果树干周生长模型的研究
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第 36 卷第 8 期 2006 年 8 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY
V ol. 36 N o. 8 A ugust, 2006
应 用
果树干周生长模型的研究
金开正, 刘茂泉 , 唐俊泓
( 浙江省杭州万向职业技术学院 , 浙江 杭州 310023)
摘要 : 生 长模 型 是定 量 研究 果 树干 周生 长 过程 的 有 效手 段 . 果 树干 周 生长 规 律 常用 L ogist ic 方 程、
三参数和四参数的 Richards 方 程、 三角函数方程来模拟 . 本文首次用拟 W eib ull 方程模拟 M it scherlich 方程、 果树干周的生长规律 , 结果 表明 , Weibull 方程达到了与果树干周最佳拟合 的效果 , 同时 , 本文方法可先 给定 由实际情况 ( 如立 地条件等 ) 所确定的干周生长的最大值 , 这使得在 研究中可以更好地预测果树将来的 干周 增长 . 另外 , 考虑到因实际情 况所造成的初始干周不同这种普遍现象及其 引起的生长过程的差异 , 本文 直接 引入与单株树体有关的基准干周作为参数 , 建立了与实际生长情况相结合的干周生长模型 , 获 得了满意的结 果.
关键词 : 果树 ; 干周生长 ; 模型
0 引 言
果树干周 ( 即地上 20cm 处树干的周长 ) 是衡量果树生长势、 整齐度、 生态适应性、 地上部 和地下部相关性的主要生物学指标, 同时也是果树疏花蔬果、 合理受果和整形修剪的重要依 据 . 生长模型是定量研究果树干周生长过程的一种有效手段 , 它既可对果树生长做出现实 的评价 , 也可用来预估将来各影响因子的变化对果树生长的作用, 同时也是果树生产经营中 各种栽培措施实施的依据 . 关于果树干周生长模型的研究 , 人们已进行了一些工作 [ 1] , 这些 工作在拟合红富士干周生长规律中取得了较好效果 , 对果树业生产有着重要的指导意义. 为 进一步探讨数学模型在果树干周生长规律研究中的应用 , 本文以红富士为例 , 着重于果树干 周生长模型进一步的研究和探讨 , 旨在建立一个符合干周生长具有饱和增长趋势特征 , 并且 拟合精度很高的果树干周生长规律的数学模型 , 为研究果树干周生长规律提供一种新的途 径.
[ 1]
1 研究方法
果树干周生长模型一般分为经验方程和理论方程, 本文着重理论方程的研究 . 果树干 周生长理论方程常用的有: 1) L ogistic 方程 L= 2) M it scher lich 方程 L = K ( 1 - ae - bt )
收稿日期 : 2002-04-09
K - bt 1 + ae
( 1)
( 2)
8期
金开正 , 等 : 果树干周生长模型的研究
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3) 三参数 Richards 方程 L = K ( 1 - e - bt ) 4) 四参数 Richards 方程 L = K ( 1 - ae - bt ) 5) Weibull 方程 L = K ( 1 - ae 6) 三角函数方程 L = L 0 + at - bt ar ctg ( t) + b / 2 ln( 1 +
2 2 - bt
( 3) ( 4) ) t) ( 5) ( 6)
在方程 ( 1) — ( 5) 式中, L 为果树干周, t 为树龄, K 、 a、 b、 均为待定的参数 . 方程 ( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 作为理论方程 , 都是当 m 取不同的值时 , 由方程( 4) 推导而来的 , 这也是 Richar ds 方程更 一 般的形式 . 同时由方程( 5) 也可推导出方程 ( 2) 和方程 ( 3) . 在方程 ( 4) 和方程 ( 5) 中, 当参 数 a 和 各取不同的值时 , 就可分别得到方程 ( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 和方程( 2) 、 ( 3) . 