高三物理第5讲 综合考法(二) 力学中的多过程问题
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④
代入题给数据 vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2
有 t2－24t＋108＝0
⑤
解得：t1＝6 s，t2＝18 s
⑥
t2＝18 s 不合题意，舍去。因此，B 车加速行驶的时间为 6 s。
答案：6 s
考法二 动力学中的多过程问题
动力学中的多过程问题有单物体多过程和多物体多过程问题，物体在 不同的过程受力不同，物体的运动规律往往也不同。因此，解题过程中应将 受力分析和运动分析相结合，借助牛顿第二定律将受力与运动联系起来。该 类问题的考查难度往往较大，多在中等偏上。
[练通练透] 题点 1 单个物体的多过程运动 1．教练员在指导运动员进行训练时，经常采用“25 米往返跑”来训练运动员的体
能，“25 米往返跑”的成绩反映了人体的灵敏素质。测定时，在平直跑道上， 运动员以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑 向正前方 25 米处的折返线，教练员同时开始计时。运动员到达折返线处时，用 手触摸折返线处的物体(如木箱)，再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终 点线的垂直面时，教练员停表，所用时间即为“25 米往返跑”的成绩。设某运 动员起跑的加速度为 4 m/s2，运动过程中的最大速度为 8 m/s，快到达折返线处 时需减速到零，减速的加速度大小为 8 m/s2，返回时达到最大速度后不需减速， 保持最大速度冲线。求该运动员“25 米往返跑”的成绩为多少秒？
[解析] 法一：分三段运用位移公式和速度公式列式 A→B 过程：x1＝12a1t2， v1＝a1t B→C 过程：x2＝v1t′－12a2t′2，0＝v1－a2t′ C→A 过程：x1＋x2＝12a2(t－t′)2，v2＝a2(t－t′) 由以上六个方程可解得：aa12＝13，vv12＝12。
法二：分两段运用位移和速度公式列式
解析：设 A 车的速度为 vA，B 车加速行驶时间为 t，两车在 t0 时相遇，则有
sA＝vAt0
①
sB＝vBt＋12at2＋(vB＋at)(t0－t)
②
式中，t0＝12 s，sA、sB 分别为 A、B 两车相遇前行驶的路程。依题意有 sA＝
sB＋s
③
式中 s＝84 m。由①②③式得
t2－2t0t＋2[vA－avBt0－s]＝0
B→C 与 C→A 过程加速度相同，即图中直线 BC 与直线 CA 斜率相同，
可得tv′1 ＝t－vt2′
由以上两式可解得 t′＝13t，vv12＝12
a1、a2 的大小分别对应图中直线 OB 的斜率与直线 BC 的斜率，易得：aa12＝
v1
t v1
＝t′t ＝13。
t′
法四：平均速度法
取向右方向为正。
题点 1 单物体多过程问题 [例 1] (2020·信阳质检)如图所示，将质量 m＝1 kg 的
圆环套在固定的倾斜足够长的直杆上，杆的倾角为 30°，环 的直径略大于杆的截面直径。对环施加一位于竖直平面内斜 向上与杆夹角为 30°的拉力 F＝10 3 N，使圆环由静止开始沿杆加速向上运动， 已知环与杆间动摩擦因数 μ＝ 23。求：(g 取 10 m/s2)
取向右方向为正。
A→B 过程：x1＝12a1t2，v1＝a1t
B→C→A 过程：－x1＝v1t－12a2t2，－v2＝v1－a2t
由以上四个方程解得：aa12＝13，vv12＝12。 法三：图像法 画出 v-t 图像如图所示，由 A→B→C 过程的位移与 C→A 过程的位移大 小相等， 即图中 S△OBC＝S△AQC 得v21(t＋t′)＝v22(t－t′)
答案：8.75 s
题点 2 多物体相关联的多过程运动 2．A、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当 B 车在 A 车前 84 m 处时，B
车速度为 4 m/s，且正以 2 m/s2 的加速度做匀加速运动；经过一段时间后， B 车加速度突然变为零，A 车一直以 20 m/s 的速度做匀速运动。经过 12 s 后两车相遇。问 B 车加速行驶的时间是多少？
A→B 过程：x1＝v21t，v1＝a1t B→C→A 过程：－x1＝－v22＋v1t，－v2＝v1－a2t
