4.4 张量场函数的散度与旋度
（70） 张量场函数的散度：s s x ∂∇=
∂T T g （4.4.2）；s s
x ∂∇=∂T T g （4.4.3）； （71）
m i i m i m
im i i F F div F F x x ∂∂∂=+Γ=+=∂∂F （4.4.4）； （72） 旋度()()............s
s j kl i sim j kl
s i j k l s i m j k l s
T T x
ε∂∇⨯=⨯
=⨯∇=∇∂T T g g g g g g g g g g （4.4.6）； （73） ():∇⨯=∇T εT ；():⨯∇=∇T T ε（4.4.7）；
（74） 12
3
123123
i j ijk
i j i j k curl F F F F ε=∇⨯=∇⨯=∇=∇∇g g F F g g g （4.4.8）； （75） ()ijk ijk m ijk
i j i j m ij i j F F F F εεε∇=∂-Γ
=∂，故12312312
3
ijk i j k curl F F F
ε=∂=∂∂
g g F g （4.4.9）；
（76） Laplace 算子：
()()2........................;.....................r
s r
ij k s l s l
i j k r
s r r ij k s l rs ij k l
r s l i j k r s l i j
k rs ij k l l sr i
j k r ij k l r l i j k T x x x T g T g T T ∂∂∂⎛⎫∇=∇∇==∇ ⎪∂∂∂⎝⎭
=∇∇=∇∇==∇∇T T T g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g
注意：r ∇不表示对r x 的偏微分；仅表示对r
x 微分的逆变分量；
4.5 积分定理
（77） 0a
d =⎰a （4.5.1）
；因为a
V
d dV =∇⎰⎰⎰⎰v a v ； （78）
))
,0
l l
l
l
x ∂=
=∂（4.5.2）；其物理意义同（4.5.1）；对曲面微元体用（4.5.1）； （79） Green 变换公式：
()()
V
a
dV d ∇=⎰⎰⎰⎰φa φ；可衍生出（4.5.7-4.5.10）：
V
a
dV d ∇=⎰⎰⎰⎰φa φ
；
()V
a
dV d ∇=⎰⎰⎰⎰φφa
；
V
a
dV d ∇⨯=⨯⎰⎰⎰⎰φa φ
；
()V
a
dV d ⨯∇=⨯⎰⎰⎰⎰φφa ；
（80） Stokes 变换公式：()a
l
d d ∇⨯=
⎰
⎰a φl φ，()a
l
d d ⨯∇=-⎰⎰φa φl ；张量场函数的
散度：s s x ∂∇=
∂T T g （4.4.2）；s s
x
∂∇=∂T T g （4.4.3）； 4.6 Riemann-Christoffel 张量（曲率张量）
（81） 曲面的第一基本型：(
)()2
2
ds dr d d d d a d d α
βαβαβ
αβξξξξ====r r g g
；
（82） 对于一个m 维的Riemann 空间，必定有一个()1
12
n m m =
+维的Euclidean 空间包容它，使m 维的Riemann 空间是嵌入n 维Euclidean 的一个子空间（为什么？）；
（83） Riemann-Christoffel 张量（曲率张量）：.p p rq
p
t p t p
rs rsq
rq ts rs tq s q R
x x ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂，（,,,1,2,3p q r s =）（4.6.10）；
（84） Riemann-Christoffel 张量反映了曲面本身的内在属性，因此是张量； （85） .0p
rsq R =是Euclidean 空间任一曲线坐标系都应满足的条件；
（86） 算一下：球空间：sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩，sin cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin cos r r r r r r θϕθϕθϕθϕθϕθθθϕθϕ⎧=++⎪=+-⎨⎪=-+⎩g i j k
g i j k g i j
01cos cos cos sin sin 1sin sin sin cos r
r r r r r θϕθϕθϕθθθϕθϕϕ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=+-=⎨∂⎪∂⎪=-+=⎪∂⎩
g g i j k g g i j g ，0i
rr Γ=；010r r r r r θθθϕθ⎧Γ=⎪
⎪Γ=⎨⎪⎪Γ=⎩，001r
r r r r
ϕθϕϕϕ⎧Γ=⎪⎪⎪Γ=⎨⎪
⎪Γ=⎪⎩
1
cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos cos cos r
r r r r r r r r ctg θθθθϕϕθϕθθϕθϕθθθϕθϕθθϕ⎧∂=+-=⎪∂⎪∂⎪=---=-⎨∂⎪∂⎪=-+=⎪∂⎩
g i j k g g i j k g g i j g ，010r r r r r θθθϕθ⎧Γ=⎪⎪Γ=⎨⎪⎪Γ=⎩
，00r r θθθθθϕ
θθ⎧Γ=-⎪Γ=⎨⎪Γ=⎩00r ctg θϕθθϕϕθϕθ⎧Γ=⎪⎪Γ=⎨⎪Γ=⎪⎩ 21sin sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin sin cos r r r r r ctg r r r ϕϕϕ
ϕϕ
θθϕθϕθϕθϕθθθϕθϕθθθϕ
∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪∂⎪=--=--⎪∂⎩g i j g g i j g g i j g g ，001r
r r r r
ϕθϕ
ϕϕ⎧Γ=⎪⎪⎪Γ=⎨⎪
⎪Γ=⎪⎩， 0
0r ctg θϕθθϕϕ
θϕθ⎧Γ=⎪⎪Γ=⎨⎪Γ=⎪⎩，2sin sin cos 0
r
r ϕϕθ
ϕϕϕϕϕθθθ⎧Γ=-⎪⎪Γ=-⎨⎪Γ=⎪⎩； 算一下R 的6个独立分量r r R θθ，R θϕθϕ，r r R ϕϕ，r R θθϕ，r r R θϕ，r R θϕϕ
101r r r
r m n n m r n n r r r r r rm nr r n rr nr r n r r r n n r r n n r r nr r n nr r n r r r r r r r rr r r r r r r R g g r r r θθθ
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθϕθθθθθθϕθθθθθθθθθθθ
⎛⎫⎛⎫∂Γ∂Γ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ=-+ΓΓ-ΓΓ ⎪ ⎪
∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ=-++ΓΓ-ΓΓ∂∂=-+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ-Γ()1
1000000r
r r
ϕϕθ
Γ=-+++--
--= ()222sin cos 0cos 20sin 0000co m m m n n m n n m n n n n r r r r R g g r r θθϕϕθϕϕϕθϕθθ
θϕθϕθθϕϕθϕϕθθθϕϕθϕϕθθθθϕθθθϕθθϕϕθθϕϕϕθϕϕθϕϕθϕθϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθ⎛⎫⎛⎫∂Γ∂Γ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ=-+ΓΓ-ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤=--+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ⎢⎥∂⎣⎦
=---++--+()2s 0
θ=。