一般地 , 参数 K 为果树干周生长可达到的最大值 ; b 为增长速度因子 , 表示生长快慢 , b 越大则生长越快; a 和 无明确的生物学意义 , a 影响曲线在时间轴上的位置, 而 是曲线的形状参数, 影响曲线的 弯曲程度. 针对理论方程的实际应用情况 , 本文着重对人们尚未应用的理论方程— Weibul l 方程来模拟干周生长, 并与其它几个理论方程比较, 以探讨 Weibull 方程的适用性. 果树干周的大小受单株产量( 负荷量) 、 土壤有机质、 气象因子、 栽培措施等多种因素的 影响 . 但在一定立地条件和合理负荷量 ( 是指使树体健壮、 持续优质丰产, 基本无大小年现 象 , 结果率达 75% 以上的负荷量) 的前提下, 影响果树干周生长的主要因素是树龄 ( t ) [ 1] . 根 据果树干周生长的生物学特性, 其干周 L 的增长速度 L ′ 至少应具有如下性质 L ′ 0, lim L′ t →∞ = 0. 由模型( 5) , 我们不妨假定果树干周增长速度 L ′ = cb t t 0 时, 有 : cb t
- 1 - bt - 1 - bt
e
, 当 c > 0, b > 0,
> 0,
e
L k
0, lim cb t t →∞ cb t ∫
0 t
- 1 - bt
e
= 0
若设 t = 0 时, L = k 0, 由积分式
∫
0
L′ dL =
- 1 - bt
e
d t 可得 : ( 7) ( 8)
L = k 0 + c - ce - bt 记 k = k 0 + c, a = c/ ( k 0 + c) , 则: L = k ( 1 - ae - bt ) 模型( 8) 称为 Weibull 曲线模型 .
当 c = 1 时, 曲线( 8) 的形状与 Weibull 分布的分布函数曲线正半轴上的那段相同, 因此把
2 模型参数的估计
在曲线模型 L = k ( 1 - a e - bt ) 中 , 当参数 k , 给定时, 作如下变换 : U = ln( 1 - L t / k ) , V = t , B 0 = ln a , B 1 = - b , 则 U 、 V 具有线性关系 : U = B 0 + B 1V , 用最小二乘法求 B 0 、 B1
n
的估计值, 从而得到 a、 b 的估计值 , 于是可算出 L , 以剩余平方和 Q ( k , ) =
t
∑( L
i= 1
ti
- L ti )
2
为目标函数 ( 其中 n 为样本容量 ) , 解非线性规划问题 NL P1 : min Q ( k , ) ( 其中 s = { ( k , ) ∈ ( k, ) ∈s R 2 k* 1 k k* 2 , 0<
1 * } , [ k* 1 , k 2 ] 是包含饱和水平 K 的初始不定区间, ( 0, 1] 是包含
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数 学 的 实 践 与 认 识
36 卷
参数 的初始不定区间 ) 得最优参数 k , , 再次用最小二乘法求 B 0 , B 1 , 从而得到另两参数 a , b . 对于模型( 4) 也作类似处理. 至于三参数模型( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) , 作类似处理时不同的是相应 的非线性规划问题决策变量是一个. 模 型拟 合 效果 用剩 余平 方和 ( Q ) 、 平均 绝对 误 差 ( MAE ) 和 平均 绝对 百分 比 误差 ( M APE ) 综合评价 , 其中 : Q= y ti - y ti ( y ti - y ti ) 2 ; MA E = 1 ∑ y ti - y ti ; M A PE = 1 ∑ . ∑ n i= 1 n i= 1 y ti i= 1
n n n
3 结果分析
为便于比较分析 , 本文采用程述汉等 红富士干周增长数据资料作为应用实例 . 根据 上述参数估计方法 , 经计算机拟合红富士干周生长方程分别为 : 1) L ogistic 方程 L = 69. 758 1 + 11. 5663e - 0. 3918681t ( 9)
[ 1]
