历年高考文科数学解答大题分类归纳

历年高考文科数学解答
大题分类归纳
Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
历年高考函数大题分类归纳
一、函数大题
1.(本小题满分13分）2011
设()nx mx x x f ++=233
1
.
（1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式；
（2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -） 解：（1）已知()nx mx x x f ++=
23
3
1，()n mx x x f ++=∴22' 又()()()322322'-+-+=--=n x m x x x f x g 在2-=x 处取极值， 则()()()3022222'=⇒=-+-=-m m g ，又在2-=x 处取最小值-5. 则()()()25342222
=⇒-=-+⨯-+-=-n n g ()x x x x f 233
123
++=
∴ （2）要使()nx mx x x f ++=
23
3
1单调递减，则 ()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数，所以()022'=++=n mx x x f 两根设做a ，b 。

即有： b-a 为区间长度。

又()()+∈-=-=
-+=
-N n m n m n m ab b a a b ,2444222
又b-a 为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，5,3==n m 符合。

2．（本小题满分12分）2010
设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.
（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；
（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.
解： 2()186(2)2f x x a x a '=+++
（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118
a
x x =
=，所以9a =；
（2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>， 所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数. 3．（本小题满分12分）2009
设函数
32
9()62f x x x x a =-
+-
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围
解：(1)
'2
()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即
2
39(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得
34m ≤-
，即m 的最大值为3
4-
(2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;
所以 当1x =时,()f x 取极大值
5
(1)2f a =
-;
当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;
故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或5
2a >
.
4．已知函数43
22411()(0)43
f x x ax a x a a =
+-+> 2008 （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示
所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与；()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，
与，
（2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47
()()12
f x f a a ==极小值
要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要4457
1312
a a -<<或41a <，
即a >
01a ≤<. 5．（本小题满分12分）2007
已知函数2
1(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪
=⎨⎪+<⎩
≤满足29()8f c =．
（1）求常数c 的值； （2
）解不等式()18
f x >
+． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <；由29()8f c =
，即3918c +=，1
2
c =． （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩
，，≤
由()18
f x >
+得， 当102x <<
12x <<；当112x <≤时，解得1528
x <≤，
所以()18f x >
+
的解集为58x ⎧⎫⎪⎪
<<⎨⎬⎪⎪⎩
⎭． 6.(本小题满分12分) 2006
已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值.
(1)求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间;
(2)若对[]1,2x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围. 解:
所以函数()f x 的递增区间为(,)3-∞-与(1,)+∞; 递减区间为(,1)3
-.
7．（本小题满分12分）2005
已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3,
x 2=4.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）设k>1，解关于x 的不等式；x
k
x k x f --+<
2)1()(.
解：（1）将0124,32
21=+-+==x b
ax x x x 分别代入方程
得 （2）不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x
①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为
②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.
二、三角函数
1.(本小题满分12分）2011
在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a cos cos cos 3+=. （1）求A cos 的值； (2)若3
3
2cos cos ,1=
+=C B a ，求边c 的值． 解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=正弦定理得：
及：A A A sin cos sin 3=所以31
cos =A 。

