小行星高速碰撞问题与建模

小行星高速碰撞问题与建模

摘要：宇宙中分布着大量的小行星，地球在运行过程中与太阳系中的小行星发生碰撞是可能的。这种碰撞是高速的，它对地球的生态环境和人类生存的影响有多大是我们非常关心的问题。我们通过建立一个小行星高速碰撞地球南极的模型，分析碰撞发生的全过程，将该过程分为进入大气过程与碰撞过程以及后期影响两部分，对能量的分配和吸收作出假设。分析估计碰撞对南极大陆的直接影响。

关键字:小行星；高速碰撞；建模

1问题的提出

我们都知道，宇宙中分布着大量的小行星，在太阳系中，小行星随时可能与运行过程中的地球发生碰撞，这种碰撞往往都是高速的，而这种高速的碰撞会对地球的生态环境和人类的生存带来相当的影响。在宇宙中，这种随时的碰撞是人们所不能阻止的，所以人们的注意力自然转移到如何避免或降低这种高速碰撞为人们所带来的影响这一问题上。为了解决这一问题，我们可以从数学的角度建立一个合理的模型来模拟这种碰撞，然后对其进行全方位深层次的分析，从而估计出碰撞所带来的直接影响和潜在影响，为更有针对性地降低和解决这一问题提供一个精确且合理的平台。

2 问题分析

我们将这个复杂过程分为三个部分：

1．1进入大气过程

小行星从外太空高速进入大气层，收到空气阻力的作用会有一定的减速。

1.2碰撞过程

高速运动的小行星体带有巨大的动能接触南极冰层后，与冰层发生剧烈碰撞，在地面上留下一个巨大的陨石坑，同时溅射出大量的物质。巨大的动能迅速转化为内能，产生高温高压，瞬间将大量的冰层融化为水与蒸汽。此外，还有一部分能量转化为溅射物质的动能以及物体变形的动能。地面吸收能量后引发地震，海啸等一系列次生灾害。

1.3后期影响

碰撞的后期影响主要集中灾害在生态环境的影响，包括融水对海平面高度的影响，陨石中物质流入海洋的影响，溅射物质的影响等等。

3 问题假设

（1）入射的小行星形状近似为一个球体，其半径为1000m;

（2）小行星掉落的地点在地球的南极；

（3）小行星进入大气层后沿着一条直线运动，不发生偏移；

（4）小行星进入大气层时不发生爆炸，与地面接触后也不发生反弹；

（5）小行星主要由铁和镍构成，这基本是陨石中密度最大的物质，我们可以估计出最坏的情况；

（6）南极冰层平均厚度约为2000m;

4 符号系统

star ρ 小行星的密度

V 0 小行星进入大气层时的速度

d star 小行星的直径

α 小行星撞击地面的角度

T 0 冰层的初始温度

M star 小行星的质量

H

H

E

E

5 模型建立

5.1进入大气过程

我们首先计算一下小行星的质量：M star = star ρπd star 3/6 ,小行星的初始动能 E star = M star V 02/2。

在小行星进入大气层的过程里，不可避免的要受到空气阻力的影响，损失动能，摩擦生热。根据这个我们来计算一下空气阻力的影响，通过查找资料我们发现空气阻力的计算公式为

R = C ρAV 2

式中V 代表这个物体的速度，A 代表该物体与空气的接触面积，ρ为空气的密度。C 是一个与空气相关的常数，一般为0.2到 0.4 kg/m 3。我们想计算出物体与空气磨擦时，动能转化为热能的上限。

我们假设大气层的厚度为100km 。100km 以内的大气随着高度的减小，其密度的对数（以

10为底）是一个线性线性增加的过程。由此我们假设大气的归一化密度为ρair =10ad+b (即假设

海平面处的空气密度为1)，式中的d 为距海平面的高度，a 和b 为两个系数。现在我们先来计算一下a 和b 。由于100km 相对于地球的半径6400km 来说很小，所以当小行星在大气层运动时可以把地面看作一个水平面。小行星进入大气层时沿着一个角度α，所以从100km 处大气层