由以上四个方程解得：aa12＝13，vv12＝12。
[答案]
1 (1)3
1 (2)2
[方法规律] 直线运动中的多过程问题，一般是根据加速度的变化将整个过程分为若 干个子过程，各子过程交接处的速度往往是联系各过程的纽带。比较例题中 的四种解法，可以得出以下两点： (1)平均速度解法最简捷，图像法更直观。 (2)除时间这个物理量外，其他物理量均为矢量，在有往返的运动中，必须明 确规定正方向。
第5讲 综合考法(二) 力学中的多过程问题
考法一 运动学中的多过程问题 运动学中的多过程问题往往是物体按照时间的先后顺序参与多个阶段的 运动，各阶段的运动规律一般不同，多为匀加速直线运动、匀速直线运动、 匀减速直线运动，以考查学生分析问题、解决问题的能力，试题难度中等。
[典例] 在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力F1推这一物体， 作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力F2推这一物体，当恒力F2作用时 间与恒力F1作用时间相同时，物体恰好回到原处。求：
解析：对运动员，由起点终点线向折返线运动的过程中加速阶段 t1＝vam1 ＝2 s。 位移 x1＝12vmt1＝12×8×2 m＝8 m。 减速阶段 t3＝vam2 ＝1 s，位移 x3＝12vmt3＝12×8×1 m＝4 m。 匀速阶段 t2＝x－xv1m＋x3＝1.625 s。 由折返线向起点终点线运动的过程中， 加速阶段 t4＝vam1 ＝2 s；位移 x4＝12vmt4＝12×8×2 m＝8 m。 匀速阶段 t5＝x－vmx4＝2.125 s。 运动员“25 米往返跑”的成绩为 t＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5＝8.75 s。
(1)恒力F1作用过程中物体的加速度a1与恒力F2作用过程中物体的加速度a2 之比。
(2)恒力F1作用过程中物体的末速度v1与恒力F2作用过程中物体的末速度 v2之比。
[解题指导] (1)恒力 F1 作用过程中物体做初速度为零的匀加速直线运动。 (2)因地面光滑，F2 作用的整个过程中物体的加速度恒定不变。 (3)F1 与 F2 作用时间相等，且两个过程的位移大小相等。
④
代入题给数据 vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2
有 t2－24t＋108＝0
⑤
解得：t1＝6 s，t2＝18 s
⑥
t2＝18 s 不合题意，舍去。因此，B 车加速行驶的时间为 6 s。
答案：6 s
考法二 动力学中的多过程问题
动力学中的多过程问题有单物体多过程和多物体多过程问题，物体在 不同的过程受力不同，物体的运动规律往往也不同。因此，解题过程中应将 受力分析和运动分析相结合，借助牛顿第二定律将受力与运动联系起来。该 类问题的考查难度往往较大，多在中等偏上。
[练通练透] 题点 1 单个物体的多过程运动 1．教练员在指导运动员进行训练时，经常采用“25 米往返跑”来训练运动员的体
能，“25 米往返跑”的成绩反映了人体的灵敏素质。测定时，在平直跑道上， 运动员以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑 向正前方 25 米处的折返线，教练员同时开始计时。运动员到达折返线处时，用 手触摸折返线处的物体(如木箱)，再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终 点线的垂直面时，教练员停表，所用时间即为“25 米往返跑”的成绩。设某运 动员起跑的加速度为 4 m/s2，运动过程中的最大速度为 8 m/s，快到达折返线处 时需减速到零，减速的加速度大小为 8 m/s2，返回时达到最大速度后不需减速， 保持最大速度冲线。求该运动员“25 米往返跑”的成绩为多少秒？
[解析] 法一：分三段运用位移公式和速度公式列式 A→B 过程：x1＝12a1t2， v1＝a1t B→C 过程：x2＝v1t′－12a2t′2，0＝v1－a2t′ C→A 过程：x1＋x2＝12a2(t－t′)2，v2＝a2(t－t′) 由以上六个方程可解得：aa12＝13，vv12＝12。
法二：分两段运用位移和速度公式列式
解析：设 A 车的速度为 vA，B 车加速行驶时间为 t，两车在 t0 时相遇，则有
sA＝vAt0
①
