电磁场与电磁波 曹建章第五章作业题解答

(S )
此时表明，通过任意闭合曲面的传导电流 JV 和位移电流 J d 的通量为零。 5-8．自由空间中的电磁场为
E( z; t ) = 1000cos(ωt − kz )e x (V/m) H( z; t ) = 2.65cos(ωt − kz )e y (A/m)
式中 k = ω µ0ε 0 = 0.42(rad/m) ，试求： （1）瞬时坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量； （3） 任一时刻流入如图所示的平行六面体中的净功率。 解 （1）根据玻印亭矢量的定义，代入得到
则有
∂D2 ∇ × H 2 = JV 2 + ∂t ∇ × E = − ∂B 2 2 ∂t ∇ ⋅ B 2 = 0 ∇ ⋅ D = ρ 2 V2
∇ × H t = ∇ × ( H1 + H 2 ) = ∇ × H1 + ∇ × H 2 ∂D1 ∂D + JV 2 + 2 ∂t ∂t ∂ ( D1 + D2 ) ∂D = ( JV 1 + JV 2 ) + = JV + t ∂t ∂t = JV 1 + ∇ × Et = ∇ × ( E1 + E2 ) = ∇ × E1 + ∇ × E2 =− ∂ ( B1 + B 2 ) ∂B1 ∂B 2 ∂B − =− =− t ∂t ∂t ∂t ∂t
得到
∂D1n J1n + ∂t
或
∂D2 n − J 2n + ∂t = 0
∂D ∂D n ⋅ [ J 1 + 1 − J 2 + 2 ] = 0 ∂t ∂t
式中 J1、J2、D1 和 D2 分别为界面两侧的电流及电通密度矢量，ρS 为面上的自由面电荷密度。 证明 如图所示，假设介质 1 和介质 2 的参数分别为 ε1、μ1、σ1 和 ε2、μ2、σ2，时变场 矢量分别为 D1、J1 和 D2、J2，并假定介质分界面上存在自由电荷面密度 S 。在两介质分界 面上做一小的圆柱闭合面，圆柱面的上底面在介质 1 中，下底面在介质 2 中，两底面平行于 分界面，两底面的面积为 ΔS。圆柱面的侧面高为 Δh。n 为 P 处分界面的单位法线矢量。应 用电流连续性方程
n
ε1 , µ1 , σ1
∆S
J1n ϑ1
J1 , D1
ε 2 , µ2 , σ 2
J 2 , D2
P
ϑ2
J2n
∆h
ρS
题 5-12 图
n ⋅ ( J1 − J 2 ) = −
∂ρ S ∂t
∂D ∂D 或者 n ⋅ J1 + 1 = n ⋅ J 2 + 2 ∂t ∂t
即
J1n − J 2 n = −
或
n ⋅ ( J1 − J 2 ) = −
如果应用高斯定理
Ò ∫∫ D ⋅ dS = q
(S )
则有
Ò ∫∫ J
(S )
V
⋅ dS = J1n ∆S − J 2 n ∆S d [ D1n ∆S − D2 n ∆S ] dt ∂D ∂D = − 1n ∆S − 2 n ∆S ∂t ∂t =−
E E E t 1 2 , B t B1 B 2
D D D t 1 2 H t H1 H 2
此叠加矢量也应满足麦克斯韦方程组，证明如下： 由于
∂D1 ∇ × H1 = JV 1 + ∂t ∇ × E = − ∂B1 , 1 ∂t ∇ ⋅ B1 = 0 ∇ ⋅ D = ρ 1 V1
Ò ∫∫ J
(S )
V
⋅ dS = −
dq dt
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由于 ΔS 很小，近似认为在 ΔS 上 JV 的大小相等和方向相同，当 Δh→0 时，得到
∫∫ J Ò
(S )
V
⋅ dS = J1n ∆S − J 2 n ∆S =− ∂ρ d ( ρ S ∆S ) = − S ∆S dt ∂t ∂ρ S ∂t ∂ρ S ∂t
∇ ⋅ B t = ∇ ⋅ ( B1 + B 2 ) = ∇ ⋅ B1 + ∇ ⋅ B 2 = 0 ∇ ⋅ Dt = ∇ ⋅ ( D1 + D 2 ) = ∇ ⋅ D1 + ∇ ⋅ D2 = ρV 1 + ρV 2 = ρV
显然， Et、Bt、Dt 和H t 满足麦克斯韦方程组。 5-6．证明通过任意闭合曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 证明 根据麦克斯韦方程，有
S = E × H = [1000cos(ωt − kz )e x ] × 2.65cos(ωt − kz )e y = 2650cos 2 (ωt − kz )e z (W / m 2 )
（2）平均坡印亭矢量为
0.25m 2
S av =
1 2650ω S(r; t )dt = e z ∫ T 0 2π
第五章 时变电磁场 习题解答 5-2．设 E1、B1、D1 和 H1 满足场源 JV1 和 ρV1 的麦克斯韦方程组，而 E2、B2、D2 和 H2 满足 场源 JV2 和 ρV2 的麦克斯韦方程组，问当场源为 JV=JV1+ JV2 和 ρV=ρV1+ρV2 时，什么样的电磁 场才能满足麦克斯韦方程组？并加以证明。 解 在线性介质的情况下，电磁场满足矢量叠加原理，源 JV 和 ρV 所对应的场为
2 2 = 2650 × 0.25 cos (ωt ) − cos (ω t − 0.42)
= −662.5 × sin 0.42sin ( 2ωt − 0.42 ) = −270.14sin ( 2ω t − 0.42 )(W )
结果表明， 功率流密度随时间和空间点周期变化， 但空间任意闭合面内流出的净功率与空间 点无关。 5-12．根据电流连续性方程，证明当界面上不存在自由面电流时，界面两侧电流连续性条件 为
P = −Ò d dS dS S ⋅ S = − S ⋅ e + S ⋅ − e ( ) z z ∫∫ ∫∫ ∫∫ (S ) ( S z =0 ) ( S z=1 ) 2 2 = − 2650 cos (ωt − k ) × 0.25 − 2650cos (ωt ) × 0.25
T
2π / ω
∫
0
cos 2 (ω t − kz )dt
2π / ω
2650 1 1 = ez (ωt − kz ) + sin 2 (ωt − kz ) 2π 2 4 0 = ez 2650 π = e z 1325 (W / m 2 ) 2π
题 5-8 图
（3）任一时刻流入平行六面体中的净功率为
∇ × H = JV +
两边取散度，得到
∂D = JV + J d ∂t
∇ ⋅ (∇ × H) = ∇ ⋅ ( JV + J d )
由于
∇ ⋅ (∇ × H) = 0
必有
∇ ⋅ ( JV + J d ) = 0
对任一闭合面 S 所构成的体积 V，应用散度定理，有
∫∫∫ ∇ ⋅ ( J
(V )
V
+ J d )dV = Ò ∫∫ ( JV + J d ) ⋅ dS = 0