线性代数 同济大学第七版
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8 3 4
解 由上面定义，因为
的值。
A11
1 11
0 3
7 21
4
A12
1 12
2 8
7 48
4
A13
1 13
2 8
0 6
3
所以 D a11A11 a12 A12 a13 A13
121 548 66 225
---
第一节 行列式的概念
从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是 用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行 列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。 下面给出行列式的一般定义。
余子式。
一般地，Mij 就是三阶行列式中划去aij 所在的第 i 行和第 j 列剩下 的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素 aij 的余子式。
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij 的代数余子式。 i，j 1，2，3
---
第一节 行列式的概念
156 【例 1.3】 计算三阶行列式 D 2 0 7
---
第一节 行列式的概念
【定义 1.2】
二阶行列式是由
22个元素排成2行2列，用
a11 a21
a12 a22
表示，且规定： a11 a21
a12 a22
a11A11 a12 A12
其中，元素 aij 称为行列式的第i 行第 j 列的元素 i，j 1，2 ；
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij i，j 1，2 的代数余子式；而 M ij 是行列
1 2 4 2 1 0 1 5
解
10 7
307
317
D 2 1 11 2 4 2 1 1 12 1 4 2 3 1 13 1 2 2
0 1 5
1 1 5
105
310
1114 1 2 4 83357 3 85
1 0 1
从以上定义及例子可以看到，n 阶行列式由 n2个元素构成，每
个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余
线性代数
副教授：黄振耀
---
课程简介
《线性代数》是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础 理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广 泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本 方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的 提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习 及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此 该课程历来受到各高等院校的高度重视。
---
第一章 行列式
行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、 三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。
在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
---
第一章 行列式
第一节 行列式的概念
主
第二节 行列式的性质
要 内
其中，M 1j 表示元素a1j jn 1，2， ，n 的余子式，它是D 中划
去a1j 所在的第1行和第 j 列后剩下的元素按原来的次序构成的 n 1 阶
行列式。 A1 j 1i j M1 j j 1, 2, , n 称为 a1j 的代数余子式。
---
第一节 行列式的概念
2 1 3 1
【例 1.4】 计算四阶行列式 D 3 1 0 7
根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代 数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂， 力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解 行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。
---
主要内容
第一章 行 列 式
第二章 矩
阵
第三章 线性方程组
第三节 行列式按行（列）展开
容
第四节 行列式的计算举例
第五节 克莱姆法则
---
第一节 行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列
式的定义。
【定义 1.1】 一阶行列式由一个数组成，记为 a11 a11
【例 1.1】 21 21, 1 1
要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。
a23 a33
A12
1 12 M12
1 12 a21 a31
a23 a33
A13
1
13
M13
1
---
13
a21 a31
a22 a32
第一节 行列式的概念
称
M
为
11
a11
的余子式，它是在三阶行列式中划去
a11
所在的行及列后
按原次序所成的二阶行列式，称 A11为 a11的代数余子式；A12 为a12 的代数
a12 a22
a11a22 a12a21
这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。
---
第一节 行列式的概念
5 6
【例 1.2】 求二阶行列式
的值。
32
解
5 3
6 2 a11A11 a12 A12
5 1 11 2 6 1 12 3
10 18 28
或 5 6 5 2 63
【定义 1.4】 当 n 1 时， a11 a11 ，假设已定义了 n 1 阶 行列式，n 阶行列式是由 n2 个元素排成行和列组成，记为：
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
a a --n1 n2
ann
第一节 行列式的概念
且规定其值为：D a11A11 a12 A12 a1n A1n
32
---
第一节 行列式的概念
【定义 1.3】 三阶行列式是由 32 个元素排成的3行3列，用
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 表示，且规定： D a11A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
其中：
A11
1 11 M11
1 11 a22 a32
子代数余子式再求和。
---
第一节 行列式的概念
我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。
【定义 1.5】 对于 n 阶行列式 (n 1) ，
a11 a12
a1n
D a21 a22
式中划去第i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元
素 aij i，j 1，2 的余子式。
---
第一节 行列式的概念
显然在定义中，A11
1
M 11 11
M11
，而M11 a22 a22 Nhomakorabea；
A12 1 12 M12 M12 a21 a21
