运筹学课件：第6章 动态规划-第3节

0mu5axs5{3u5 5s5 )
u5* s5,
f5 (s5 ) 8s5
•当k=4时
f4 (s4 ) 0mu4axs4{8u4 5(s4 u4 ) f5 (0.7u4 0.9(s4 u4 ))}
0mu4axs4{13.6u4 12.2(s4 u4 )}
• 假定开始生产时完好的机器数量为s1=1000台，试问 企业每年年初应如何安排机器在高、低两种负荷下 的生产，使在第5年年末完好的机器数量 s6=500台 ，并且5年内生产的产品总产量最高。
k=1，0≤X1≤S1，S2=S1-X1
S1 X1(S1) g2(S1X1)+f2(s2) f1(s1) x1*
0
0+21*
1
3+16
5
2 3
7+14* 9+10
21 0或2
4
12+5
5
13+0
按计算表格的顺序反推，得最优分配方案有两个： 第一方案：x1*=0 x2*=2 x3*=3 第二方案：x1*=2 x2*=2 x3*=1 它们所得的总盈利都为21（万元）。 本例若设Sk表示分配给从第1个工厂到第k个工厂的设 备台数，即S3=5，因此，本例还可用顺序法求解，其 结果完全一致。
因此基本方程为：
fk (sk ) maxgk (sk , xk ) fk1(sk xk )

0 xk sk (k 3,2,1)
f4 (s4 ) 0
下面用逆序法采用表格形式进行求解。
k=3，0≤X3≤S3 ，S4=S3-X3
S3 X3(S3) g3(S3，X3)+f4(S4) f3(S3) X3*(S3)
• 假定开始生产时完好机器的数量为1000台，试问 每年如何安排机器在高低两种负荷下的生产，可 使5年内生产的产品总产量最高。
解： •设阶段数k表示年度。 •状态变量sk为第k年度初拥有的完好机器台数。 •决策变量uk为第k年度中分配高负荷下生产的机器台
数。故低负荷下生产的机器台数是sk-uk。 • 状态转移方程
00
0+0*
0
0
11
4+0*
4
1
22
6+0*
6
2
33
11+0*
11 3
44
12+0*
12 4
55
12+0*
12 5
k=2，0≤X2≤S2，S3=S2-X2
S2 X2(S2) g2(S2, X2)+f3(s3) f2(S2) X2*(S2)
00
0+0
0
0
1
0 1
0+4 5+0*
5
1
20 1 2
0+6 5+4 10+0*
b(sk
uk ))}

k n 1, ,2,1
• 动态规划的逆推关系方程为：
fn (sn )

f
k
(
sk
)


max {g
0un sn
(un
)

h(
sn
max {g
0un sn
(uk
)

h(
sk
un )} uk )
f k 1 (auk
b(sk
S3= 0.7u2+0.9(s2-u2)=0.9s2=810
S4= 0.7u3+0.9(s3-u3)=0.7s3=567
S5= 0.7u4+0.9(s4-u4)=0.7s4=397
S6= 0.7u5+0.9(s5-u5)=0.7s5=278
习题
• 6.2 某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产 。设机器在高负荷下生产的产量为g=8u，其中u为 投入生产的机器数量，年终机器的完好率为a=0.7； 在低负荷下生产的产量函数为 h=5y,其中y为投入生 产的机器数量，年终机器的完好率为b=0.9。
j 1
j 1
基本方程为

f
k
(S
k
)


max{gk (xk ) f k1 (Sk 0 xk Sk1

X k )}
fn1 (Sn1 ) 0 (k 1,2, , n)

f
k
(S
k
)


max{gk (Sk1 ) 0 xk Sk1
f k1 (Sk1 )}
• 问如何分配这五台设备给各厂，才能使国家得到的 期望盈利最大？
工厂
盈利
甲
乙
丙
设备台数
0
0
0
0
1
3
5
4
2
7
10
6
3
9
11
11
4
12
11
12
5
13
11
12
解：设xj（j=1,2,3）分别表示分配给甲、乙、丙三个 厂的设备台数。 则此问题可写成以下数学模型：
max z =g1(x1)+g2(x2)+g3(x3)
因此最优策略为 u1* 0,u2* 0,u3* s3,u4* s4 ,u5* s5
即前两年应在年初把全部完好的机器投入低负荷生 产，后三年应在年初把全部完好的机器投入高负荷 生产。最高产量为23700（台）。 每年年初的机器状态：S1=1000
S2=0.7u1+0.9(s1-u1)=0.9s1=900
0mu4axs4{1.4u4 12.2s4}
u4* s4 ,
f4 (s4 ) 13.6s4
依次类推可得，
u3* s3 相应的 u2* 0 相应的
f3 (s3 ) 17.52s3 f2 (s2 ) 20.8s2
u1* 0 相应的 f1(s1) 23.7s1
因为S1=1000，所以f1(s1)=23700
f0 (S0 ) 0 (k 1,2, , n)
（2）资源连续分配问题
第一年
资源数量 s1
A种生产 数量u1投入;收益g(u1);年终资源回收率a
B种生产 数量s1-u1;收益h(s1-u1);年终资源回收率b
第二年 资源数量 s2=au1+b(s1-u1)
到n年
A种生产 数量u2投入;收益g(u2);年终资源回收率a
B种生产 数量s2-u2;收益h(s2-u2);年终资源回收率b
如此进行n年，如何确定投入A的资源量u1、…、un，使总收入最大？
（2）资源连续分配问题
• 此类问题的静态规划模型为：
n
max Z {g(ui ) h(si ui )}
i 1
s2 au1 b(s1 u1) s.t. s3 au2 b(s2 u2 )
uk ))}

