1.2.2 基本初等函数的导数及导数的运算法则(1)
1.2.2导数公式及运算法则
2．复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量
的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 yx′＝ yu′·ux′，
并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间 变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量， 也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向 内逐层求导．
2．函数 y＝21(ex＋e－x)的导数是(
)
A.12(ex－e－x) B.21(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x 解析 y′＝21ex＋e－x′＝12[(ex)′＋(e－x)′]＝
21(ex－e－x)． 3．[2017·泉州高二检测]函数 f(x)＝π2x2 的导数是( )
A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝2πx
C．f′(x)＝2π2x D．f′(x)＝2πx2＋2π2x
解析 由 f(x)＝π2x2 得 f′(x)＝2π2x，故选 C.
loga
xf
' ( x)
x
1 ln
a
(a
0且aΒιβλιοθήκη 1)f (x) ln xf '(x) 1 x
导数可以进行四则运算吗？
探究新知 一．导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)
法则
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
语言法叙则述 两[个f(x函)g数(x的)]'＝和f('或(x差)g()x的)＋导f数(x)，g'等(x)于
随堂达标自测
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－1x＋1 C．y＝ln1x
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第一章 导数及其应用
[解] ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)＝(1.05t)′＝
1.05t·ln1.05. ∴p′(10)＝1.0510·ln1.05≈0.08(元/年)． 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/ 年的速度上涨．
[点拨] 在第10个年头，商品的价格上涨的速度，即
(2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝③________. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝④________. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________.
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________.
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后 再求导两种方法，要注意正确区分．
[解]
(1)y′＝(tanx)′＝(
sinx cosx
)′＝
(sinx)′cosx－sinx(cosx)′ cos2x＋sin2x 1 ＝ (cosx)2 ＝cos2x. (cosx)2 (2)y′＝(3x2＋x· cosx)′＝(3x2)′＋(x· cosx)′＝6x＋ x′· cosx＋x· (cosx)′＝6x＋cosx－xsinx. x x 1 2 (3)y′＝[( x－2) －sin 2 · 2 ]′＝[( x－2) ]′－( 2 cos
1.2.2导数运算法则1
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式 n n 1
公式2.若f ( x) x , 则f '( x) nx ; 公式 ,则 '( xf) '( x0; 公式1. 3.若 若f f( (x x) ) c sin xf, 则 ) cos x;
n n 1 公式 2. 若 f ( x ) x , 则 f '( x ) nx ; x; 公式 4. 若 f ( x ) cos x , 则 f '( x ) sin 公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; x 公式 3. 若 f ( x ) sin x, 则 f x'( x )a xcos x ; n, 则 n 1a 公式 5. 若 f ( x ) a f '( ) ln ( 公式2.若f ( x) x , 则f '( x) nx ; a 0); 公式 4.若 若f f( (x x) ) e cos x,f则 f '( x)e x x sin x; 公式6. , 则 '( x ) 3. sin x, 则f '( x) ;cos x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 1 公式 4. 若 f ( x ) cos x , 则 f '( x ) sin x;( a 0, 且a 1); 公式7.若f ( x) log x , 则 f '( x ) a 公式6.若f ( x) e xx, 则 f '( x) e xx; x ln a 公式5.若f ( x) a , 则f '( x) a ln a( a 0); 1 1 x x ln x则 ,则 f'('( x'( ) 公式7. ,则 f) ) ( a 0, 且a 1); 6.若f ( x) log e , x x e ;; a xf x x ln a 1 公式8.若f ( x) log a x, 则f '( x) 1 ( a 0, 且a 1); 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x ln a x 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ;
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
'
0.05eu 0.05e0.0 5x 1.
3函数y sinπx φ可以看作函数 y sinu和
u πx φ的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
我们无法用现有的方法 求函数 y lnx 2 的导数 . 下面, 我们先分析这个函数的 结构特点 . 若设 u x 2x 2 , 则y ln u.从而 y lnx 2 可以看成是由 y ln u 和u x 2x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x 的函数 . 如果把 y 与u的关系记作 y f u, u 和 x 的关系记作 u gx ,那么这个 " 复合 " 过程可表示为 y f u f gx lnx 2 . 我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过
思考 如何求函数y ln x 2 的导数呢?
" 复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成,等等.
