第十章 统计与概率10-2用样本估计总体

注意以下结论： (1)如果x1、x2、„、xn的平均数为 － ，则ax1＋b，ax2 x ＋b，„，axn＋b的平均数为a －＋b. x



(2)数据x1、x2、„、xn与数据x1＋m、x2＋ m、„、xn＋m的方差相等． (3)若x1、x2、„、xn的方差为s2，则kx1， kx2，„，kxn的方差为k2s2. 计算方差时，要依据所给数据的特点恰当选 取公式以简化计算．



3．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎 叶图． 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长 出来的数． 在样本数据较少、较为集中，且位数不多时， 用茎叶图表示数据的效果较好，它当 样本数据较多时，茎叶图就不太方便．

4．平均数、中位数和众数

把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样 本标准差．

(3)数据的离散程度可以通过极差、方差或
误区警示 1．对频率分布直方图和茎叶图识图不准是常见的错 误．在频率分布直方图中，小矩形的高＝ 频率 组距 ＝
频数 频率 .频率＝ ×组距＝小矩形的面积． 组距×样本容量 组距

2．中位数可能不在样本数据中． 3．计算公式用错或计算错误．计算平均数、 方差、标准差等时计算量大，要注意计算结 果的准确性．

③将数据分组：通常对组内数值所在区间取 左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以 将样本数据多取一位小数分组；


④列频率分布表：登记频数，计算频率，列 出频率分布表． 将样本数据分成若干小组，每个小组内的样 本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫 做这一小组的频率．频率反映数据在每组 所占比例 的大小．
方差：s12＝ 100)2]≈3.43. 乙车间：
1 [(102－100)2＋(101－100)2＋„＋(99－ 7
1 平均值： x2 ＝ 7 (110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝ 100， 方差：s22＝ 100)2]≈228.57. ∵ x1 ＝ x2 ，s12<s22，∴甲车间产品稳定． 1 [(110－100)2＋(115－100)2＋„＋(110－ 7


重点难点 重点：用样本的频率分布估计总体分布；用 样本的数字特征估计总体的数字特征． 难点：频率分布直方图的理解和应用．

知识归纳 1．编制频率分布直方图的步骤如下： ①求极差：极差是一组数据的最大值与最小 值的差． ②决定组距和组数：当样本容量不超过100时，常分
极差 成5～12组．组距＝ . 组数


(1)画出A、B的茎叶图； (2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量 稳定性进行比较，写出统计结论．

[解析]
(1)


(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本 数不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅 清晰明了的展示了数据的分布情况，便于比 较，没有任何信息损失，而且还可以随时记 录新的数据． (3)通过观察茎叶图可以看出：品种B的亩产 量集中在383～416之间，而品种A的亩产量 则较分散，故可就亩产量的稳定性得出结论： B品种较稳定.

分析：系统抽样又称等距抽样，从传送带上 每隔30min抽取一包产品符合等距抽样的特 征；又样本数据都是两位数或三位数，故取 十位，百位为茎，个位为叶，制作茎叶图； 比较两个车间生产的产品的稳定性可通过计 算方差作出判断．


解析：(1)因为间隔时间相同，故是系统抽 样． (2)茎叶图如下：
(3)甲车间： 1 平均值： x1 ＝ 7 (102＋101＋99＋98＋103＋98＋99) ＝100，
a4 得d＝－5.∴b＝a4＋a5＋a6＋a7＝78，a＝100＝0.27.

[例2] (09·江苏)某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每 人投10次，投中的次数如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号 7 7 8 7 甲班 6 7 6 7 9 乙班 6 则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝ ________.

点评：也可以先求各小组的频数解答如下： 设第i组的频数为ai(i＝1,2，„，9)，
a1 由图知 ＝0.1，∴a1＝1.同理a2＝3. 100×0.1 ∵前4组频数成等比数列，∴a3＝9，a4＝27. 又后6组频数成等差数列，设公差d，
a ＝27 4 则 a4＋a5＋„＋a9＝100－1＋3＋9
1 解析： x 甲＝ (10.05＋10.02＋9.97＋9.96＋10.00)＝10. 5 1 s甲 ＝ 4 [(10.05－10)2＋(10.02－10)2＋(9.97－10)2＋
2
2 ∴s甲 <s乙 ，∴方差中较小的一个为s甲 ，∴s ＝5. 2 答案：5
2 2 2 2

点评：(1)如果注意观察两组数据可以发现， 前两个数据相同，后三个数据，甲班更接近， 故方差较小，可不必计算乙班的方差．
1 (2)注意样本方差的两个计算公式s ＝ n
2
(xi－
i＝1
n
1 n 2 －2 －) 和s ＝ x i － x 各自的适用条件，灵活选用公式 x n i＝1
⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段
对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该 频率 组的 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好 组距 是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图．

在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组 距”，数据落在各小组内的频率用小矩形的 面积表示，各小矩形的面积总和等于1.



