抛物线中的一类直线过定点问题

则l AB: x 4亦过（4，0） 综上，l AB恒过定点（4 ，0）
y
A
o
B
直接 设直线方程
解：设 l AB: x my b , A（x1, y1）, B（x2, y2）
由x y
my 2 4x
b得：y 2
4my
4b
0
x
y1y2 4b ①
∵OA OB OA
OB
0
即x1 x2 y1 y2 0
x
OA OB
0
即
y12
y
2 2
16
y1 y2
0
y1 y2 16
（1）当y1
y2
0时，l AB:
y y1 y2 y1
x y12 4
y22 y12
即 y( y1 y2 ) y1 y2 4x
44
又 y1 y2 16 l AB（: y1 y2）y 4x 16 l AB过定点（4 , 0）
(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心
G的轨迹方程.
y
M
oA E
B
x
F
1. 直线过定点问题的一般求解方法
（1）建立直线方程 （2）利用已知条件，建立等量关系 （3）将所得关系式与直线方程联立后探求定点
2.圆锥曲线综合问题求解的基本思想方法
（1）合理设元 （2）构建恰当的关系式（将几何条件代数化） （3）灵活处理关系式（围绕目标）
又 x1
y12 4
, x2
y 22 4
，代入上式，得
y12
y
2 2
16
y1 y2
0
y1 y2 16
②
由①②得b 4代入x my b
得l AB: x my 4
l
恒过定点（
AB
4
，0 ）
y
A
o
B
设点 设而不求
解：设
A（
y12 4
，y1）
B（
y
2 2
4
，y2）（y1
y2）
∵ OA OB
∵ OA OB
b得：ky2 4b ① k OA OB
4y 4b 0 0 即x1 x2
y1
y2
0
又x1
y12 4
, x2
y22 4
（ y1
y
）2
2
16
y1
y2
0
y1 y2 16
②
由①②得： b 4k代入y kx b
直接
l AB: y kx 4k k（x 4）
设直线方程 直线AB过定点（4，0） （2）若直线AB斜率不存在，
点M( x0 , y0 ) ( y0 0 )作直线MA、MB交
抛物线于A、B两点，当 kMA 1 时，
k MB
直线AB 仍过定点吗？
直线AB的斜率为定值
江西高考题：如图，M是抛物线上 y 2 x 的一点，
动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
课后思考：
1.本节课中所得各结论的逆命题 是否成立？ 2.本节课中所得各结论能否推广 到圆锥曲线中的椭圆？
作业: 山东07年高考（理）第21题
解：（1）若直线AB斜率存在
y
A
设l AB: y kx b(k 0), A（x1, y1）, B（x2, y2）
o
B
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由
y y
kx 2 4x
x y1 y2
化简得y
k 1 k
2（x
y 4 k
4k 4 k
4）
x
4 k2
4k
2
4 k2
l AB过定点（4，0）
②当xA xB时，k 1,则l AB: x 4 综上，l AB恒过定点（4 ，0）
结论：过抛物线 y2 2 px( p 0)上任意定点
M( x0, y0)作直线MA、MB交抛物线于A、B两点，
当 kMA kMB ( 时 ，0)直线AB恒过定
点
2p
(x0 ,
. y0 )
yM
yM
o
A
x
B
kMA kMB 1
o
x
A
k MA
B
1
k MB
变式3：过抛物线 y2 2 px( p 0)上任意定
y
M
(x0 2 p, y0 )
o
x
A
B
y
M
MA⊥MB 即 kMA kMB 1
o
x
A
B
kMA kMB ( 0)
变式2：过抛物线 y2 2 px( p 0) 上任意定
点M(x0, y0)作直线MA、MB交抛物线于A、B两
点，当 kMA kMB ( 0)时，直线AB是
否恒过定点？
（2）当y1 y2 0时，l AB: x 4 过定点（4，0） 综上，l AB恒过定点（4 ，0）
y
A
o
B
求交点
解：设l OA:
y
kx（k
o）则l OB:
y
1 k
x
由
y y
k 2
x 4
得：x x
A
4 k2
,
yA
4 k
x
以
1 k
代k得：xB
4k 2 , yB
4k
①当x A
x
时，
B
由两点式可得lAB :
抛物线中的一类直线过定点问题
y2 2 px
问 题：过抛物线 y2 4x 的顶点O作互相
垂直的两条直线OA、OB交抛物线于A，B两 点，试问：直线AB过定点吗？
y
A
o
B
（4 ,0）
x
1 234
y
A
o
x
B
y
M
o
x
A
B
变式1：过抛物线 y2 2 px( p 0) 上任意定 点M( x0, y0)作直线MA、MB交抛物线于A、B两 点，当MA⊥MB时，直线AB是否恒过定点？