2
一般地 , 对于两个函数 y f u和u gx , 如果通过 变量 u, y可以表示成 x的函数 ,那么称这个函数为函 数y f u 和u g x 的 复 合 函 数 (composite fun ction),记作 y f gx . 复合函数 y f gx 的导数和函数 y f u,u gx 的 ' ' ' 导数间的关系为 y x yu ux .
2. 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1课件
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
3.复合函数及其求导法则
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u 复合函 ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表 数的概 示成 x的函数 ，那么称这个函数
念 为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记 作 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y
＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
• 求下列函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0. • [解析] 由求导公式得
(1)y′＝－2·x－3＝－x23. (2)y′＝(cosx)′＝－sinx.
(2)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝(xsinx)′coscxo－s2xxsinx(cosx)′ ＝(sinx＋xcocsxo)sc2oxsx＋xsin2x＝sinxccooss2xx＋x；
• (3)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ • ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ • ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x
yx′＝ 于
yu′·ux′.即y对x的导数等
. y对u的导数与u对x的导数的乘积
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习: 1 (1). y 4 ;(2). y x x. x
例 3 日常生活中的饮用水 通常是经过 净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加 .已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用单位 : 元为 5284 80 x 100.求净化到下纯度 c x 100 x 时, 所需净化费用的瞬时变 化率 :
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
2
我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过 "复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u 2和u 2 x 3 "复合"而成, 等等.
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(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
和导数运算法则 , 求函数 y x 2 x 3 的导数.
解 因为y x 2 x 3
' 3
'
x
3 '
2x 3
'
'
3x 2.
2
所以,函数 y x 3 2 x 3 的导数是 y ' 3x 2 2.
例 3 日常生活中的饮用水 通常是经过 净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加 .已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用单位 : 元为 5284 80 x 100.求净化到下纯度 c x 100 x 时, 所需净化费用的瞬时变 化率 :
1.2.2 基本初等函数的导数公 式 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基本初等函数的导数公 式
1 . 若 f x c, 则 f ' x 0 ; 2 . 若 f x x n n N , 则 f ' x nx n 1 ; 3 . 若 f x sin x, 则 f x cos x ;
'
4 . 若 f x cos x, 则 f ' x sin x ; 5 . 若 f x a , 则 f x a ln a ;
x ' x
6 . 若 f x e x , 则 f ' x e x ;
1 7 . 若 f x log a x, 则 f x ; x ln a 1 ' 8 . 若 f x ln x, 则 f x . x
'
2. f x gx ' f ' xgx f xg' x;
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5284 2因为c 98 1321 , 2 100 98 所以, 纯净度为98%时, 费用的瞬时变化率 是1321 元 / 吨.
'
函数 f x 在某点处的导数的大小 表示函数 在 此 点附近变化的快 慢 .由上 述 计算可知,
' '
c 98 25c 90 .它表示纯净度为 98% 左 右时 净 化费用的变化率 ,大 约是 纯 净 度 为 90% 左右时净化费用变化率 的 25 倍 .这说 明,水的纯净度越高 ,需要的净化费用就越多 , 而且净化费用增加的速 度也越快.
定某商品的p0 1, 那么在第 10个年头, 这种商品的 的价格上涨的速度大约 是多少( 精确到0.01 ) ? 解 根据基本初等函数导数 公式表,有
因此, 在第10个年头, 这种商品的价格约以 0.08元 / 年的速度上涨.
思考 如果上式中某种商品的 p 0 5,那么在第 10个 年头, 这种商品的价格上涨的 速度大约是多少 ?
'
2. f x gx ' f ' xgx f xg' x;
f x f x gx f x g x gx 0 . 3. 2 gx gx
' ' '
例2
根据基本初等函数 的导数公式
例4
求下列函数的导数
2 0.05 x 1
解 1函数y 2x 3 可以看作函数 y u3和 u 2x 3的复合函数 . 由复合函数求导法则有
2
1 y 2 x 3 ; 2 y e ; 3 y sinπx φ 其中π, φ均为常数.
3
和导数运算法则 , 求函数 y x 2 x 3 的导数.
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1 .
x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单
位：年）有函数关系 pt p0 1 5%t ，其
中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx cos x,则f ' x sin x; 5. 若 fx ax,则f ' x ax lna;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若fx loga x,则f ' x
1 ;
x ln a
8.
若fx ln x,则f 'x
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做 y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
yx′= yu′ ux′.
即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t
乘积得到导数.下面的“导数运算法则”
可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑
除的求导问题.
