单调有界数列极限存在准则

与xn+1比较，导出单调增加
适当放大，导出有界性

极限存在
1 yn (1 ) n 1 单减 n
记号
1 n e lim(1 ) n n
1 1 1 n 1 1 例 xn 1 (1) 2 3 4 n
试证 { xn }
有极限 （不是单调数列，考虑子列）
Chap 2.3
数列极限存在 的判别准则
2.3.1 夹逼准则

若 N , 当 n N , yn xn z n , 且 lim yn
lim z n A
n
lim xn A
n
n
注意
例
A =0 的情况
求下列数列的极限
n
10n (1) xn ; (2) xn n!
习题2 13 (1) (2) (3)* 14 15
2.3.2 单调有界数列极限存在准则

若数列{ xn } 单调增加且有上界，则 { xn } 有极限
这个数列的极限是哪个数？就找
想一想
到了证明方法
{ xn } 单调减少有下界也必有极限 例 考察 xn 2 2 2
2 xn (n 2), 例 设 x1 1, xn1 xn 1
（n重根号） 证{ xn }有极限且求之 Nhomakorabea
一个重要数列极限
1 n xn (1 ) , n
证明 (典型方法)
1 n 1 1 1 1 2 3 1 n xn (1 ) 1 Cn Cn 2 Cn 3 Cn n n n n n n
1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! n 3! n n n! n n n
1 1 1 考虑 xn 1 是否有极限 2 3 n
H.W
习题2 16（1）（2）
17 (1)(2)(4)
补充题 2*
本节要点

掌握夹逼准则 运用这一准则往往需要适当放大、缩小

了解单调有界判别准则并能适当应用这一准 则的习题有时偏难，需要证明单调和有界， 做一定数目的习题逐步熟悉过程才能掌握
1n 2 n 3n
( 3 ) xn
n
14 24 n 4
(4) xn
1 1 1 1 ( ) n n 1 n 2 n n
n 2 n
x n f n ( x) 例 x 0, f n ( x) 1 x ( ) , 求 lim n 2
H.W