[例1] (09·湖北)如图是样本容量为200的频 率分布直方图．根据样本的频率分布直方图 估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ________，数据落在[2,10)内的概率约为 ________． 解析：200×(0.08×4)＝64； (0.02＋0.08)×4＝0.4. 答案：64；0.4

A．0.27,78 C．2.7,78
B．0.27,83 D．2.7,83
解析：由直方图可知，前4组的公比为3，最大频率a ＝0.1×33×0.1＝0.27，设后6组的频数公差为d，则1－ 5×6 (0.01＋0.03＋0.09)＝0.27×6＋ 2 d，




解得：d＝－0.05，∴后6组的频数公差为－ 0.05， 所以视力在4.6到5.0之间的学生数为 (0.27＋0.22＋0.17＋0.12)×100＝78人． 答案：A


解析：(80－70)×0.01×200＝20. 答案：C

(理)为了解某校高三学生的视力情况，随机 地抽查了该校100名高三学生的视力情况， 得到频率分布直方图如下图；由于不慎将部 分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数 列，后6组的频数成等差数列，设最大频率 为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则 a、b的值分别为( )

解题技巧


1．样本频率直方图与样本的数字特征．
在频率分布直方图中，平均数的估计值等于
频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小
矩形底边中点的横坐标之和；中位数的估计
值，应使中位数左右两边的直方图面积相等；
最高小长方形的中点所对应的数据值即为这
组数据的众数．

2．方差是刻画一组数据离散程度的量，方

答案：B


[例3] 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料， 在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产 品，称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种？ (2)将这两组数据用茎叶图表示； (3)将两组数据比较，说明哪个车间产品较 稳定．


A.83 C．85
B．84 D．86
解析：去掉最高分93分，最低分79分，所剩数据的 －＝80＋1(4＋4＋6＋4＋7)＝85. 平均数为 x 5

答案：C



(理)(09·安徽)某良种培育基地正在培育一种 小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所 得亩产数据(单位：千克)如下： 品种A： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405 ,412,414,415,421,423,423,427,430,430,43 4,443,445,445,451,454 品种B：3 63,371,374,383,385,386,391,392,394,394, 395,397,397,400,401,401,403,406,407,410 ,412,415,416,422,430

分析：所给数据都是一位数，且比较集中，因此使 1 用方差的两个计算公式都可以，但用公式S ＝ n
2
(xi－
i＝1
n
－)2计算更简便． x
解析：－甲＝7， x 1 2 2 2 2 2 2 s甲 ＝5(1 ＋0 ＋0 ＋1 ＋0 )＝5，
2
－乙＝7， x 1 2 6 2 2 2 2 s乙 ＝5(1 ＋0 ＋1 ＋0 ＋2 )＝5，
2 2
以减少计算量．




(2010·山东文)在某项体育比赛中，七位裁 判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的平均值和方差分别为( ) A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8
解析：去掉最低分89，最高分95，然后各减去90 3＋4＋3＋0＋0 得，0,0,3,4,3.∵ ＝2，∴平均数为92，方差 5 2－02＋2－02＋2－32＋2－42＋2－32 为 ＝2.8，选 5 B.

(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个
数所得的商就是平均数．

(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的
顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最
中间的一个数是这组数据的中位数；当数据
有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，
是这组数据的中位数．

(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几

(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的 中点所对应的数据值即为这组数据的众 数．而在频率分布直方图上的中位数左右两 侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其 近似值．平均数的估计值等于频率分布直方 图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和．


点评：1.依据频率分布直方图计算时要牢记， 纵轴为频率/组距，小矩形的面积才表示频 率． 2．可以用样本的频率估计概率．


(文)(2010·广东玉湖中学)200辆汽车经过某 一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示， 则时速超过70km/h的汽车数量为( ) A．1辆 B．10辆 C．20辆 D．70辆

点评：从茎叶图可看出，甲车间产品重量主 要集中在98～103之间，而乙车间产品重量 分布则较分散，故不计算方差也可直观作出 判断：甲车间产品较稳定．

(文)(2010·湖南省湘潭市)下图是2009年央 视挑战主持人大赛中，7位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和 一个最低分后，所剩数据的平均数为 ( )


[例4] 要加工一圆形零件，按图纸要求，直 径为10 mm，现在由甲、乙两人加工此种零 件，在他们的产品中各抽5件测得直径如下： 甲：10.05 10.02 9.97 9.96 10.00 乙：10.00 10.01 10.02 9.97 10.00 问甲、乙两人谁生产的零件较好？ 分析：通过计算两组数据的和s2，然后加以 比较，再作出判断．
5．方差、标准差 (1)设样本数据为x1，x2，„，xn样本平均数为－，则s2 x 1 － )2＋(x2－ － )2＋„＋(xn－－ )2]＝ 1 [(x12＋x22＋„ ＝ n [(x1－ x x x n ＋xn2)－n x 2]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的 波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．


2．频率分布折线图 (1)把频率分布直方图各个长方形上边的中 点用线段连接起来，就得到频率分布折线 图． (2)总体密度曲线 如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩 小，则频率分布直方图实际上越来越接近于 总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f(x) 来描绘，这条光滑的曲线就叫总体密度曲 线．