1、数的整除。

例如：100÷4 = 25 64÷4 = 16
(100＋64)÷4 = 41 (100－64)÷4 = 9
2、如果两个【或者多个】数，其中有一个不能够被某个数 a
整除，那么，它们的和或者差，也一定不能够被 a 整除；
例如：100÷4 = 25
62÷4 = 15.5
(100＋62)÷4 = 40.5
(100－64)÷4 = 9.5
= 9(1001－1) + 4(99 + 1) + 1(11－1) + 6
= 9×1001－9 + 4×99 + 4 + 1×11－1 + 6
= 9×1001 + 4×99 + 1×11 －9 + 4－1 + 6
肯定是 11 的倍数
如果也是 11 的倍数
则原数肯定是 11 的倍数。
练习：用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最 大九位数。
101÷11 不能整除；
1001÷11 = 91 能整除；
10001÷11 不能整除； 100001÷11 = 9091 能整除；
奇数位÷11 不能整除； 偶数位÷11 能整除；
看看“奇偶位差法”的巧妙之处：
比如：判断 9416 能否被 11 整除。
9416 = 9000 + 400 + 10 + 6
3、如果两个【或者多个】数，其中有两个【或者好几个】不
能够被某个数 a 整除，那么，它们的和或者差的整除性，
无法确定； 例例如如：：110032÷÷44==2255..755 (103＋16645÷)÷4 4==4142
6652÷÷44==1165..255 (4100÷3－46=5)1÷0 4 = 9.5
如果一个数的各位数字之和是 9 的倍数，这个数就能够 被 9 整除。【可以一直求数字之和，到成为一位数】 这是为什么？ 原理比较难懂，要注意理解并思考。
1、各位数字都是 9 的数，一定能够被 3 或者 9 整除； 2、个位数字是 0 的数，可以进行以下变形：
10 = (9 + 1)，70 = 7×(9 + 1) = 7×9 + 7 100 = (99 + 1)，500 = 5×(99 + 1) = 5×99 + 5 1000 = (999 + 1)，2000 = 2×(999 + 1) = 2×999 + 2
4、如果一个数能够被 a 整除，那么，这个数与另外一个或 者几个数的乘积，也一定能够被 a 整除。
例如：104÷4 = 26 (104×3)÷4 = 78 (104×3×5)÷4 = 390
5、如果一个数能够被 a 整除，那么，这个数除以另外一个数 所得的商，不一定能够被 a 整除。
例如：100÷4 = 25 (100÷2)÷4 = 12.5 (100÷5)÷4 = 5
这个道理也比较好懂。
1、因为 8×125 = 1000，所以1000的倍数一定能够被 8 整除；
2、所以一个数的千位【包括千位】以上的部分，一定能够 被 8 整除；
3、所以一个数能否被 8 整除，就决定于这个数的末三位 能否被 8 整除；
要考察一个三位数能不能被 8 整除，可以把此数连续用 2 除 3 次，如果能整除 ，那么它就能够被 8 整除，否则，就 不能被 8 整除。
总而言之：加减关系，都能整除，才能整除； 相乘关系，一个能整除就能整除。
6、如果一个数能够被 a 整除，也能够被 b 整除，且 a、b 不 能同时被除 1 以外的自然数整除【叫做“互素”】，那么 这个数就能够被 ab 的积整除。 例如：24 既能够被 3 整除，也能够被 4 整除，且 3 和 4 互素，所以它就能够被 12 整除； 24 虽然既能够被 2 整除，也能够被 8 整除，但是它不能 够被 16 整除【因为 2 和 8 不互素，都能够被 2 整除】；
5、能够被 7 整除的数的特征：
判断一个数能否被 7 整除，可以用“割减法” 。
下面举例介绍“割减法”：
从个位开始：
比如：判断 6692 能否被 7 整除。 割掉末位数字
写出这个数： 6 6 9 2 －4
在它的前一位减去割 去数字的 2 倍：
665 － 10
56
再割掉末位数字
在它的前一位减去割 去数字的 2 倍：
除 尽
除此以外还有什么情况的除法呢？