( Q = 124. 4814; M A E = 2. 437; MA P E = 15. 35) 2) M it scher lich 方程 L = 123. 480( 1 - 0. 9882e ) ( Q = 4. 1241; MA E = 0. 382; M A P E = 4. 85) 3) 三参数 Richards 方程 L = 111. 797( 1 - e- 0. 067t ) 1. 009987 ( Q = 8. 0449; MA E = 0. 362; M A P E = 7. 35) 4) 四参数 Richards 方程 L = 99. 25( 1 - 0. 94961837e ) ( Q = 1. 5879; M A E = 0. 233; M A PE = 2. 396) 5) Weibull 方程 L = 97. 35( 1 - 0. 975568403e ) ( Q = 1. 4040; M A E = 0. 221; M A PE = 2. 180) 6) 三角函数方程 L = 1. 4679 + 6. 7609 t - 5. 2966tarct g ( 0. 06t) + 44. 1387ln( 1 + 0. 0036t 2) ( Q = 3. 6400; MA E = 0. 347; M A P E = 4. 671) 由剩余平方和、 平均绝对误差和平均绝对百分比误差可知, 以上方程除 L ogistic 方程以外 , 其余方程拟合效果均较理想 , 其中以 Weibull 方程最佳 . 因此, 在进行果树干周生长规律的 模拟时, 使用 L = k ( 1 - a e- bt ) 这种四个参数的 Weibull 方程效果更理 想. 同时, 四参数 Richards 方程的拟合效果明显地 优于程述汉等提 出的三角函数 方程. 由此看 出, 四参数 Richards 方程也同样适合于果树干周生长规律的描述, 这一结论与程述汉等提出的结论相 反. 在方程 ( 9) 、 ( 10) 和方程( 11) 中, 分别求得 K 为 69. 758 、 123. 480 和 111. 797, 它们代表了 用这三种模型拟合所得到的干周生长最大值, 但这三个值差别较大 , 这表明选择的具体模型 不同, 其结果会有所差异, 这给应用带来一些不便. 而在方程( 12) 和方程 ( 13) 中, 求得K 分别 ( 14)
- 0. 05884415t 1. 1287 - 0. 0913745t 1. 2576 - 0. 0562534t
( 10)
( 11)
( 12)
( 13)
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金开正 , 等 : 果树干周生长模型的研究
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为 99. 25、 97. 35, 差异较小. 因而用方程( 12) 和方程( 13) 就能较好地解决这个问题 , 因其是用 四个参数拟合得到的, 可以事先给定一个合适的 K 值 , 这样模拟的结果也会很满意 ( 限于篇 幅 , 不再单独列出模拟过程和结果) . 事实上, 果树干周生长往往与立地条件有关 , 我们可以根据预先知道的立地条件或在此 立地条件上果树干周生长可达到的最大值给出K 值的范围. 但在相同的立地条件下, 由于种 种原因 , 干周生长过程一般是有差异的, 如是, 选定某一树龄干周作为模型中的参数, 建立这 样一种干周生长的方程就有其必要并且是可能的. 为此 , 将红富士干周数据 ( 考虑到果树生 长的周期较短 ) 整理成间隔为 1 年 , 用 L i + 1 对 L i 进行直线回归 , 可得方程 : L i + 1 = 0. 952204205 L i + 6. 382193836 ( Q = 6. 7928; MA E = 0. 444; MA P E = 3. 287; r = 0. 999) 式中, L i + 1 系树龄为 1- 14 年时红富士干周值 , L i 系树龄为 0—13 年时干周值 . 用方程 ( 15) 的优点在于基准树干周不同时 , 实际生长过程的差异也可以反映出来 , 就某一棵具体的树 体而言 , 使用该方程更符合干周生长的实际情况. 但需要注意的是, 作为反映生物生长过程 1 1 常用的“ 型曲线 , 一般具有 与 成线性关系的性质 . 其中 y 是指与时间有关的生物生 S” y i+ 1 yi 长的现存值. 因此 , 该方程是有其理论根据的. ( 15)