（2）由3
3
2cos cos =
+C B 3
3
2cos )cos(=
+--C C A π展开易得： 3
6sin 3sin 2cos =⇒=+C C C 正弦定理：23
sin sin =⇒=c C c A a 2．（本小题满分12分）2010
已知函数2()(1cot )sin 2sin()sin()44
f x x x x x ππ
=+-+-.
（1）若tan 2α=，求()f α；
（2）若[,]122
x ππ
∈，求()f x 的取值范围.
解：（1）2()sin sin cos cos 2f x x x x x =++1cos 21
sin 2cos 222
x x x -=++
由tan 2α=得222
2sin cos 2tan 4
sin 2sin cos 1tan 5
ααααααα===++， 222222
cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5ααααααα--===-++，所以3
()5
f α=.
（2）由（1）得111
()(sin 2cos 2))22242
f x x x x π=++=
++
由[,]122x ππ∈得552[,]4124
x πππ
+∈，所以sin(2)[4x π+∈
从而11()sin(2)[0,]2422f x x π+=++∈. 3．（本小题满分12分）2009
在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π
=
，(12c b +=．
（1）求C ；
（2）若1CB CA ⋅=+a ,b ，c ．
解：（1）由(12c b += 得 1sin 22sin b B
c C =+=
则有
55sin()
sin
cos cos sin 666sin sin C C C
C
C π
ππ
π-
--=
=11cot 2
2C =+
得cot 1C = 即
4C π
=
.
（2）
由1CB CA ⋅=+推出
cos 1ab C =；而
4C π
=
,
即得12ab =+,
则有
12(12sin sin ab c b a c A C
=⎪⎪
+=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得
12a b c ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
4．（本小题满分12分） 2008
已知1
tan 3
α=-
，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；
（2
）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值． 解：（1
）由cos 5β=
(0,)βπ∈ 得tan 2β=
，sin 5
β= 于是tan()αβ+=1
2
tan tan 3121tan tan 13
αβ
αβ-++==-+.
（2）因为1
tan ,(0,)3ααπ=-∈
所以sin αα==
()f x
5．（本小题满分12分）2007
如图，函数π
2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤
≤的图象与y
轴相交于点(0， 且该函数的最小正周期为π．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点π02A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ， 是PA
的中点，当0y =
π
[π)2
x ∈，时，求0x 的值． 解：（1）将0x =
，y =2cos()y x ωθ=+
中得cos θ=
， 因为π02θ≤≤，所以π
6
θ=．
由已知πT =，且0ω>，得2π2π
2T π
ω===．
（2）因为点π02A ⎛⎫
⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA
的中点，02y =．
所以点P
的坐标为0π22x ⎛- ⎝．
又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤
，所以05πcos 46x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π
466
x -=
， 即02π3x =或03π
4x =．
6.(本小题满分12分) 2006
在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,
已知sin 3
A = (1)求2
2tan sin 22
B C A
++的值； (2)
若2,ABC a S ∆==b 的值。

解:(1)因为锐角△ABC 中
,,sin 3A B C A π++==
,所以1
cos 3
A = 则2222
2sin (
)
2tan sin sin 222
cos ()2
1cos()11cos 17(1cos ).1cos()21cos 33
B C
B C A A B C B C A A B C A +++==++-++=+-=+=++-
(2)因为ABC S ∆=又11sin 223
ABC S bc A bc ∆==⋅
= 则3bc =.将13
2,cos ,3a A c b ===代入余弦定理:2222cos ,a b c bc A =+-
得42690,b b -+=解得b =7．（本小题满分12分）2005
已知向量b a x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令π
ππ.
求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.
解：)4
2tan()42tan()42sin(2cos 22)(π
ππ-+++=⋅=x x x x b a x f
当4
x
π=
时，
max ()|()4
f x f π
==最小正周期为2T π
=()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调增加，在,4ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是单调减少
三、概率试题
1．(本小题满分12分）2011
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5
杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工
一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3
杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
2.求此人被评为优秀的概率；
3.求此人被评为良好及以上的概率．
解：（1）员工选择的所有种类为35C ，而3杯均选中共有33
C 种，故概率为10
1
3533=C C .
（2）员工选择的所有种类为35C ，良好以上有两种可能：3杯均选中共有3
3C 种； ：3杯选中2杯共有12
2
3C C 种。

故概率为10
7
3
51
22333=+C C C C . 解析：本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合，简单题。

2．（本小题满分12分）2010
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．
的通道，直至走出迷宫为止. (1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.
解：(1)设A 表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则1
()3
P A =.
(2) 设B 表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则1111
()6662
P B =++=.
18．（本小题满分12分）2009
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案
进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1
2.若某人获得两个“支持”，则
给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
(1) 该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 18．解：（1）设A 表示资助总额为零这个事件，则
（2）设B 表示资助总额超过15万元这个事件，则 18．（本小题满分12分）2008
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的倍、倍、倍的概率分别是、、；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的倍、倍、倍的概率分别是、、．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率； （2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
解：（1）令A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件 （2）令B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件 19．（本小题满分12分）2007
栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．
的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．
的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．
的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．
的概率．
解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活
为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯=；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=． 18.(本小题满分12分) 2006
某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得二等奖；摸出两个红球可获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求 (1)甲、乙两人都没有中奖的概率;
(2)甲、乙两人中至少有一人获得二等奖的概率。