整除
120÷7 = 17.142857142857………
100÷17 = 5.8823529411764………
除
上面这两个算式叫做“除不尽”。
不 尽
数的整除性的基本性质：【要记住】
1、如果两个【或者多个】数，都能够被某个数 a 整除，那
么，它们的和或者差，也一定能够被 a 整除；
顺便说一句，如果割减以后，剩余部分是21的倍数， 说明原来的数可以被 7 整除，也可以被 21 整除，当然也可 以被 3 整除。
6、能够被 11 整除的数的特征：
判断一个数能否被 11 整除，也可以用“割减法” 。
下面举例介绍“割减法”：
从个位开始：
比如：判断 9416 能否被 11 整除。 割掉末位数字
6692 － 4 2 = 2×21 = 2×3×7
665 － 10
6650 － 1 0 5 0 = 50×21 = 50×3×7
56
5600
原来，割掉末位数字，再在它的前一位减去割去数字
的 2 倍，实际上就是从原数中减去了割掉数字的21倍。也
就是说减去的这部分肯定是 7 的倍数。
所以剩余部分如果是 7 的倍数，则原数能够被 7 整除。
2、所以一个数的百位以上【包括百位】的部分，一定能 够被 4 和 25 整除；
3、所以一个数能否被 4 和 25 整除，就决定于这个数的末 两位能否被 4 和 25 整除；
4、能够被 8 整除的数的特征： 如果一个数的末三位数【百位、十位和个位】是 8 的倍
数【包括000 】 ，这个数就能够被 8 整除。
1、能够被 2 或者 5 整除的数的特征：
如果一个数的个位数是 0 、2、4、6、8 中的一个， 这个数就能够被 2 整除。
如果一个数的个位数是 0 或者 5，这个数就能够被 5 整除。 为什么不需要考虑除个位数以外的高位数？
因为：比如 1238 = 1230 + 8，因为1230 肯定能够被 2 整除，所以根据前面的性质 1 ，可知，只要个位数的 8 能够被 2 整除，1238就肯定能够被 2 整除。
一定能够被 3 或者 9 整除 如果也能够被 3 或者 9 整除 如果不能够被 3 或者 9 整除
则： 就也能够被 3 或者 9 整除 就不能够被 3 或者 9 整除
各位数字之和！
练习：从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2， 5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
要能同时被 2、5 整除，个位数只能是 0； 个位数是 0 的三位数可以是：250，520，270，720，570，750； 其中能被 3 整除的有：
10 10 0
从个位开始，把个位、百位、万位等奇位数字加起来； 再把十位、千位、十万位等偶位数字加起来； 再把上面的两个和相减； 如果差是 11 的倍数【包括 0】，则原数能够被 11 整除；
练习：判断下列各数能否被 11 整除
198 584 9196 2633 13266
“奇偶位差法”的原理比较难懂，试试看吧：
因为：比如 1238 = 1230 + 8，因为1230 肯定能够被 5 整除，所以根据前面的性质 2 ，可知，只要个位数的 8 不能够被 5 整除，1238就肯定不能够被 5 整除。
2、能够被 3 或者 9 整除的数的特征：
如果一个数的各位数字之和是 3 的倍数，这个数就能够 被 3 整除。【可以一直求数字之和，到成为一位数】
1、先看一个事实：
9÷11 不能整除；
99÷11 = 9 能整除；
999÷11 不能整除；
9999÷11 = 909 能整除；
99999÷11 不能整除； 999999÷11 = 90909 能整除；
奇数个9÷11 不能整除； 偶数个9÷11 能整除；
2、再看一个事实：
1÷11 不能整除；
11÷11 = 1 能整除；
到能够看出剩余数字能否被 7 整除时为止。
如果剩余数字能被 7 整除，则原来的数字也能被 7 整除。
如果剩余数字不能被 7 整除，则原来的数字也不能被 7 整除。
练习：判断下列各数能否被 7 整除
189 584 5166 2632 13216
这又是为什么呢？ 让我们看一看“割减法”的实质：
