弯曲与扭转的组合变形

2
(22 10 )
3
3
144 M Pa 180 M Pa
轴安全
例题：齿轮轴受力及尺寸如图示。已知伞齿轮的受为： 轴向力PX=16.5kN，径向力PY=0.414kN，切向力PZ=4.55kN；直 齿轮的受力为：径向力PYD=5.25kN，切向力PZD=14.49kN。轴的 直径d=40mm，材料的许用应力[σ]=300MPa。试用第四强度理论 校核轴的强度。 思考：由于伞齿轮上 轴向力的出现，该齿 轮轴的受力具有什么 特点？齿轮轴将发生 什么组合变形形式？
o
y
M
C
M
D
D
ZA
B
A
C
x
ZB
FAY
y
z P CY
PC Z
PD Y
M
C
PD Z
M
D
YB
2.内力计算
B
D
A y
C
x 圆轴
扭转
弯 扭 组 合 变 形
z
B
C
A
x
D
Xy面的 平面弯曲 Xz面的
FAY
y
z P CY
PD Y
YB
ZA
B
A
C
x
ZB
平面弯曲
z
PC Z
D
PD Z
y
M
C
M
D
D
ZA
B
A
C
x
ZB
FAY
z P CY
T
N m
95.8
M
N m
Z
103.1
14.75
C截面危险
危险截面内力
T 9 5 .8 N m
MY
N m
55.35
41. 1
N m
117
43.67
M 117 N m
M
强度校核
50
50
50
y
x
A
C
E
B
PZ C
2 3
PYC
PZ E
PYE
eq 3

32 M
T
2
d
2

3 2 1 1 7 9 5 .8
ZA
A
B
YB ZB
C
x
FAY
z P CY
PK n

PC Z
D
PD Z
外力值的计算
PD Y
9550
583 30 10
2
M 0 9550
M
14.65 240
583 N m
Y A 4 .3 9 kN Z A 6 .3 3 kN Y B 1 .7 1 kN Z B 4 .7 4 kN
F N 1 6 .5 k N T 391N m
1420 MY
N m
182
1217
M 1447 N m
危险点的应力状态及应力计算
W
W
M W 4 FN

32
d
3
230 M Pa
tn

L
L tN
d
1 6T
2
13M Pa
d
3
强度校核
eq 4


D
平面弯曲
PY C
PZ Px A
MDX XB D BP ZD PYD 16.5
内力计算 计算合成弯矩
M
A合

1436 182
2
2
FN kN
1447 N m
M
B合

444 1217
2
2
T
MZ
N m N m
1295 N m
391
A截面危险！ 444 1436 危险截面的内力
z T
MZ
A截面危险！
圆截面双向平面弯曲 如何处理弯矩的问题 My M 最大拉应力σT z 最大压应力σC 中性轴 Mz
？
PYL MY PZL
y
应力分析
找危险点
在D1点截取原始单元体 D1
t
D1



D1
t
D2
t
危险点应力状态分析
D1点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：
1
3 2
D PYD
XB
BP ZD
M C Z PX
D2 2
MCX
1420 N m
PY C
PZ Px A Px
MDX XB BP ZD XB
D PYD
D
变形分析
C
A
B
轴向拉伸
MDX B D
圆轴扭转
C PY
C MCX PZ C
A
A
B
D PYD
平面弯曲
拉 伸 扭 转 与 弯 曲 的 组 合 变 形
A
BP ZD
§8–4 弯曲与扭转的组合变形 •问题的特点：在横截面上既有正应力又有切应力。 •分析问题的方法：由于正应力和切应力不能直接 相叠加，因此，必须根据不同的材料，采用适当 的强度理论进行强度分析。 •分析问题的步骤：根据内力图，确定危险截面，在 危险截面上画出应力分布，确定最大（拉、压）应 力（即：危险点），采用强度理论进行强度校核。
PC Z 3 t 2 sin 4 5
45
c
z
M
D
3t1 z 2 t1
PD y G 1
PD z 3 t1
t2
y
Y A, Z A , YB , Z B 可 由 平衡方程求得。
G2
M
C
MD
G1
M
D
D
ZA
B
A
C
x 轴上的外力
ZB
FAY
z P CY
PC Z
PD Y
PD Z
可全部确定
YB
y
M
M
C
D
PD y G 1 0.25 kN
PD z 3 t1 5.37 kN
t1
t2
D
1 .7 9 kN
R1
MC R2

583 20 10
o
3
2 .6 9 kN
p cy 3 t 2 co s 4 5 G 2 5 .8 5 kN
PC Z 3 t 2 sin 4 5 5.7 kN

代入已求的主应力得：
代入已求的主应力得：
eq 4 3t
2 2
eq 3

2
4t
2



代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面WT=2W得：
eq 3
1 W M
2
代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面WT=2W得：
eq 4
1 W M
2
T
2