解:（1）2
3
1
999;101010P ⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）方法一：2
2
2221911918118262
10101010101010101000
P ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
方法二：2119119262
221010101010101000P =
+⨯⨯-⨯⨯⨯=
方法三：291199262
110101*********
P ⎛⎫=-
⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 19．（本小题满分12分）2005
A 、
B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
解：设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，
则||517m n m n ξξ-=⎧⎪
+=⎨⎪≤≤⎩
，可得： 四、立体几何
18.(本小题满分12分）2011
如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π
∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于 点D,
现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；
（2）若点P 为AB 的中点，E 为'
'.AC
B DE ⊥的中点，求证：A 解：（1）设x PA =，则)2(31312x
x x S PA V PDCB PBCD
A -=⋅='底面- 令)0(,6
32)22(31)(32>-=
-=x x x x x x f 则232)(2
x x f -='
单调递增
极大值
单调递减
由上表易知：当3
3
2==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。

证明：
（2）作B A '得中点F ，连接EF 、FP 由已知得：FP ED PD BC EF ////2
1
//⇒
PB A '∆为等腰直角三角形，PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'. 20．（本小题满分12分） 2010
如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =.
（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小； （2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值. 解法一：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD .
又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD ，所以
MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面.延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角.
_
M _
D _
B _
A
OB =MO
MO ∥AB ，则1
2
EO MO EB AB ==
，EO OB ==
EB AB ==，故45AEB ∠=.
（2）CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线. 由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.
作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为
θ.
因为∠BCE =120°，所以∠BCF =60°.
sin 603BF BC =⋅=
tan 2AB
BF
θ=
=，sin 5θ=
. 解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面
BCD ,则MO ⊥平面BCD .
以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.
OB =
OM O （0，0，0），C （1，0，0），M （0
，0B （
0，-0），A （0
，
（1）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.
因AM =（
），平面BCD 的法
向量为(0,0,1)n =.
则有3sin cos ,6
AM n AM n AM n
α⋅
===
=
⋅，所以45α
=. （2）(CM =-，(1,CA =-.
设平面ACM 的法向量为1(,,)
n x y z
=，由11n
CM n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得0
0x x ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩.解得
x =，y z =，取1(3,1,1)n =.又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =，则
111cos ,5
n n n n n n
⋅<>=
=
⋅
设所求二面角为θ
，则sin θ==. 20．（本小题满分12分）2009
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，
2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球
面
交PD 于点M ．
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 20．解：方法（一）：
（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，
因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣ
Ｄ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，
因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以 PNM ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠
B
tan tan 22PD
PNM PCD DC ∠=∠=
=arctan 22
（3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，22DM =，则O 点到平面ABM 的距离等于2。

方法二： （1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，
(0,4,0)D ，(0,2,2)M ，
设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，
由,n AB n AM ⊥⊥可得：20220x y z =⎧⎨
+=⎩， 令1z =-，则1y =，即(0,1,1)n =-.
设所求角为α，则
22
sin 3
PC n PC n
α⋅=
=，所求角的大小为
22arcsin
.
（3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2
AO n h n
⋅=
=
20．（本小题满分12分）2008
如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、
OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF
的平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132
OA =． （1）求证：11B C ⊥面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小．
20．解 ：（1）证明：依题设，EF 是ABC ∆的中位线，所以EF ∥BC ， 则EF ∥平面OBC ，所以EF ∥
11B C 。

又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ， 则AH ⊥11B C 。

因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ， 所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥11B C ， 因此11B C ⊥面OAH 。

（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N 。

因为1OC ⊥平面11OA B ，
根据三垂线定理知，1C N ⊥11A B ， 1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则1EM OM ==。