6692 －4
因为：A÷8＝A÷(2×2×2)＝A÷2÷2÷2 可以先只看个位数；不行再看十位数；再不行，再看百 位数。也可以用短除法：
2 312 2 156 2 78
39
*能够被 8 整除的部分三位数：【供查阅，不需要记住】 8×13＝104； 8×14＝112； 8×15＝120； 8×16＝128； 8×17＝136； 8×18＝144； 8×19＝152； 8×20＝160； 8×21＝168； 8×22＝176； 8×23＝184； 8×24＝192； 8×25＝200； 8×26＝208； 8×27＝216； 8×28＝224； 8×29＝232； 8×30＝240； 8×31＝248； 8×32＝256； 8×33＝264； 8×34＝272； 8×35＝280； 8×36＝288； 8×37＝296； 8×38＝304； 8×39＝312； 8×40＝320； 8×41＝328； 8×42＝336； 8×43＝344； 8×44＝352； 8×45＝360； 8×46＝368； 8×47＝376； 8×48＝384； 8×49＝392； 8×50＝400； 8×51＝408； 8×52＝416； 8×53＝424； 8×54＝432； 8×55＝440； 8×56＝448； 8×57＝456； 8×58＝464； 8×59＝472； 8×60＝480；
从小到大排列：270， 570， 720，750；
练习：个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有多少个？ 个位数是 5，且能被 9 整除，百位和十位的和应该是 4 或 13；
可以是 405、315、225、135； 也可以是 945、495、855、585、765、675； 一共 10 个。
练习：一些四位数，百位上的数字都是 3，十位上的数字都 是 6，并且它们既能被 2 整除又能被 3 整除。在这样的四 位数中，最大的和最小的各是多少？
写出这个数： 9 4 1 6 －6
在它的前一位减去割 去的数字：
935 －5
88
再割掉末位数字
在它的前一位减去割 去的数字：
到能够看出剩余数字能否被 11 整除时为止。
如果剩余数字能被 11 整除，则原来的数字也能被 11 整除。
如果剩余数字不能被 11 整除，则原来的数字也不能被 11 整除。
可以看出，割减法的实质是减去所割去数字的 11 倍， 所以有以上结论。 判断一个数能否被 11 整除，还有一种“奇偶位差法” ： 比如：判断 9416 能否被 11 整除。 写出这个数： 9 4 1 6
10000 = (9999 + 1)，40000 = 4×(9999 + 1) = 4×9999 + 4
现在我们任意写一个数： 比如：4239 = 4000 + 200 + 30 + 9
= 4×(999 + 1) + 2×(99 + 1) + 3×(9 + 1) + 9 = 4×999 + 4 + 2×99 + 2 + 3×9 + 3 + 9 = 4×999 + 2×99 + 3×9 + 4 + 2 + 3 + 9
9396 1326
3、能够被 4 或者 25 整除的数的特征： 如果一个数的末两位数【十位和个位】是 4 的倍数【包
括00 】 ，这个数就能够被 4 整除。 如果一个数的末两位数【十位和个位】是 25 的倍数
【包括00 】 ，这个数就能够被 25 整除。
这是为什么？ 这个比较好懂。
1、因为 4×25 = 100，所以100的倍数一定能够被 4 和 25 整除；
如果不考虑能够被 11 整除，则最大的没有重复数字的 九位数是987654321； 这个数的奇偶位差：(9＋7＋5＋3＋1)－(8＋6＋4＋2)＝5；
数的整除
整除和除尽：
120÷2 = 60
121÷2 Leabharlann Baidu 60.5
上面这两个除法算式的共同点是：商到了某一位时，计
算就结束了， 人们把这种情况叫做“除尽”了； 上面这两个除法算式的不同点是：第一个算式的商是整
数，第二个算式的商带有小数，
所以，第一个算式叫做能够“整除”；
第二个算式却只能够叫做“除尽”；