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY
V ol. 36 N o. 8 A ugust, 2006
应 用
果树干周生长模型的研究
金开正, 刘茂泉 , 唐俊泓
( 浙江省杭州万向职业技术学院 , 浙江 杭州 310023)
摘要 : 生 长模 型 是定 量 研究 果 树干 周生 长 过程 的 有 效手 段 . 果 树干 周 生长 规 律 常用 L ogist ic 方 程、
三参数和四参数的 Richards 方 程、 三角函数方程来模拟 . 本文首次用拟 W eib ull 方程模拟 M it scherlich 方程、 果树干周的生长规律 , 结果 表明 , Weibull 方程达到了与果树干周最佳拟合 的效果 , 同时 , 本文方法可先 给定 由实际情况 ( 如立 地条件等 ) 所确定的干周生长的最大值 , 这使得在 研究中可以更好地预测果树将来的 干周 增长 . 另外 , 考虑到因实际情 况所造成的初始干周不同这种普遍现象及其 引起的生长过程的差异 , 本文 直接 引入与单株树体有关的基准干周作为参数 , 建立了与实际生长情况相结合的干周生长模型 , 获 得了满意的结 果.
关键词 : 果树 ; 干周生长 ; 模型
0 引 言
果树干周 ( 即地上 20cm 处树干的周长 ) 是衡量果树生长势、 整齐度、 生态适应性、 地上部 和地下部相关性的主要生物学指标, 同时也是果树疏花蔬果、 合理受果和整形修剪的重要依 据 . 生长模型是定量研究果树干周生长过程的一种有效手段 , 它既可对果树生长做出现实 的评价 , 也可用来预估将来各影响因子的变化对果树生长的作用, 同时也是果树生产经营中 各种栽培措施实施的依据 . 关于果树干周生长模型的研究 , 人们已进行了一些工作 [ 1] , 这些 工作在拟合红富士干周生长规律中取得了较好效果 , 对果树业生产有着重要的指导意义. 为 进一步探讨数学模型在果树干周生长规律研究中的应用 , 本文以红富士为例 , 着重于果树干 周生长模型进一步的研究和探讨 , 旨在建立一个符合干周生长具有饱和增长趋势特征 , 并且 拟合精度很高的果树干周生长规律的数学模型 , 为研究果树干周生长规律提供一种新的途 径.
[ 1]
1 研究方法
果树干周生长模型一般分为经验方程和理论方程, 本文着重理论方程的研究 . 果树干 周生长理论方程常用的有: 1) L ogistic 方程 L= 2) M it scher lich 方程 L = K ( 1 - ae - bt )
收稿日期 : 2002-04-09
K - bt 1 + ae
( 1)
( 2)
8期
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3) 三参数 Richards 方程 L = K ( 1 - e - bt ) 4) 四参数 Richards 方程 L = K ( 1 - ae - bt ) 5) Weibull 方程 L = K ( 1 - ae 6) 三角函数方程 L = L 0 + at - bt ar ctg ( t) + b / 2 ln( 1 +
2 2 - bt
( 3) ( 4) ) t) ( 5) ( 6)
在方程 ( 1) — ( 5) 式中, L 为果树干周, t 为树龄, K 、 a、 b、 均为待定的参数 . 方程 ( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 作为理论方程 , 都是当 m 取不同的值时 , 由方程( 4) 推导而来的 , 这也是 Richar ds 方程更 一 般的形式 . 同时由方程( 5) 也可推导出方程 ( 2) 和方程 ( 3) . 在方程 ( 4) 和方程 ( 5) 中, 当参 数 a 和 各取不同的值时 , 就可分别得到方程 ( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 和方程( 2) 、 ( 3) . 