设1OB x =，由
111OB OA MB EM =得，3
12
x x =-，解得3x =， 在11Rt OA B ∆
中，11A B ==
1
111OA OB ON A B ⋅==
所以1
1tan OC ONC ON
∠=
=111O A B C --
为 解法二：（1）以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -则
所以1111
(1,,),(1,,),(0,2,2)2222
AH OH BC =-==-
1
C 1
A
所以0,0AH BC OH BC ⋅=⋅= 所以BC ⊥平面OAH
由EF ∥BC 得11B C ∥BC ，故：11B C ⊥平面
(2)由已知13
(,0,0),2A 设1(0,0,)B z
则111
(,0,1),(1,0,1)2
A E E
B z =-=-
-
由1A E 与1EB 共线得:存在R λ∈有11A E EB λ=得
同理:1(0,3,0)C
1111
33
(,0,3),(,3,0)22
A B AC ∴=-=- 设1111(,,)n x y z =是平面111A B C 的一个法向量,
则3
3023302
x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令2x =得1y x == 1(2,1,1).n ∴= 又2(0,1,0)n =是平面11OA B 的一个法量
12cos ,n n ∴<>=
=
， 所以二面角的大小为arccos 6 20．（本小题满分12分）2007
右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，3CC =（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积． 解法一：
（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥，
x
因为O 是AB 的中点，
所以1111
()32
OD AA BB CC =+==．
则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，
1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A
则OC ∥面111A B C ．
（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ． 连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．
因为BH =
，AB =sin BH BAH AB ==∠
AB 与面11AAC C 所成的角为arcsin
10
BAH =∠．
（3）因为2BH =
，所以22221
3
B AA
C C AA C C V S BH -=．1121(12)23222=
+=． 1112211111
212
A B C A BC A B C V S BB -==
=△． 所求几何体的体积为22111223
2
B AA
C C A B C A BC V V V --=+=．
解法二：
（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，
因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，112OC ⎛
=- ⎝，易知，(001)n =，
，是平面111A B C 的一个法向量． 由0OC n =且OC ⊄平面111A B C 知OC ∥平面111A B C （2）设AB 与面11AAC C 所成的角为θ． 求得1(004)A A =，，，11(1
10)AC =-，，．
设()m x y z =，，是平面11
AAC C 的一个法向量，则由1110
0A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩， 取1x y ==得：(11
0)m =，，．又因为(012)AB =--，， 所以，cos m <，10m AB AB m AB
>=
=-
则10
sin θ=．
所以AB 与面11AAC C 所成的角为10arcsin （3）同解法一
20.(本小题满分12分)2006
如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且1,2,OA OB OC E ===是
OC 的中点.
(1)求O 点到面ABC 的距离; (2)求异面直线BE AC 与所成的角; (3)求二面角E AB C --的大小; 20.(1)取BC 的中点D ,连AD 、OD
,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC ⊥ 则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.
OA OB ⊥、OA OC ⊥，
223AD OA OD =+=，在直角三角形OAD 中，
有26
.3
OA OD OH AD ⋅=
== （另解：由1126
,.)3633
ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==
知 (2)取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.
求得:
22222221517,5,.222
cos ,arccos .
255
EM AC BE OB OE BM OM OB BE ME BM BEM BEM BE ME =
==-==+=+-∠==∴∠=⋅ (3)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .
则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,则16
.26
EG OH ==
在直角三角形OAB 中,,5
OA OB OF AB ⋅=
= 在直角三角形OEF 中,2241,55
EF OE OF =+=+
= 6
303076
6sin ,arcsin .(arccos )31818185
EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为方法二:(1)以O
为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E 设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知 由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取
1(1,1,2)n =，则点O 到面ABC 的距离为
cos <,EB AC >2,555
=
=-⋅所以异面直线BE 与AC 所成的角2
arccos 5.
(3)设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =
则由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-=
由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n = 由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n =
则cos <1,n n
>11
189n n n n ⋅
=
=
==⋅. 结合图形可知,二面角E AB C --的大小为:20．（本小题满分12分）2005
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π. 20．解法（一）
（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E
（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2