k n 1, ,2,1
• 最后求得的f1(s1)即为所求问题的最大收入。
例2 机器负荷分配问题
• 某种机器可在高低两种不同负荷下进行生产，设 机器在高负荷情况下的产量函数为g=8u1，其中u1 是投入生产的机器数量，年完好率为 a=0.7，在低 负荷情况下的产量函数为h=5y，其中y是投入生产 的机器数量，年完好率为b=0.9。
sn1 aun b(sn un ) 0 ui si , i 1,2, , n
• 设sk为状态变量，它表示在第k阶段（第k年）可投 入A、B两种生产的资源量；
• uk为决策变量，它表示在第k阶段（第k年）用于A 生产的资源量，则sk-uk表示用于B生产的资源量；
• 状态转移方程为：sk+1=auk+b(sk-uk)
第3节 资源分配问题
• 所谓分配问题，就是将数量一定的一种或若干种资 源（例如原材料，资金，机器设备，劳力，食品等 等），恰当地分配给若干个使用者，使效益函数为 最优。
• 资源分配问题：离散、连续。
（1）资源离散分配问题
• 例1 某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高 效率的设备五台，分配给所属的甲、乙、丙三个工 厂，各工厂获得这种设备，可以提供的期望盈利如 下表所示。
思考题：如果原设备台数是4台，求最优分配方案？
例1实际上是一个一维资源分配问题。 一维资源分配问题总可以写成“静态规划”问题：
max z =g1(x1)+g2(x2)+… +gn(xn)
x1 x2 xn a x j 0, j 1,2, , n
由于这类问题的特殊结构，可以把它看成是一个多阶 段决策问题，并利用动态规划的递推关系求解。
（4）状态转移方程：Sk+1=Sk-dk=Sk-xk (Sk=Sk+1+xk)
（5）由于阶段指标vk(Sk, xk)=gk(xk)，所以指标函数：
n
n
Vk,n v j (S j , x j ) g j (x j )
jk
jk
k
k
V1k v j (S j x j ) g j (x j )

x1 x2 x1, x2 , x3
x3 5 0,且皆为整数
其中g1(x1)，g2(x2)，g3(x3)分别对应表中甲、乙、丙 厂的期望盈利数。
先考虑构成动态规划模型的条件：
1、按工厂将问题划分为三个阶段，并将工厂编号为 k=1,2,3。 2、设状态变量Sk表示为分配给第k个工厂至第3个工厂 的设备台数。（显然S1=5，所以可考虑用逆序法。） 3、决策变量Xk，表示为分配给第k个工厂的设备数。 0≤Xk≤Sk。 4、状态转移方程为Sk+1=Sk-Xk 5、阶段指标gk(sk,xk)表示Xk设备分配到第k个工厂所得 的期望盈利值。
• 最优值函数fk(sk)表示有资源量sk从第 k阶段至第n 阶段采取最优分配方案进行生产后所得到的最大 总收入。
fn (sn )

fk
(sk
)


max {g
0un sn
(un
)

h(sn
max {g
0un sn
(uk
)

h(
sk
un )} uk )
f k 1 (auk
建立动态规划模型的一般步骤
1 划分阶段。即按时间和空间的先后顺序适当地划分为 满足递推关系的若干个阶段。
2 正确选择状态变量。（可知性和无后效性） 3 根据状态变量和决策变量的含义，正确写出状态转移
方程 sk+1=Tk(sk,uk)
4 明Vk确(sk指,us标)的函含数义V。k.n、最优指标函数fk(sk)及k阶段指标 5 正确列出最优指标函数的递推关系及边界条件。
10 2
0
3
1 2
3
0+11 5+6 10+4* 11+0
14 2
S2 X2(S2) g2(S2, X2)+f3(s3) f2(S2) X2*(S2)
0
0+12
1
5+11*
42
10+6*
16 1或2
3
11+4
4
11+0
0
1
5
2 3
4
5
0+12 5+12 10+11* 11+6 11+4 11+0
21 2
一般有 （1）阶段划分：通常把资源分配给一个或几个使用者 的过程作为一个阶段。即把问题中变量的个数作为阶 段数，k=1, 2, …n。 （2）状态变量SK的含义：SK表示分配用于生产第k种 产品至第n种产品的资源数。显然S1=a，所以该类问题 可用逆序法求解。（也可用顺序法，Sn=a） （3）决策变量dk的选定：dk=xk，含义为分配给生产第 k种产品的资源数。允许决策集合为：Dk(Sk)={dk| 0≤dk=xk≤Sk}。

f6 (s6 ) fk (sk )
0

max
0uk sk
{8uk

5(sk
uk
)

f k 1 (0.7uk

0.9(sk
uk ))}

k 5, ,2,1
•当k=5时
f5 (s5 ) 0mu5axs5{8u5 5(s5 u5 ) f6 (s6 )}
sk1 auk b(sk uk ) 0.7uk 0.9(sk uk ), k 1,2, ,5
• 允许决策集合0uksk
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•第k年度产量为
vk (sk ,uk ) 8uk 5(sk uk )
•指标函数为
5
V1,5 vk (sk ,uk )
k 1
•递推方程为