C y A z
q
B
P a
l
例题：皮带轮传动轴如图示。已知D轮为主动轮，半径R1=30cm, 皮带轮自重G1=250N,皮带方向与Z轴平行；C轮为被动轮，皮带 轮自重G2=150N,半径R2=20cm,皮带方向与Z轴夹45度角。电动机 的功率PK=14.65千瓦，轴的转速n=240转/分，轴材料的许应力 [σ]=80MPa 。 试用第三强度理论设计轴的直径d。

0 .7 5 T
2


研究结果的讨论
对于危险点应力状态的强度条件 D1
W
tn
eq 3
eq 3

1 W
2
4t
2

2


（A）
公式的使用条件
（A）（C）式适用 于形如D1点应力状 态的强度校核； （B）（D）式适用 于塑性材料的圆截 面或空心圆截面轴 发生弯扭组合变形 的强度校核。
M
2
T

（B）
eq 4
1 W
3t
2
2


（C）
eq 4
M
2
0 .7 5 T
2

（D）
思考：如果危险截面是拉伸-弯曲-扭转组合变 形，应当怎么样校核强度？
y PY
A
Px x PZ Me
z
思考：曲拐受力如图，危险截面在哪里？应当 怎么样校核强度？
2 3 ql

D1

M W
t

T WT
原 始 单 元 体

t 2
2
2
2 0
校核危险点的强度
对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。 按第三强度理论
按第四强度理论
eq 3 1 3


eq 4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1 2 2

2
2 2 2 3 3 1
PY
PZ Px z
150
y x B PZD 84 D PYD
A C 40
？
PY
PZ Px z 150
外力简化
外力计算
伞齿轮节圆直径 D1=172mm， x
y
B PZD 84 D PYD
直齿轮节圆直径
D2=54mm。
C 40 PY C
A
M C X PZ
D1 2
DX
PZ Px A
MDX
391N m M
对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
按第三强度理论
按第四强度理论
eq 3 1 3

eq 4
1
1 2 2

2
2 2 2 3 3 1

代入已求的主应力得：
代入已求的主应力得：
y
外力分解
x
B
z
A
C
E
M
C

PY C D 1 2

PZ C
PYC PYC
C
PZ E
PYE PYE
E
9 5 .8 N m
YB
ZB
YA ZA
A
MC
ME
x
B
M
E

PE Y 2

PZ C
PZ E
9 5 .8 N m
YA ZA
A
MC
PYC
C
ME
PYE
E
YB
ZB
x
B
PZ C
PZ E
内力计算 找危险截面

D1

N A
t

T WT
原 始 单 元 体

t 2
2
2
2 0
校核危险点的强度
对于脆性材料，由于拉大压小，应采用第一强度理论。
eq 1 1

代入已求的主应力得：
eq 1

2

t 2
2
2
T

校核危险点的强度
eq 4
2
eq 3

2
4t
2


3t
2


试比较采用哪个强度理论偏于保守（安全）？
二、弯曲--扭转组合变形
问题
校核AB杆的强度
PY PZ
内力分析
xy 平 面 ： M
Z m ax
找危险截面
PY L
A
B
xz 平 面 ： M Y m ax PZ L
x y Me Me
32
3
M
2
T
2


d
32 M
3
2
T
2


0 .5 3 8 1 0
6

3
32
3 .0 2 1 0
3
2
3

2
80 10
7 3 .6 1 0
3
m 7 3 .6 m m
2t 2
A
t1
D
取 d 74m m
x
z C
d
2 t1
B
t2
kN m
PC Z
PD Y
PD Z
YB
画内力图
x
T
M
0.538
找危险截面
kN m
Z
1.756
1.026
C面危险！
x
MY
kN m
2.532
2.844
危险截面内力
T 0.538 kN m
M 3.08 kN m
x
M
kN m
3 .0 8
3 .0 2
x
3.设计直径

eq 3

1 W
M
2
T
2

1
d
y
400
500
600
A
C
2t 2
D
t1
x
B
z
t2
2 t1
y
2t 2
45
o
y
t1
D
c
z
z
2 t1
t2
G2
G1
y
400
500
600
1.外力简化
M
0
A
C
2t 2
D
t1
x
9550
D
PK
B
MC M
t1 M
D
n M
t2
o
0
MC R2
z
3t 2
o
t2
y
2t 2
2 t1
y
R1
o
t1
D
p cy 3 t 2 co s 4 5 G 2
一、拉（压）--扭转组合变形
A z
B P
校核AB杆的强度 x •内力分析：拉-扭组合变形 •找危险截面
y
Me
•画内力图 N T 任意截面
应力分析
D1
找危险点
在D1点截取原始单元体 D1



D1
t
D2 危险点应力状态分析
t
t
D1点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：
1
3 2
2
3t
2
2

W
2

L
2
3t N
2
230 13
3 3 1 .1 2 4 9 M P a
eq 4

齿轮轴安全
习题
8-12，8-14, 8-16 , 8-24
例题：图示齿轮轴，齿轮C，E的节圆直径D1= 50 mm， D2= 130 mm，PYC=3.83kN，PZC=1.393kN；PYE=1.473kN， PZE=0.536kN，轴的直径d = 22mm，材料为45号钢，许用应 力[]= 180MPa。试用第三强度理论校核轴的强度。
50 50 50