121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=
∆∆BC AE S S ACE C AD 而 （3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x
解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则
A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0） C （0，2，0）
（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为
1
A
1
A
（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），
从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，
)1,0,1(1-=AD ，
设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,01AD AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a b a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为
（3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x
由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n D 令b=1, ∴c=2,a =2－x ， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.2
25
)2(22
2
4
cos
211=
+-⇒=
=
x π ∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π. 五、圆锥曲线
1.(本小题满分12分）2011
已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于
()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ． （1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．
解析：（1）直线AB 的方程是
,
05x 4px 2y ),2
(22222=+-=-
=p px p
x y 联立，从而有与 所以：4
521p
x x =
+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82=
（2）由p=4，
,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A:(1,22-),B(4,24)
设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→
y x OC =)2422,41(λλ+-+，又32
38x y =，即
()[]
=-2
1222
λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或
2．（本小题满分12分）2010
已知抛物线1C ：22x by b +=经过椭圆2C ：
22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点. (1) 求椭圆2C 的离心率；
(2) 设(3,)Q b ，又,M N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个
交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和
2C 的方程.
解：（1）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -， 所以220c b b +⨯=，即22c b =，由22222a b c c =+=得椭圆2C
的离心率e =
. （2）由（1）可知222a b =，椭圆2C 的方程为： 联立抛物线1C 的方程22x by b +=得：2220y by b --=，
解得：2
b
y =-或y b =
（舍去），所以x = ，
即(,),,)22
b b M N --，所以QMN ∆的重心坐标为(1,0). 因为重心在1C 上，所以2210b b +⨯=，得1b =.所以22a =. 所以抛物线1C 的方程为：21x y +=，
椭圆2C 的方程为：2
212
x y +=.
3．（本小题满分14分）2009
如图，已知圆:G 222
(2)x y r -+=是椭圆2
2116x y +=的内接△ABC 的内切圆, 其中A 为椭
圆的左顶点
（1）求圆G 的半径r ;
（2）过点(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于
E F ，两点，证明：直线EF 与圆G 相切． 解:
（1）设B 02,r y +（），过圆心G 作GD AB ⊥于D ,BC 交长轴于H
由GD HB
AD AH =
6y r =
+,
即
0y =
(1)
而点B 02,r y +（）在椭圆上,
222
0(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==-
(2)
由(1)、 (2)式得
2
158120r r +-=,解得23r =
或6
5r =-（舍去）
(2) 设过点M(0,1)与圆
224
(2)9x y -+=
相切的直线方程为:1y kx -= (3)
则
23=即2323650k k ++= (4)
解得
12991616k k -+-=
=
将(3)代入22116x y +=得22
(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161k x k =-+ 设
111(,1)F x k x +,222(,1)
E x k x +，则
12
12
22123232,161161k k x x k k =-
=-++
则直线FE 的斜率为：
221112*********EF k x k x k k k x x k k -+=
==
--
于是直线FE 的方程为:
21122
11323231()1614161k k y x k k +-=+++ 即
37
43y x =
-
则圆心(2,0)到直线FE
的距离23d ==
故结论成立.
22．（本小题满分14分）2008 已知抛物线2y x =和三个点
00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2
00
0(,0)y x y ≠>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线
分别交抛物线于点E F 、． （1）证明E F N 、、三点共线；
（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在
0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点如果存在，求出0y 的取值范
围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．
（1）证明：设22
1122
(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、 则直线AB 的方程：()22
212
1112
x x y x x x x x -=-+-
即：1212()y x x x x x =+-
因00(,)M x y 在AB 上，所以012012