一般地 , 参数 K 为果树干周生长可达到的最大值 ; b 为增长速度因子 , 表示生长快慢 , b 越大则生长越快; a 和 无明确的生物学意义 , a 影响曲线在时间轴上的位置, 而 是曲线的形状参数, 影响曲线的 弯曲程度. 针对理论方程的实际应用情况 , 本文着重对人们尚未应用的理论方程— Weibul l 方程来模拟干周生长, 并与其它几个理论方程比较, 以探讨 Weibull 方程的适用性. 果树干周的大小受单株产量( 负荷量) 、 土壤有机质、 气象因子、 栽培措施等多种因素的 影响 . 但在一定立地条件和合理负荷量 ( 是指使树体健壮、 持续优质丰产, 基本无大小年现 象 , 结果率达 75% 以上的负荷量) 的前提下, 影响果树干周生长的主要因素是树龄 ( t ) [ 1] . 根 据果树干周生长的生物学特性, 其干周 L 的增长速度 L ′ 至少应具有如下性质 L ′ 0, lim L′ t →∞ = 0. 由模型( 5) , 我们不妨假定果树干周增长速度 L ′ = cb t t 0 时, 有 : cb t
- 1 - bt - 1 - bt
e
, 当 c > 0, b > 0,
> 0,
e
L k
0, lim cb t t →∞ cb t ∫
0 t
- 1 - bt
e
= 0
若设 t = 0 时, L = k 0, 由积分式
∫
0
L′ dL =
- 1 - bt
e
d t 可得 : ( 7) ( 8)
L = k 0 + c - ce - bt 记 k = k 0 + c, a = c/ ( k 0 + c) , 则: L = k ( 1 - ae - bt ) 模型( 8) 称为 Weibull 曲线模型 .
当 c = 1 时, 曲线( 8) 的形状与 Weibull 分布的分布函数曲线正半轴上的那段相同, 因此把
2 模型参数的估计
在曲线模型 L = k ( 1 - a e - bt ) 中 , 当参数 k , 给定时, 作如下变换 : U = ln( 1 - L t / k ) , V = t , B 0 = ln a , B 1 = - b , 则 U 、 V 具有线性关系 : U = B 0 + B 1V , 用最小二乘法求 B 0 、 B1
n
的估计值, 从而得到 a、 b 的估计值 , 于是可算出 L , 以剩余平方和 Q ( k , ) =
t
∑( L
i= 1
ti
- L ti )
2
为目标函数 ( 其中 n 为样本容量 ) , 解非线性规划问题 NL P1 : min Q ( k , ) ( 其中 s = { ( k , ) ∈ ( k, ) ∈s R 2 k* 1 k k* 2 , 0<
1 * } , [ k* 1 , k 2 ] 是包含饱和水平 K 的初始不定区间, ( 0, 1] 是包含
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数 学 的 实 践 与 认 识
36 卷
参数 的初始不定区间 ) 得最优参数 k , , 再次用最小二乘法求 B 0 , B 1 , 从而得到另两参数 a , b . 对于模型( 4) 也作类似处理. 至于三参数模型( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) , 作类似处理时不同的是相应 的非线性规划问题决策变量是一个. 模 型拟 合 效果 用剩 余平 方和 ( Q ) 、 平均 绝对 误 差 ( MAE ) 和 平均 绝对 百分 比 误差 ( M APE ) 综合评价 , 其中 : Q= y ti - y ti ( y ti - y ti ) 2 ; MA E = 1 ∑ y ti - y ti ; M A PE = 1 ∑ . ∑ n i= 1 n i= 1 y ti i= 1
n n n
3 结果分析
为便于比较分析 , 本文采用程述汉等 红富士干周增长数据资料作为应用实例 . 根据 上述参数估计方法 , 经计算机拟合红富士干周生长方程分别为 : 1) L ogistic 方程 L = 69. 758 1 + 11. 5663e - 0. 3918681t ( 9)
[ 1]