到海平面经过的路程为S 0=105/sin α。

在海平面处，ρair =10ad+b =1，可得ad+b=0，而d=0，故b 也等于0。

在距海平面S 0处，空气密度大约是海平面的10-6，10-6=10a*S0+b ,所以-6=a*105/sina,可得

a=-6 sin α/105。

故在大气层的范围内，空气阻力R = C ρAV 2=C*10a AV 2。

空气阻力做功为

W = - ⎰0

sina /105Rdh

= )101(6ln10sin CAV 1062

5--α

≈α

sin 10ln 6102

5CAV 为了估计一下最坏的情况，我们取C=0.4, A 为πr 2,此处r 取500m(因为小行星的面直径约

为1000m)。我们计算一下在不同角度下空气阻力做功占总动能的比例P，结果如下：

从这个结果可以看到空气阻力的影响非常小，作用最强时也仅消耗总动能的0.163%，所以我们在下面的分析里忽略空气阻力的影响，即动能在进入大气层时不损失。

5.2碰撞过程

小行星以超高速撞击地球的南极点，根据碰撞遵循质量守恒原理、动量守恒原理和高速碰撞理论，强烈的冲击波将引起强大的冲击压力。

首先让我们初步估计一下撞击的能量：

撞击产生的能量来自于小行星的动能。根据假设，令小行星的速度V0=30km/s,小行星的

πd star 3/6，质量M=2.62密度ρ=5g/cm3,小行星的直径D=1000m,所以小行星的体积M star= star

×1012kg，因此，小行星的动能为E=11.78×1020J。根据对大量碰撞所产生的能量的估计，直径为1000m的小行星撞击地球所产生的能量相当于100M TNT炸药所产生的能量（其中M 为小行星质量）。 1kg TNT炸药爆炸，会放出4560kJ热量，记C=4560kJ/kg，则有E=100×M×C≈11.94×1020J。误差是由于忽略了小行星穿过大气层所损失的能量。

之后我们来计算一下冲击波压力P c（其中ρ1为冰块密度，ρ1’为水的密度，ρstar为小行星平均密度，V0为小行星速度，C1为冲击波在冰块中的传播速度，C2为冲击波在行星内的传播速度，V c为冲击波的反射速度，P0为冰块的初始压力，P c为冲击波的反射压力，σ为与材料有关的弹塑性常量。

对于冰块，根据质量守恒和动量守恒，得：

ρ1 C1 =ρ1’（ C1 - V c ） (1)

（ρ1 C1）C1 + P0 =ρ1’（ C1 - V c ）（C1 - V c ）+ P c （2）

由（1）、（2）式得：

P c - P0 =ρ1 C1 V c (3）

对于小行星

P c - P0 =ρ2 C2（V0- V c）（4）

由（3）、（4）式得：

P c - P0 =（ρ1 C1ρstar C2）V0/（ρ1 C1 +ρstar C2）（5）

根据高速碰撞理论：

C = （σ/ρ）0.5（6）

对于冰块ρ1 = 0.9ρ2；初始压力p0≈0，由（1）式到（5）式，得P c约为0.2×1016P a 。在这个地区，温度在短时间内快速升高，大量冰块融化向各个方向扩散，同时大量水蒸气进入大气。根据功能原理，冲击压力P c对地球所做的功W为：

W = 0.5P cεv (7)

其中εv是压缩形变。

因为是超高速碰撞，εv和P c不是线性关系，两者服从下面的非线性关系：

εv = aP c2 + bP c (8）

这里a和b是两个常数（a<0 , b>0）。

我们把由冲击波产生的能量分配为被南极大陆冰块吸收的能量E1,深层未融化冰块吸收的能量E2，升华成水蒸气的冰块吸收的能量，也就是说，E1、E2之和远大于E3、E k之和，若总能量为E，我们假定E1 + E2 = 80%E，E3 = 10%E，E k = 10%E 。