()y x x x x x =+-①
又直线AP 方程：210
01
x y y x y x -=+
由210
012x y y x y x x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩
得：22
1001
0x y x x y x ---=
所以22
1000
12111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-=
同理，200
222
,F F y y x y x x =-=
所以直线EF 的方程：2
012
01212
()y x x y y x x x x x +=--
令0x x =-得0
120012
[()]y y x x x y x x =
+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上 所以,,E F N 三点共线
（2）解：由已知A B M N 、、、
共线，所以(
)
00,)A y B y 以AB 为直径的圆的方程：()2
200x y y y +-=
由()22002x y y y x y
⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得()22
000210y y y y y --+-=
所以0y y =（舍去），01y y =-
要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥
所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--= 22．（本小题满分14分）2007
设动点P 到点1(10)F -，
和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．
（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支
交于 A B ，两点．问：是否存在λ，使
1F AB △
是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形 若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 解：（1）在12PF F △中，122F F =
12d d -=2的常数）
故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F
为焦点，实轴长2a =
方程为
22
11x y λλ
-=-． （2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则 由②与③得22d a =，
则1343421)d a d d d a a
=⎧⎪
=⎨⎪
=-=⎩
由⑤得342d d λ=，
242(21)2a λ-=，(842)(1)2λλ--=，
故存在1222
17
λ-=
满足题设条件． 方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得 所以12121πsin (21)24AF F S AF AF λ=
=+△，12121
2
BF F S BF BF λ==△． 则1(22)AF B S λ=+△．① 由
1212
22
21AF F BF F S AF S BF =
=+△△，可设2BF d =，
则2(21)AF d =+，1(22)BF AB d ==+． 则12
2211(22)22
AF B S AB d =
=+△．② 由①②得2(22)2d λ+=．③ 根据双曲线定义12221BF BF a λ-==-可得，(21)21d λ+=-． 平方得：22(21)4(1)d λ+=-．④ 由③④消去d 可解得，1222(01)17λ-=
∈，，故存在1222
17
λ-=满足题设条件． 21.(本小题满分12分) 2006
如图,椭圆22
22:1(0)x y Q a b a b
+=>>的右焦点为(,0)F c ,过点F 的一动直线m 绕点F 转动,并
且交椭圆于A 、B 两点,P 为线段AB 的中点. (1)求点P 的轨迹H 的方程;
(2)若在Q 的方程中,令221cos sin ,sin (0).2
a b π
θθθθ=++=≤
<
设轨迹H 的最高和最低点分别为M 和N .当θ为何值时,MNF ∆为一个正三角形 解:如图
(1)设椭圆22
22:1x y Q a b
+=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y ,又设P 点坐标为(,)P x y ，则
222222
1122222222b x a y a b b x a y a b
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩………………① 由①—②得
1︒当AB 不垂直x 轴时，12,x x ≠
2︒当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*）. 所以点P 的轨迹H 的方程为:222220b x a y b cx +-=.
(2)因为轨迹H 的方程可化为:2
2222()2()2c x y c a b a
-+=
(,),(,),(,0)2222c bc c bc
M N F c a a ∴-使△MNF 为一个正三角形时,
21．（本小题满分12分）2005
如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.
（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.
解：（1）设M （y 2
0,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)
则直线MF 的斜率为－k ，
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴x
y y x k y y 2
2
0)
(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得 所以直线EF 的斜率为定值
（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当
).1,)1((,02022
00y y E x
y y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由 同理可得)).1(,)1((020y y F +-+ ………………②
设重心G （x , y ），则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(300002
0202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M 六、数列
21.(本小题满分14分）2011
（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ， 若数列{}n a 唯一，求a 的值；
（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差•
不为0
的等差数列若存在，求 {}{}n n b a , 的通项公式；若•
不存在，说明理由．
解：（1）{}n a 要唯一，∴当公比01≠q 时，由332213,2,21a b a b a b +=+==+=且
⇒=312
2b b b ()()()
01343121212121=-+-⇒++=+a aq aq aq a aq ，
0>a ，013412
1=-+-∴a aq aq 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
()()()014013442
≥+⇒≥--∴a a a a a ，此时满足条件的a 有无数多个，不符合。