( Q = 124. 4814; M A E = 2. 437; MA P E = 15. 35) 2) M it scher lich 方程 L = 123. 480( 1 - 0. 9882e ) ( Q = 4. 1241; MA E = 0. 382; M A P E = 4. 85) 3) 三参数 Richards 方程 L = 111. 797( 1 - e- 0. 067t ) 1. 009987 ( Q = 8. 0449; MA E = 0. 362; M A P E = 7. 35) 4) 四参数 Richards 方程 L = 99. 25( 1 - 0. 94961837e ) ( Q = 1. 5879; M A E = 0. 233; M A PE = 2. 396) 5) Weibull 方程 L = 97. 35( 1 - 0. 975568403e ) ( Q = 1. 4040; M A E = 0. 221; M A PE = 2. 180) 6) 三角函数方程 L = 1. 4679 + 6. 7609 t - 5. 2966tarct g ( 0. 06t) + 44. 1387ln( 1 + 0. 0036t 2) ( Q = 3. 6400; MA E = 0. 347; M A P E = 4. 671) 由剩余平方和、 平均绝对误差和平均绝对百分比误差可知, 以上方程除 L ogistic 方程以外 , 其余方程拟合效果均较理想 , 其中以 Weibull 方程最佳 . 因此, 在进行果树干周生长规律的 模拟时, 使用 L = k ( 1 - a e- bt ) 这种四个参数的 Weibull 方程效果更理 想. 同时, 四参数 Richards 方程的拟合效果明显地 优于程述汉等提 出的三角函数 方程. 由此看 出, 四参数 Richards 方程也同样适合于果树干周生长规律的描述, 这一结论与程述汉等提出的结论相 反. 在方程 ( 9) 、 ( 10) 和方程( 11) 中, 分别求得 K 为 69. 758 、 123. 480 和 111. 797, 它们代表了 用这三种模型拟合所得到的干周生长最大值, 但这三个值差别较大 , 这表明选择的具体模型 不同, 其结果会有所差异, 这给应用带来一些不便. 而在方程( 12) 和方程 ( 13) 中, 求得K 分别 ( 14)
- 0. 05884415t 1. 1287 - 0. 0913745t 1. 2576 - 0. 0562534t
( 10)
( 11)
( 12)
( 13)
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为 99. 25、 97. 35, 差异较小. 因而用方程( 12) 和方程( 13) 就能较好地解决这个问题 , 因其是用 四个参数拟合得到的, 可以事先给定一个合适的 K 值 , 这样模拟的结果也会很满意 ( 限于篇 幅 , 不再单独列出模拟过程和结果) . 事实上, 果树干周生长往往与立地条件有关 , 我们可以根据预先知道的立地条件或在此 立地条件上果树干周生长可达到的最大值给出K 值的范围. 但在相同的立地条件下, 由于种 种原因 , 干周生长过程一般是有差异的, 如是, 选定某一树龄干周作为模型中的参数, 建立这 样一种干周生长的方程就有其必要并且是可能的. 为此 , 将红富士干周数据 ( 考虑到果树生 长的周期较短 ) 整理成间隔为 1 年 , 用 L i + 1 对 L i 进行直线回归 , 可得方程 : L i + 1 = 0. 952204205 L i + 6. 382193836 ( Q = 6. 7928; MA E = 0. 444; MA P E = 3. 287; r = 0. 999) 式中, L i + 1 系树龄为 1- 14 年时红富士干周值 , L i 系树龄为 0—13 年时干周值 . 用方程 ( 15) 的优点在于基准树干周不同时 , 实际生长过程的差异也可以反映出来 , 就某一棵具体的树 体而言 , 使用该方程更符合干周生长的实际情况. 但需要注意的是, 作为反映生物生长过程 1 1 常用的“ 型曲线 , 一般具有 与 成线性关系的性质 . 其中 y 是指与时间有关的生物生 S” y i+ 1 yi 长的现存值. 因此 , 该方程是有其理论根据的. ( 15)