sB＝vBt＋12at2＋(vB＋at)(t0－t)
②
式中，t0＝12 s，sA、sB 分别为 A、B 两车相遇前行驶的路程。依题意有 sA＝
sB＋s
③
式中 s＝84 m。由①②③式得
t2－2t0t＋2[vA－avBt0－s]＝0
B→C 与 C→A 过程加速度相同，即图中直线 BC 与直线 CA 斜率相同，
可得tv′1 ＝t－vt2′
由以上两式可解得 t′＝13t，vv12＝12
a1、a2 的大小分别对应图中直线 OB 的斜率与直线 BC 的斜率，易得：aa12＝
v1
t v1
＝t′t ＝13。
t′
法四：平均速度法
取向右方向为正。
题点 1 单物体多过程问题 [例 1] (2020·信阳质检)如图所示，将质量 m＝1 kg 的
圆环套在固定的倾斜足够长的直杆上，杆的倾角为 30°，环 的直径略大于杆的截面直径。对环施加一位于竖直平面内斜 向上与杆夹角为 30°的拉力 F＝10 3 N，使圆环由静止开始沿杆加速向上运动， 已知环与杆间动摩擦因数 μ＝ 23。求：(g 取 10 m/s2)
取向右方向为正。
A→B 过程：x1＝12a1t2，v1＝a1t
B→C→A 过程：－x1＝v1t－12a2t2，－v2＝v1－a2t
由以上四个方程解得：aa12＝13，vv12＝12。 法三：图像法 画出 v-t 图像如图所示，由 A→B→C 过程的位移与 C→A 过程的位移大 小相等， 即图中 S△OBC＝S△AQC 得v21(t＋t′)＝v22(t－t′)
答案：8.75 s
题点 2 多物体相关联的多过程运动 2．A、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当 B 车在 A 车前 84 m 处时，B
车速度为 4 m/s，且正以 2 m/s2 的加速度做匀加速运动；经过一段时间后， B 车加速度突然变为零，A 车一直以 20 m/s 的速度做匀速运动。经过 12 s 后两车相遇。问 B 车加速行驶的时间是多少？
A→B 过程：x1＝v21t，v1＝a1t B→C→A 过程：－x1＝－v22＋v1t，－v2＝v1－a2t
由以上四个方程解得：aa12＝13，vv12＝12。
[答案]
1 (1)3
1 (2)2
[方法规律] 直线运动中的多过程问题，一般是根据加速度的变化将整个过程分为若 干个子过程，各子过程交接处的速度往往是联系各过程的纽带。比较例题中 的四种解法，可以得出以下两点： (1)平均速度解法最简捷，图像法更直观。 (2)除时间这个物理量外，其他物理量均为矢量，在有往返的运动中，必须明 确规定正方向。
第5讲 综合考法(二) 力学中的多过程问题
考法一 运动学中的多过程问题 运动学中的多过程问题往往是物体按照时间的先后顺序参与多个阶段的 运动，各阶段的运动规律一般不同，多为匀加速直线运动、匀速直线运动、 匀减速直线运动，以考查学生分析问题、解决问题的能力，试题难度中等。
[典例] 在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力F1推这一物体， 作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力F2推这一物体，当恒力F2作用时 间与恒力F1作用时间相同时，物体恰好回到原处。求：
解析：对运动员，由起点终点线向折返线运动的过程中加速阶段 t1＝vam1 ＝2 s。 位移 x1＝12vmt1＝12×8×2 m＝8 m。 减速阶段 t3＝vam2 ＝1 s，位移 x3＝12vmt3＝12×8×1 m＝4 m。 匀速阶段 t2＝x－xv1m＋x3＝1.625 s。 由折返线向起点终点线运动的过程中， 加速阶段 t4＝vam1 ＝2 s；位移 x4＝12vmt4＝12×8×2 m＝8 m。 匀速阶段 t5＝x－vmx4＝2.125 s。 运动员“25 米往返跑”的成绩为 t＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5＝8.75 s。
(1)恒力F1作用过程中物体的加速度a1与恒力F2作用过程中物体的加速度a2 之比。
(2)恒力F1作用过程中物体的末速度v1与恒力F2作用过程中物体的末速度 v2之比。
[解题指导] (1)恒力 F1 作用过程中物体做初速度为零的匀加速直线运动。 (2)因地面光滑，F2 作用的整个过程中物体的加速度恒定不变。 (3)F1 与 F2 作用时间相等，且两个过程的位移大小相等。