∴当公比01=q 时，等比数列{}n a 首项为a ，其余各项均为常数0，唯一，此时由
()()()01343121212121=-+-⇒++=+a aq aq aq a aq ，可推得3
1,013==-a a 符合
综上：3
1=
a 。

（2）假设存在这样的等比数列{}{
}21q q ,,，公比分别为n n b a ，则由等差数列的性质可得：()()()()44113322a b a b a b a b -+-=-+-，整理得：()()()()11131231--=--q a a q b b
要使该式成立，则12-q =101211==⇒=-q q q 或03131====a a b b 此时数列22a b -，
33a b -公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列{}{}n n b a ,。

22．（本小题满分14分）2010
正实数数列{}n a 中,121,5a a ==,且2
{}n
a 成等差数列. (1) 证明数列{}n a 中有无穷多项为无理数；
(2)当n 为何值时，n a 为整数，并求出使200n a <的所有整数项的和.
证明：（1）由已知有：2
124(1)n
a n =+-，从而n a =
方法一：取21124k n --=，则n a =（*k N ∈） 用反证法证明这些n a 都是无理数.
假设n a =为有理数，则n a 必为正整数，且24k n a >， 故241k n a -≥.241k n a ->,与(24)(24)1k k n n a a -+=矛盾，
所以n a =（*k N ∈）都是无理数，即数列{}n a 中有无穷多项为无理数;
方法二：因为2
1124,()n a n n N +=+∈，当n 的末位数字是3,4,8,9时，124n +的末位数
字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1n a +=理数，因这种n 有无穷多，故这种无理项1n a +也有无穷多．
(2) 要使n a 为整数，由(1)(1)24(1)n n a a n -+=-可知：
1,1n n a a -+同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有16n a m -=或16n a m +=
当61n a m =+时，有2
236121112(31)n
a m m m m =++=++（m N ∈） 又(31)m m +必为偶数，所以61n a m =+（m N ∈）满足2
124(1)n
a n =+- 即(31)
12
m m n +=
+（m N ∈）时，n a 为整数； 同理*61()n a m m N =-∈有2
236121112(31)n a m m m m =-+=+-（*m N ∈） 也满足2
124(1)n
a n =+-，即(31)
12
m m n -=+（*m N ∈）时，n a 为整数； 显然*61()n a m m N =-∈和61n a m =+（m N ∈）是数列中的不同项； 所以当(31)12m m n +=
+（m N ∈）和(31)
12
m m n -=+（*m N ∈）时，n a 为整数； 由61200n a m =+<（m N ∈）有033m ≤≤， 由61200n a m =-<（*m N ∈）有133m ≤≤. 设n a 中满足200n a <的所有整数项的和为S ，则
21．（本小题满分12分）2009
数列{}
n a 的通项
22
2(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S
(1) 求n
S ; (2)
3,4n n n
S b n =
⋅求数列｛n b ｝的前n 项和n T .
解:
（1）由于2
22cos sin cos 333n n n πππ-=,
故
312345632313()()()
k k k k S a a a a a a a a a --=++++++
+++
1331
185(94)
22
22k k k -+=
+++
=,
故 1,3236(1)(13),31
6(34)
,36n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪
+-⎪==-⎨⎪
+⎪=⎪⎩ (*
k N ∈)
(2)
394,424n n n n S n b n +=
=⋅⋅
两式相减得
故2321
813.3322n n n n T -+=--⋅
19．（本小题满分12分）2008
等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =． (1)求n a 与n b ； (2)求和：
12
11
1n
S S S +++．
解:（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1n n b q -=
依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩① 解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65
403d q ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= （2）35(21)(2)n S n n n =++++=+
∴
12
11
11111
132435
(2)
n S S S n n +++
=++++
⨯⨯⨯+
21．（本小题满分12分）2007 设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：2123
21232n n
n T a a a a =
-+--． 解：（1）由已知条件得1
12113n n n a a a --⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，
因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =．
（2）因为223211234213333
n n n
T -=-+-+-，…………①
2234212112342123333333
n n n n n
T --=-+-++-，…………② +①②得：2232124111121333333n n n n
T -=-+-+--
2211231313n n n -=-+22333843n n n --=。

所以22
223924163n n n
n T +--=． 22.(本小题满分14分) 2006
已知各项均为正数的数列{}n a 满足:*1111
23,,.2n n
n n n n a a a a a n N a a +++-==∈-且
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设222
12
22212
11
1
,,n n n n
S a a a T a a a =+++=
+++
求n n S T +,并确定最小正整数n ,使n n S T +为整数.
解:(1)条件式化为11112()n n n n a a a a ++-
=-；因此1
{}n n
a a -为一个等比数列,其公比为2,首项为11183a a -=. 所以2
1*1822()3
3
n n n n a n N a +--=⋅=∈…………①
因0n a >,由①解出11
(29)3n n a +=…………②
（2）由①有,222
1212
111()()()2n n n n
S T a a a n a a a +=-
+-++-
+ 为使64(41)227
n
n n S T n +=-+为整数,当且仅当4127n -为整数.
当1,2n =时,显然n n S T +不为整数,
当3n ≥时,12233
3)
41(13)1333(3n n n n n
n n n C C C C --=+-=⋅+⋅+++
故n 的最小正整数为9. 22．（本小题满分14分）2005
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23
,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列
{a n }的通项公式.
22．解：方法一：先考虑偶数项有：
32324222)2
1
(3)21(3----⋅-=-⋅=-n n n n S S ………
同理考虑奇数项有：
……… .)2
1
(3)21(32213⋅=-⋅=-S S
综合可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.
,)21(34,,)2
1(3411为偶数为奇数n n a n n n
方法二：因为),3()2
1
(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以
两边同乘以n )1(-，可得：
令).3()2
1
(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n n n
所以,)21(311---⋅-=-n n n b b ,)2
1
(3221----⋅-=-n n n b b ………。