根据导数的定义，可以推出可导 函数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差),即
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)讲义
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．几个常见函数的导数2．基本初等函数的导数公式设两个函数分别为f(x)和g(x)．4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±f n)′＝□17f1′±f2′±…±f n′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf(x)±ng(x)]′＝□18mf′(x)±ng′(x)(m，n为常数)．基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y ′＝(a x)′＝a x·ln a ，当a ＝e 时，e x的导数是(a x )′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，也可记为(log a x )′＝1x·log a e ，当a＝e 时，ln x 的导数也是(log a x )′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( )(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x .( ) (3)若f (x )＝－1x ，则f ′(x )＝12x x.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝________. (2)(2x)′＝________.(3)若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x ，则f ′(x )－g ′(x )＝________. 答案 (1)－3x4 (2)2x ln 2 (3)3x 2－1x ln 3探究1 利用导数公式及运算法则求导 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝5x 3；(2)y ＝log 5x ；(3)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (4)f (x )＝2－2sin 2x2；(5)f (x )＝e x＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35 )′＝35x － 25 ＝355x 2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5. (3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(5)解法一：f ′(x )＝x ＋x－－x＋x－x －2＝－2e xx －2.解法二：因为f (x )＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝x－－x －x －2＝－2e xx －2.拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝13x2；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x － 23 )′＝－23x －23－1 ＝－23x － 53 .(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x＝x 2e x(3＋x )． (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x xx 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2. 探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解] 因为(e x )′＝e x，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，所以所求切线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)．因为切线过原点，所以－ex 0＝－x 0·ex 0，x 0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究] 已知点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.y ′＝(e x )′＝e x，ex 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为22. 拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′| x ＝x 0＝2x 0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 探究3 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】 已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去．若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1， 则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1， 即b 2－2b 2＋c ＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1， 即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x 32 ，再求y ′＝32x 12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．已知函数f (x )＝5，则f ′(1)等于( ) A ．5 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 C解析 因为f (x )＝5，所以f ′(x )＝0，所以f ′(1)＝0. 2．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)＝13的错误，∵f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，∴f ′(x )＝3x 2＋3x·ln 3.3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ， ∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1，故填1. 5.已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .。
2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
3.求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入 变量的值求导数值．
跟踪练习 1 求下列函数的导数： (1)y＝x－2； (2)y＝cosx； (3)y＝log3x； (4)y＝e0.
解：由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－x23. (2)y′＝(cosx)′＝－sinx. (3)y′＝(log3x)′＝1xlog3e. (4)∵y＝e0＝1， ∴y′＝0.
f ′(x)＝_c_o_s_x__
(4)f(x)＝cosx (5)f(x)＝ax (6)f(x)＝ex (7)f(x)＝logax (8)f(x)＝lnx
f ′(x)＝_－__si_n_x_
f ′(x)＝_a_x_ln_a__(a>0且a≠1)
f ′(x)＝___ex___
1
f ′(x)＝__x_ln_a__(a>0，且a≠1) f ′(x)＝__1_x ___
命题方向2 ⇨导数运算法则的应用
例 2 (1)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数， 则 f′(0)的值为___3___. 【解析】 ∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex ∴f′(0)＝3.
(2)求下列函数的导数： ①y＝xex；②y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； ③y＝x22＋x 1； ④y＝xsinx－co2sx； ⑤y＝cos22x.
运算比较复杂，而且有的函数，如 y＝sinx，y＝lnx 等 很难运用定义求导数．
是否有更简便的求导数的方法呢？
新知导学 1．基本初等函数的导数公式
函数
导数
(1)f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝___0___ (2)f(x)＝xα(α∈Q*) f ′(x)＝__α_x_α－__1
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
x ;
(4) y
1
2
;
1 2
x
1 2
x -2x-3
注意公式中,n的任意性.
公式三:
(sin x) cos x
公式四:
(cos x) sin x
公式五:指数函数的导数
(1) (a ) a ln a(a 0, a 1).
x x
(2)
(e ) e .
x x
注意: f ( x )= a x 和 f ( x )= x a 是两 个不同的函数,例如:
2
（4） y
sin x x
y
'
x cos x sin x x
7、（2）已知 f ( x ) 则a=( D ) A
19 3
ax
3
3x 2
2
若 f ( 1) 4
'
B
ax sin x
16 3
'
C
13 3
D
10 3
f （3） ( x )
若f ( )3
2
则a=（ B ） D -2
法则1:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
即两个函数的和(或差)的导数，等于这两
个函数的导数的和(或差)．
应用1: 求下列函数的导数 2 (1)y=x3+sinx y ' 3x cos x (2)y=x4-x2-x+3.
y' 4 x 2 x 1
3
和差导数可推广到任意有限个
∴ x0 1 ， y 0 = 0
∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则%5B二%5D(教师版)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n(x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x 2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 x cos 2 x＝sin x cos x ＋x cos 2 x. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′ ＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2，令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w ＝2x 21＋x 2＝x 1＋x 2， ∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x 1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2. 反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′ ＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. (5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2. 由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －xD.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2 答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y'x表示y对x的导数
即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
y'xyu ' u'xln u'3x2' 1 u33x3 2.