则二阶行列式
a11 a21
解 由上面定义，因为
的值。
A11
1 11
0 3
7 21
4
A12
1 12
2 8
7 48
4
A13
1 13
2 8
0 6
3
所以 D a11A11 a12 A12 a13 A13
121 548 66 225
---
第一节 行列式的概念
从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是 用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行 列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。 下面给出行列式的一般定义。
余子式。
一般地，Mij 就是三阶行列式中划去aij 所在的第 i 行和第 j 列剩下 的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素 aij 的余子式。
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij 的代数余子式。 i，j 1，2，3
---
第一节 行列式的概念
156 【例 1.3】 计算三阶行列式 D 2 0 7
---
第一节 行列式的概念
【定义 1.2】
二阶行列式是由
22个元素排成2行2列，用
a11 a21
a12 a22
表示，且规定： a11 a21
a12 a22
a11A11 a12 A12
其中，元素 aij 称为行列式的第i 行第 j 列的元素 i，j 1，2 ；
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij i，j 1，2 的代数余子式；而 M ij 是行列
1 2 4 2 1 0 1 5
解
10 7
307
317
D 2 1 11 2 4 2 1 1 12 1 4 2 3 1 13 1 2 2
0 1 5
1 1 5
105
310
1114 1 2 4 83357 3 85
1 0 1
从以上定义及例子可以看到，n 阶行列式由 n2个元素构成，每
个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余
线性代数
副教授：黄振耀
---
课程简介
《线性代数》是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础 理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广 泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本 方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的 提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习 及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此 该课程历来受到各高等院校的高度重视。
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第一章 行列式
行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、 三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。
在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
---
第一章 行列式
第一节 行列式的概念
主
第二节 行列式的性质
要 内
其中，M 1j 表示元素a1j jn 1，2， ，n 的余子式，它是D 中划
去a1j 所在的第1行和第 j 列后剩下的元素按原来的次序构成的 n 1 阶
行列式。 A1 j 1i j M1 j j 1, 2, , n 称为 a1j 的代数余子式。
---
第一节 行列式的概念
2 1 3 1
【例 1.4】 计算四阶行列式 D 3 1 0 7
根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代 数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂， 力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解 行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。
---
主要内容
第一章 行 列 式
第二章 矩
阵
第三章 线性方程组
第三节 行列式按行（列）展开
容
第四节 行列式的计算举例
第五节 克莱姆法则
---
第一节 行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列
式的定义。
【定义 1.1】 一阶行列式由一个数组成，记为 a11 a11
【例 1.1】 21 21, 1 1
要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。
a23 a33
A12
1 12 M12
1 12 a21 a31
a23 a33
A13
1
13
M13
1
---
13
a21 a31
a22 a32
第一节 行列式的概念
称
M
为
11
a11
的余子式，它是在三阶行列式中划去
a11
所在的行及列后
按原次序所成的二阶行列式，称 A11为 a11的代数余子式；A12 为a12 的代数
a12 a22
a11a22 a12a21
这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。
---
第一节 行列式的概念
5 6
【例 1.2】 求二阶行列式
的值。
32
解
5 3
6 2 a11A11 a12 A12
5 1 11 2 6 1 12 3
10 18 28
或 5 6 5 2 63
【定义 1.4】 当 n 1 时， a11 a11 ，假设已定义了 n 1 阶 行列式，n 阶行列式是由 n2 个元素排成行和列组成，记为：
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
a a --n1 n2
ann
第一节 行列式的概念
且规定其值为：D a11A11 a12 A12 a1n A1n
32
---
第一节 行列式的概念
【定义 1.3】 三阶行列式是由 32 个元素排成的3行3列，用
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 表示，且规定： D a11A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
其中：
A11
1 11 M11
1 11 a22 a32
子代数余子式再求和。
---
第一节 行列式的概念
我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。
【定义 1.5】 对于 n 阶行列式 (n 1) ，
a11 a12
a1n
D a21 a22
式中划去第i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元
素 aij i，j 1，2 的余子式。
---
第一节 行列式的概念
显然在定义中，A11
1
M 11 11
M11
，而M11 a22 a22 Nhomakorabea；
A12 1 12 M12 M12 a21 a21
则二阶行列式
a11 a21