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
的导数.下面的" 导数运算法则"可以帮助我们解 决两个函数加、减、乘、除的求导问题.
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
例2 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则,求函数 y x3 2x 3的导数.
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
基本初等函数旳导数公式及导数的运算法则
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.
若设u x 2x 2,则y lnu.从而y lnx 2 可以看成是由y lnu和u x 2x 2经过"复
合" 得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x
的函数.
如果把y与u的关系记作y fu,u和x的关系记作 u gx,那么这个"复合"过程可表示为 y fu fgx lnx 2.
1.2.2 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法则
为 了 方 便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基本初等函数的导数公式
1. 若fx c,则f'x 0;
2. 若fx xn n N ,则f 'x nxn1 ;
3. 若fx sinx,则f'x cos x; 4. 若fx cos x,则f'x sinx;
2 函数 y e0.0 5x1 可以看作函数 y eu 和u
0.05x 1的复合函数.由复合函数求导法则有
y'x yu' u'x eu ' 0.05x 1 '
0.05eu 0.05e0.0 . 5x1
3函数y sinπx φ可以看作函数y sinu和
u πx φ的复合函数.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
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1．2．2基本初等函数的导数及导数的运算法则(一)
一、教学目标：掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用.
二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数..
教学难点：商求导法则的理解与应用.
三、教学过程：
（一）新课
1．P14面基本初等函数的导数公式（见教材）
2．导数运算法则：
（1）．和（或差）的导数
法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即(u±v)'＝u'±v'．
例1 求y＝x3＋sin x的导数．
解：y'＝(x3)'＋(sin x)'＝3x2＋cos x．
例2 求y＝x4－x2－x＋3的导数．
解：y'＝4x3－2x－1．
（2）．积的导数
法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即(uv)'＝u'v＋uv'．
由此可以得出(Cu)'＝C 'u＋Cu'＝0＋Cu'＝Cu'．
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即(Cu)'＝Cu'．
例3 求y＝2x3－3x2＋5x－4的导数．
解：y'＝6x2－6x＋5．
例4 求y＝(2x2＋3) (3x－2) 的导数．
解：y'＝(2x2＋3)'(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)'＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9．
或：692623-+-=x x x y
，9418'2+-=x x y
练习
1．填空： ⑴ [(3x 2＋1)(4x 2－3)]'＝( 6x )(4x 2－3)＋ (3x 2＋1)( 8x )；
⑵ (x 3sin x )'＝( 3 )x 2·sin x ＋x 3· ( cos x )．
2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：
[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)．
[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)－3x 2(3＋x 2)．
3．求下列函数的导数：
⑴ y ＝2x 3＋3x 2－5x ＋4； ⑵ y ＝ax 3－bx ＋c ； ⑶ y ＝sin x －x ＋1；
（4） y ＝(3x 2＋1)(2－x )； （5） y ＝(1＋x 2)cos x ； （6）x x y
x 2log 3cos 2-= 例5． 已知函数f (x )＝x 2(x －1)，若f ' (x 0)＝f (x 0)，求x 0的值．
（3）商的导数
例6．求下列函数的导数
（1）x x y tan = （2）x x y cos 1sin += （3）x x y 2log sin = 练习：求下列函数的导数
（1）32521x
x x y +-= （2）x x x y cos tan -= 例7．求函数x x x y
cos sin =的导数
思考：设 f (x )＝x (x ＋1) (x ＋2) … (x ＋n )，求f '(0)．
练习. 函数f (x )＝x (x －1) (x －2)(x －3) …(x －100)在x ＝0处的导数值为( )
A. 0
B. 1002
C. 200
D. 100!
（三）课堂小结
1．和（或差）的导数(u±v)'＝u'±v'．2．积的导数(uv)'＝u'v＋uv'．
（四）课后作业
《习案》作业五.。